智能多車協(xié)作跟馳模型的穩(wěn)定性與非線性分析

李 冰，葉金丹，宋 濤，2

(1.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000；2.湖州市數(shù)據(jù)建模與分析重點實驗室，浙江 湖州 313000)

0 引 言

車聯(lián)網(wǎng)和自動駕駛技術(shù)的日益成熟，為解決我國嚴峻的城市道路交通擁堵問題開辟了新的路徑.在現(xiàn)代智能交通技術(shù)背景下，探索交通流運行的微觀動力學(xué)機理，提高道路交通流的穩(wěn)定性，仍是交通科學(xué)研究的重要方向[1-2].時停時走波、三角激波、孤立波等與交通流穩(wěn)定性相關(guān)聯(lián)的各種車流密度波也是研究人員重點關(guān)注的課題[3-5].

車輛跟馳模型是交通流微觀模型中的一類重要模型.從車輛跟馳模型出發(fā)，自微觀角度利用非線性分析方法研究各類交通流密度波的形成、發(fā)展和傳播過程，對解決交通擁堵問題具有至關(guān)重要的作用[3-5].在國外，Nagatani針對經(jīng)典優(yōu)化速度模型進行了非線性分析，并對在各種狀態(tài)下出現(xiàn)的密度波進行了詳細的分類研究[5-6]；Kurtze就一般形式的車輛跟馳模型推導(dǎo)出的Burgers方程、Korteweg-de Vries (KdV) 方程，以及修正的 Korteweg-deVries (mKdV) 方程及其密度波解進行了系統(tǒng)的總結(jié)[3-4].國內(nèi)學(xué)者Xue應(yīng)用非線性分析法解析了涉及相對速度的優(yōu)化速度模型的Burgers、KdV和mKdv方程所對應(yīng)描述的三角激波、孤立波和扭結(jié)—反扭結(jié)密度波變化[7]；Ge等將Nagatani的研究成果推廣至多預(yù)期模型[8]和全速度差模型[9]；彭光含研究了雙前車信息的跟馳模型的穩(wěn)定性和各類密度波方程[10]；Kuang等構(gòu)建了由多預(yù)期平均速度效應(yīng)影響的跟馳模型，并對其進行了穩(wěn)定性分析和非線性分析[11]；曹芳等研究了智能提示限速信息的跟馳模型的穩(wěn)定性和各類密度波方程[12]；吳春秀等構(gòu)建了后視速度差車輛跟馳模型，推導(dǎo)出了模型方程的扭結(jié)-反扭結(jié)波解，并討論了參數(shù)的選取對交通系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[13].本文遵循全速度差跟馳模型的基本假設(shè)，在僅考慮行駛車輛前方一輛車的基礎(chǔ)上引入前方第二輛車，構(gòu)建智能多車協(xié)作跟馳模型，并分析其穩(wěn)定性條件和非線性動力學(xué)特征，給出不同區(qū)域的非線性密度波解.

1 智能多車協(xié)作跟馳模型

在車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，司機可以實時獲取豐富的交通信息，如周邊車輛的速度和與本車的間距等數(shù)據(jù)，從而及時調(diào)整車速和車間距，以保障駕乘的安全和穩(wěn)定.研究證實[1]，司機在駕駛過程中，不僅要密切關(guān)注最近鄰前車的行駛車速和間距變化，還要留意次近鄰前車行駛狀態(tài)的變化.前方兩輛車與本車之間的車間距和車速變化會在不同程度上影響行車安全，而且最近鄰前車的行駛狀態(tài)比次近鄰前車的行駛狀態(tài)對本車司機的影響程度更大，司機對車速差異的敏感度也高于對車間距差異的敏感度.因此，需要利用不同參數(shù)來描述次近鄰前車與本車之間的車速差異，以及車間距差異對本車行駛狀態(tài)的影響.在車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，眾多司機在駕駛車輛時，實時且精確獲取前方兩輛車的行駛狀態(tài)變化參數(shù)，有助于他們迅速做出反應(yīng).此時，司機相當(dāng)于利用各自車輛信息協(xié)作完成對交通流行為的預(yù)判，并做出相應(yīng)的駕駛操作反應(yīng).

