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    單調(diào)測度的絕對連續(xù)性

    2022-11-21 12:24:32顏廷蘇
    湖州師范學院學報 2022年10期
    關鍵詞:連續(xù)性測度廣義

    韋 葉,顏廷蘇

    (1.浙江信息工程學校,浙江 湖州 313000;2.湖州師范學院 理學院,浙江 湖州 313000)

    0 引 言

    在經(jīng)典測度論[1]中,若測度μ,ν滿足μ(E)=0?ν(E)=0,則稱ν關于μ是絕對連續(xù)的,記作ν?μ.絕對連續(xù)性是經(jīng)典測度論中一個非常重要的概念.如著名的Radon-Nikodym定理:若測度ν關于σ-有限的測度μ是絕對連續(xù)的,則存在非負可測函數(shù)f,使得

    由于單調(diào)測度一般不具有可加性[2],因此經(jīng)典測度的絕對連續(xù)性在單調(diào)測度論中有著不同的表現(xiàn)形式.例如,文獻[3]引入絕對連續(xù)的9種表現(xiàn)形式,詳細討論了它們之間的關系;Li等引入單調(diào)測度的3種新的絕對連續(xù)性,即[E]-型、[L]-型和[R]-型絕對連續(xù)性,并建立了基于單調(diào)測度的廣義Ggoroff定理、廣義Lebesgue定理和廣義Riesz定理,推廣了在這些問題上的已有結果[4-7].

    本文主要討論單調(diào)測度的[E]-型、[L]-型和[R]-型3種絕對連續(xù)性與單調(diào)測度的條件[E](單調(diào)測度空間Egoroff定理成立的充分必要條件)、強序連續(xù)(單調(diào)測度空間Lebesgue定理成立的充分必要條件),以及性質(zhì)(S)(單調(diào)測度空間Riesz收斂定理成立的充分必要條件)之間的關系.

    1 預備知識

    用X表示非空集合,A為X子集構成的σ-代數(shù),(X,A)為可測空間.如果對任意的實數(shù)α,{x|f(x)≥α}∈A,則稱函數(shù)f:X(-∞,+∞)是A-可測的(簡稱可測的),全體可測函數(shù)組成的集合記為F.

    定義1[8-9]設實值集函數(shù)μ:A[0,∞]滿足μ(?)=0 且μ(X)>0,以及當A?B且A,B∈A時,μ(A)≤μ(B),則稱μ為單調(diào)測度,(X,A,μ)為單調(diào)測度空間.

    單調(diào)測度的條件(E)、強序連續(xù)和性質(zhì)(S)等結構特性,是在推廣經(jīng)典測度論中的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理時引入的概念.由于單調(diào)測度一般不具有可加性,各種收斂性都有相應的偽性版本,因此經(jīng)典的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理在單調(diào)測度中都有4種表現(xiàn)形式.Egoroff定理的表現(xiàn)形式為:

    定理1[7]設μ是定義在(X,A)上的有限單調(diào)測度,則

    定義6[6]若對任意的集列{An}n?A,AnA,ν(A)=0,都有則稱單調(diào)測度λ關于單調(diào)測度ν是[L]-型絕對連續(xù)的,記作λ?Lν.

    利用單調(diào)測度這3個結構特性,Li等得到了廣義Egoroff定理、廣義Lebesgue定理和廣義Riesz定理,并統(tǒng)一了相應定理的各種版本[6].廣義Egoroff定理陳述為:

    定理2[6]設λ,ν為(X,A)上的單調(diào)測度,則下列兩條等價:

    (1)λ?Eν;

    2 主要結論

    下面討論兩個單調(diào)測度之間的[E]型([L]型、[R]型)絕對連續(xù)性與這兩個單調(diào)測度是否滿足條件(E)(強序連續(xù)、性質(zhì)(S))之間的關系.

    定理3存在單調(diào)測度λ、ν,使得λ和ν都不滿足條件(E),但λ?Eν.

    單調(diào)測度ν定義為:

    由此看出,存在{ni}和{mi},使得

    即λ?Eν.

    定理4存在單調(diào)測度λ,ν,使得λ和ν都滿足條件(E),但既沒有λ?Eν,也沒有ν?Eλ.

    證明設X,A如定理3,單調(diào)測度λ,ν定義為:

    令mi=i,則易知

    證畢.

    注1還可以列舉出λ滿足條件(E),ν不滿足條件(E),但λ?Eν的單調(diào)測度λ,ν等.因此,λ,ν滿足條件(E)與λ?Eν和ν?Eλ之間是相互獨立的.

    定理5存在單調(diào)測度λ,ν,使得λ和ν都不是強序連續(xù)的,但ν?Lλ.

    證明設為自然數(shù)集,σ-代數(shù)A=2,則定義單調(diào)測度λ,ν:A[0,∞)為:

    由此看出,λ不是序連續(xù)的,因而不是強序連續(xù)的.事實上,設An={n,n+1,…},則An?,但ν也不是強序連續(xù)的.設An={0,n,n+1,…},則An{0}且λ({0})=0,但

    由于存在ν?Lλ,事實上,設AnA,λ(A)=0,則A=?.于是存在某個正整數(shù)n0,使得0?An(n>n0),則

    即ν?Lλ.

    證畢.

    定理6存在單調(diào)測度λ,ν,盡管λ和ν都是強序連續(xù)的,但既沒有λ?Lν,也沒有ν?Lλ.

    證明設為自然數(shù)集,σ-代數(shù)A=2,定義單調(diào)測度λ、ν:A[0,∞)為:

    設AnA,若λ(A)=0,則0?A.于是,存在某個正整數(shù)n0,使得0?An(n>n0),從而即λ是強序連續(xù)的.同理,ν也是強序連續(xù)的.

    設An={1,n,n+1,…},則An{1}且λ({1})=0,但因此ν?Lλ不成立.同理,λ?Lν也不成立.

    證畢.

    定理7存在單調(diào)測度λ,ν,使得λ和ν都不滿足性質(zhì)(S),但ν?Rλ.

    證明設X為全體正整數(shù)的集合,A=2X,則定義單調(diào)測度λ,ν為:

    則λ,ν都不滿足性質(zhì)(S).

    事實上,令

    Ak=X({1}∪{k,2k,3k,…}),

    證畢.

    定理8存在單調(diào)測度λ,ν,使得λ和ν滿足性質(zhì)(S),且λ?Rν,但ν?Rλ不成立.

    注2還可以舉出其他例子說明λ,ν滿足性質(zhì)(S)與λ?Rν和ν?Rλ之間是彼此獨立的.

    3 結 語

    本文討論了單調(diào)測度λ和μ是否滿足[E]-型([L]-型、[R]-型)絕對連續(xù)性,以及這兩個單調(diào)測度是否滿足條件[E]、強序連續(xù)、性質(zhì)(S)之間的關系.由結果可以看出,這些條件之間沒有必然的聯(lián)系,是彼此獨立的.今后將討論[E]-型、[L]-型和[R]-型絕對連續(xù)性之間,以及它們與其他絕對連續(xù)性[9]之間的關系.

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