單調(diào)測度的絕對連續(xù)性

韋 葉,顏廷蘇

(1.浙江信息工程學校，浙江 湖州 313000；2.湖州師范學院 理學院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

在經(jīng)典測度論[1]中，若測度μ，ν滿足μ(E)=0?ν(E)=0，則稱ν關于μ是絕對連續(xù)的，記作ν?μ.絕對連續(xù)性是經(jīng)典測度論中一個非常重要的概念.如著名的Radon-Nikodym定理：若測度ν關于σ-有限的測度μ是絕對連續(xù)的，則存在非負可測函數(shù)f,使得

由于單調(diào)測度一般不具有可加性[2]，因此經(jīng)典測度的絕對連續(xù)性在單調(diào)測度論中有著不同的表現(xiàn)形式.例如，文獻[3]引入絕對連續(xù)的9種表現(xiàn)形式，詳細討論了它們之間的關系；Li等引入單調(diào)測度的3種新的絕對連續(xù)性，即[E]-型、[L]-型和[R]-型絕對連續(xù)性，并建立了基于單調(diào)測度的廣義Ggoroff定理、廣義Lebesgue定理和廣義Riesz定理，推廣了在這些問題上的已有結果[4-7].

本文主要討論單調(diào)測度的[E]-型、[L]-型和[R]-型3種絕對連續(xù)性與單調(diào)測度的條件[E](單調(diào)測度空間Egoroff定理成立的充分必要條件)、強序連續(xù)(單調(diào)測度空間Lebesgue定理成立的充分必要條件)，以及性質(zhì)(S)(單調(diào)測度空間Riesz收斂定理成立的充分必要條件)之間的關系.

1 預備知識

用X表示非空集合，A為X子集構成的σ-代數(shù)，(X,A)為可測空間.如果對任意的實數(shù)α,{x|f(x)≥α}∈A,則稱函數(shù)f:X(-∞,+∞)是A-可測的(簡稱可測的)，全體可測函數(shù)組成的集合記為F.

定義1[8-9]設實值集函數(shù)μ:A[0,∞]滿足μ(?)=0 且μ(X)>0，以及當A?B且A，B∈A時,μ(A)≤μ(B)，則稱μ為單調(diào)測度,(X,A,μ)為單調(diào)測度空間.

單調(diào)測度的條件(E)、強序連續(xù)和性質(zhì)(S)等結構特性，是在推廣經(jīng)典測度論中的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理時引入的概念.由于單調(diào)測度一般不具有可加性,各種收斂性都有相應的偽性版本,因此經(jīng)典的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理在單調(diào)測度中都有4種表現(xiàn)形式.Egoroff定理的表現(xiàn)形式為:

定理1[7]設μ是定義在(X,A)上的有限單調(diào)測度,則

定義6[6]若對任意的集列{An}n?A,AnA,ν(A)=0,都有則稱單調(diào)測度λ關于單調(diào)測度ν是[L]-型絕對連續(xù)的,記作λ?Lν.

利用單調(diào)測度這3個結構特性,Li等得到了廣義Egoroff定理、廣義Lebesgue定理和廣義Riesz定理,并統(tǒng)一了相應定理的各種版本[6].廣義Egoroff定理陳述為：

定理2[6]設λ，ν為(X,A)上的單調(diào)測度,則下列兩條等價:

(1)λ?Eν;

2 主要結論

下面討論兩個單調(diào)測度之間的[E]型([L]型、[R]型)絕對連續(xù)性與這兩個單調(diào)測度是否滿足條件(E)(強序連續(xù)、性質(zhì)(S))之間的關系.

定理3存在單調(diào)測度λ、ν,使得λ和ν都不滿足條件(E),但λ?Eν.

單調(diào)測度ν定義為：

由此看出，存在{ni}和{mi}，使得

即λ?Eν.

定理4存在單調(diào)測度λ，ν,使得λ和ν都滿足條件(E),但既沒有λ?Eν,也沒有ν?Eλ.

證明設X，A如定理3，單調(diào)測度λ，ν定義為：

令mi=i,則易知

證畢.

注1還可以列舉出λ滿足條件(E),ν不滿足條件(E),但λ?Eν的單調(diào)測度λ,ν等.因此，λ,ν滿足條件(E)與λ?Eν和ν?Eλ之間是相互獨立的.

定理5存在單調(diào)測度λ,ν,使得λ和ν都不是強序連續(xù)的,但ν?Lλ.

證明設為自然數(shù)集,σ-代數(shù)A=2，則定義單調(diào)測度λ,ν:A[0,∞)為:

由此看出,λ不是序連續(xù)的,因而不是強序連續(xù)的.事實上,設An={n,n+1,…},則An?,但ν也不是強序連續(xù)的.設An={0,n,n+1,…},則An{0}且λ({0})=0,但

由于存在ν?Lλ，事實上，設AnA,λ(A)=0,則A=?.于是存在某個正整數(shù)n0，使得0?An(n>n0)，則

即ν?Lλ.

證畢.

定理6存在單調(diào)測度λ,ν,盡管λ和ν都是強序連續(xù)的,但既沒有λ?Lν,也沒有ν?Lλ.

證明設為自然數(shù)集,σ-代數(shù)A=2，定義單調(diào)測度λ、ν:A[0,∞)為:

設AnA,若λ(A)=0,則0?A.于是，存在某個正整數(shù)n0，使得0?An(n>n0),從而即λ是強序連續(xù)的.同理,ν也是強序連續(xù)的.

設An={1,n,n+1,…}，則An{1}且λ({1})=0,但因此ν?Lλ不成立.同理,λ?Lν也不成立.

證畢.

定理7存在單調(diào)測度λ,ν,使得λ和ν都不滿足性質(zhì)(S),但ν?Rλ.

證明設X為全體正整數(shù)的集合,A=2X，則定義單調(diào)測度λ,ν為:

則λ,ν都不滿足性質(zhì)(S).

事實上,令

Ak=X({1}∪{k,2k,3k,…}),

證畢.

定理8存在單調(diào)測度λ,ν,使得λ和ν滿足性質(zhì)(S)，且λ?Rν,但ν?Rλ不成立.

注2還可以舉出其他例子說明λ，ν滿足性質(zhì)(S)與λ?Rν和ν?Rλ之間是彼此獨立的.

3 結 語

本文討論了單調(diào)測度λ和μ是否滿足[E]-型([L]-型、[R]-型)絕對連續(xù)性，以及這兩個單調(diào)測度是否滿足條件[E]、強序連續(xù)、性質(zhì)(S)之間的關系.由結果可以看出,這些條件之間沒有必然的聯(lián)系,是彼此獨立的.今后將討論[E]-型、[L]-型和[R]-型絕對連續(xù)性之間，以及它們與其他絕對連續(xù)性[9]之間的關系.