全速度差車輛跟馳模型描述了前后兩輛車的跟馳行為，在理論分析和模擬仿真領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[14].模型方程為：

根據(jù)上述分析，本文以全速度差車輛跟馳模型為基礎(chǔ)，考慮前方兩輛車的行駛參數(shù)，構(gòu)建智能多車協(xié)作跟馳模型(Intelligent multi-vehicle cooperative car-following model)：

(1)

2 線性穩(wěn)定性分析

交通流的線性穩(wěn)定性分析是進行非線性分析的前提，也是區(qū)分穩(wěn)定性區(qū)域的基礎(chǔ)[16].為便于解析分析，將智能多車協(xié)作跟馳模型方程(1)改寫為：

(2)

假設(shè)車流的初始狀態(tài)為穩(wěn)定態(tài)，各車輛之間的車頭間距為h，對應(yīng)車輛的優(yōu)化速度為V(h)，則穩(wěn)態(tài)交通流的車輛位置可表示為：

對該均勻流施加一個小擾動yn(t)=exp(ikn+zt)，則有：

(3)

將式(3)代入式(2)，并進行線化，得：

(4)

將式(4)的yn按傅里葉級數(shù)展開，整理化簡，得：

z2=α[mV′(h)(eik-1)+(1-m)V′(h)eik(eik-1)-z]+k(1+l)z(eik-1)+klzeik(eik-1).

(5)

將參數(shù)z以z=z1ik+z2(ik)2+…的形式展開，由ik的同次冪系數(shù)相等，得：

當(dāng)z2為負值時，初始均勻的穩(wěn)定流狀態(tài)會變得不穩(wěn)定；當(dāng)z2為正值時，穩(wěn)定流狀態(tài)穩(wěn)定.因此，由z2=0，得智能多車協(xié)作跟馳模型的中性穩(wěn)定性曲線為：

3 非線性分析

因為交通密度波所研究的非線性交通波在某種意義下是“弱”非線性的，所以能利用小參數(shù)描述非線性效應(yīng)，從而采用各種漸近分析方法來求解方程.最常用的是約化攝動法[17]，其通過適當(dāng)?shù)淖鴺俗冃魏蛿z動展開，將車輛跟馳模型約化成可解的非線性方程(如Burgers方程、KdV 方程、mKdV方程等)，并通過討論各種交通波所對應(yīng)的密度波解存在的必要條件，探索參數(shù)選取對交通流穩(wěn)定性的影響[7].

由模型穩(wěn)定性條件可知，交通流分為3個區(qū)域：穩(wěn)定性區(qū)域、亞穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域.下面運用約化攝動法，由智能多車協(xié)作跟馳模型導(dǎo)出對應(yīng)不同區(qū)域的非線性方程及其密度波解.為便于分析，將方程(1)改寫為：

(6)

3.1 在穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鯞urgers方程和三角激波解

在交通流穩(wěn)定區(qū)域，對空間變量n和時間變量t引入慢變量：

X=ε(n+bt),T=ε2t,

(7)

其中,0<ε?1，b為待定參數(shù).設(shè)車頭間距為:

Δxn(t)=h+εR(X,T).

(8)

將式(7)和式(8)代入式(6)，并展開至ε3量級，得到偏微分方程：

(9)

令b=V′(h)，消除ε2項，化簡式(9)，得：

(10)

3.2 在亞穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鯧dV方程和孤立波解

在交通流亞穩(wěn)定區(qū)域，考慮在中性穩(wěn)定性曲線附近慢變量的變化行為，在中性穩(wěn)定性曲線附近對空間變量n和時間變量t引入緩變量：

X=ε(n+bt),T=ε3t，

(11)

其中，0<ε?1，b為待定參數(shù).設(shè)車頭間距為：

Δxn(t)=h+ε2R(X,T)，

(12)

將式(11)和式(12)代入式(6)，并展開至ε6量級，得到偏微分方程：

(13)

(14)

其中，

為給出帶有高階小量的標準KdV方程，進行以下變量代換：

對式(14)化簡，得：

(15)

式(15)是帶有校正項o(ε)的KdV方程，忽略o(ε)項可得標準的KdV方程：

由校正項的可解性條件[6]，可得其孤立波解及其振幅分別為：

從而得到車頭間距的孤立波解為：

這個解是在中性穩(wěn)定性曲線附近得到的.因此，利用KdV方程的孤立波解可描述還未發(fā)生交通堵塞的擁擠車流中的小規(guī)模的車輛集簇效應(yīng).此時，交通孤立波刻畫了車輛在擁擠車流中“時快時慢”的行駛現(xiàn)象.

3.3 在不穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鰉KdV方程和扭結(jié)—反扭結(jié)波解

在交通流不穩(wěn)定區(qū)域，考慮在臨界點附近引入緩變量：

X=ε(n+bt),T=ε3t，

其中,0<ε?1，b為待定參數(shù).設(shè)車頭間距為Δxn(t)=hI+εR(X,T)，將緩變量和車頭間距代入式(6)并展開至ε5量級，得到偏微分方程：

(16)

(17)

其中，

為給出帶有高階小量的標準mKdV方程，進行以下變量代換：

根據(jù)

對式(17)化簡，得：

(18)

式(18)是帶有校正項o(ε)的mKdV方程，忽略項o(ε)可得標準的mKdV方程：

由校正項的可解性條件[6],可得其扭結(jié)—反扭結(jié)波解及其波速分別為：

于是得到車頭間距的扭結(jié)—反扭結(jié)波解為：

扭結(jié)—反扭結(jié)波解表示車流運動的共存相，包括低密度的自由運動相和高密度的擁擠相.共存曲線可以利用Δxn(t)=hI±A在車頭間距—敏感度相圖中給出，自由運動相和擁擠相的車頭間距分別為Δxn(t)=hI+A和Δxn(t)=hI-A.這在一定程度上表明，扭結(jié)—反扭結(jié)波刻畫了車流中常見的時停時走波，是車輛之間相互作用引發(fā)的交通密度波的傳播.

選取優(yōu)化速度函數(shù)為高速公路實測函數(shù)VJ(h)[15]，其具體形式為：

VJ(h)=16.8{tanh[0.086(h-25)+0.913]}(m/s),

當(dāng)參數(shù)k,m,l取不同值時，智能多車協(xié)作跟馳模型所對應(yīng)的車頭間距—敏感度相圖如圖1所示.在圖1中，實線表示中性穩(wěn)定性曲線，虛線表示共存曲線.

圖1 車頭間距—敏感度相圖

由圖1可知，當(dāng)參數(shù)k,m,l取不同值時，交通流穩(wěn)定性的3個區(qū)域均可在圖1中明顯區(qū)分：共存曲線之上為穩(wěn)定區(qū)域，中性穩(wěn)定性曲線與共存曲線之間為亞穩(wěn)定區(qū)域，中性穩(wěn)定性曲線下方為不穩(wěn)定區(qū)域.從不同參數(shù)組對應(yīng)的車流穩(wěn)定性區(qū)域變化可以看出，在車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下考慮前方次近鄰車輛運動信息對本車的影響，可使中性穩(wěn)定曲線和共存曲線位置相對下降，從而擴大穩(wěn)定區(qū)域，這與前述從線性穩(wěn)定性分析得到的解析結(jié)果一致.根據(jù)前述的非線性分析推導(dǎo)過程可以看出，僅在均勻交通流引入的小擾動中設(shè)置不同的小參數(shù)，就可在臨界點附近觀測到扭結(jié)—反扭結(jié)波，在中性穩(wěn)定性曲線附近觀測到孤立波，也可在共存曲線上方觀測到三角激波.這3類非線性密度波出現(xiàn)在對應(yīng)交通流穩(wěn)定性的3個不同區(qū)域.

4 結(jié) 語

本文在車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，利用全速度差跟馳模型，并考慮本車與前方次近鄰車輛運動狀態(tài)信息的關(guān)系，構(gòu)建了智能多車協(xié)作跟馳模型.穩(wěn)定性條件表明，智能多車協(xié)作跟馳模型進一步增大了線性穩(wěn)定性區(qū)域，增強了車流的穩(wěn)定性.非線性分析結(jié)果表明，本文模型可在線性穩(wěn)定、亞穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域利用約化攝動法推導(dǎo)出Burgers、KdV和mKdV方程，以及與其對應(yīng)的三角激波、孤立波和扭結(jié)—反扭結(jié)波.這3類交通非線性密度波能夠描述在車流擁堵狀態(tài)下“車隊集簇”“時快時慢”“時停時走”的交通現(xiàn)象.