基于逆協(xié)方差交叉的分布式航跡融合算法

杜度， 李磊， 袁思鳴

(海軍研究院， 北京 101161)

隨著綜合聲吶系統(tǒng)的發(fā)展，聲吶設(shè)備由獨(dú)立單基陣轉(zhuǎn)向多陣聯(lián)合。多陣數(shù)據(jù)融合技術(shù)是關(guān)鍵研究?jī)?nèi)容之一。數(shù)據(jù)融合結(jié)構(gòu)可分為3類：集中式、分布式和混合式[1-2]。其中，分布式融合結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)據(jù)通信鏈路的帶寬要求較低、擴(kuò)展性好，具有很高的應(yīng)用價(jià)值。航跡融合是一種分布式數(shù)據(jù)融合結(jié)構(gòu)，融合的源信息是單聲吶陣的局部跟蹤航跡。

分布式數(shù)據(jù)融合算法的研究方向可分為2類：數(shù)據(jù)相關(guān)性已知的情況和數(shù)據(jù)相關(guān)性未知的情況。在相關(guān)性已知的條件下，可以得到最優(yōu)的數(shù)據(jù)融合算法，而實(shí)際的應(yīng)用中，更多是相關(guān)性未知的情況，若不考慮相關(guān)性的問(wèn)題，可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)融合結(jié)果的過(guò)度自信，嚴(yán)重的情況會(huì)出現(xiàn)融合結(jié)果發(fā)散，因此相關(guān)性未知的分布式融合問(wèn)題更值得研究。

在數(shù)據(jù)相關(guān)性已知或是假定狀態(tài)估計(jì)誤差相互獨(dú)立并忽略相關(guān)信息的情況下，簡(jiǎn)單航跡融合算法[3](simple fusion，SF) 的復(fù)雜度低、易于工程實(shí)現(xiàn)。但實(shí)際情況下，局部航跡的估計(jì)誤差通常存在一定相關(guān)性，若忽略，則融合結(jié)果將出現(xiàn)一定的偏離，極端情況可能會(huì)出現(xiàn)融合過(guò)度自信，進(jìn)而導(dǎo)致濾波器的發(fā)散，因此該算法存在一定的局限性。

為了獲得更好的航跡融合效果，數(shù)據(jù)相關(guān)性不可忽視。針對(duì)分布式融合系統(tǒng)中狀態(tài)估計(jì)誤差存在相關(guān)性的問(wèn)題，Bar等[4-5]推導(dǎo)了已知互協(xié)方差條件下的狀態(tài)估計(jì)融合算法，提出了協(xié)方差加權(quán)航跡融合算法(weighted covariance fusion, WCF)。在已知先驗(yàn)信息的情況下，協(xié)方差加權(quán)航跡融合算法將局部航跡的估計(jì)誤差相關(guān)性考慮在內(nèi)，控制了公共過(guò)程噪聲所產(chǎn)生的影響，是最小均方誤差意義下的無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)。但計(jì)算估計(jì)誤差的互協(xié)方差矩陣需要大量信息，算法的復(fù)雜度與計(jì)算量提升，數(shù)據(jù)通信速率要求提高。自適應(yīng)航跡融合算法(adaptive fusion，AF)使用簡(jiǎn)單的融合算法結(jié)構(gòu)獲得與復(fù)雜算法一樣的精度。AF算法[6]利用決策邏輯，根據(jù)輸入的局部航跡，進(jìn)行決策分析，選擇合適的航跡融合算法計(jì)算系統(tǒng)航跡。Julier等[7-9]提出協(xié)方差交叉算法(covariance intersection, CI)，無(wú)需估計(jì)相關(guān)性，可用于任意分布式融合系統(tǒng)。在相關(guān)性未知的條件下，該算法是一種滿足估計(jì)結(jié)果一致性的保守算法，其融合結(jié)果的精度不低于任意局部結(jié)果，且融合過(guò)程中無(wú)需對(duì)相關(guān)估計(jì)誤差進(jìn)行估計(jì)。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)得到的逆協(xié)方差交叉算法(inverse covariance intersection, ICI)[10-11]進(jìn)一步提高了融合精度，是一種更為有效的航跡融合算法。

在數(shù)據(jù)相關(guān)性未知的條件下，本文以橢球法為研究方向，首先對(duì)不同局部航跡進(jìn)行預(yù)處理，其次，研究基于ICI的多陣航跡融合算法，并通過(guò)理論分析及基于協(xié)方差橢球的幾何分析驗(yàn)證了該算法的有效性。同時(shí)，本文利用位置均方根誤差、狀態(tài)協(xié)方差矩陣及海林格距離結(jié)合的航跡融合評(píng)價(jià)指標(biāo)，客觀全面地對(duì)融合算法進(jìn)行性能分析，避免了單一指標(biāo)的局限性。

1 航跡融合預(yù)處理

對(duì)于分布式航跡融合系統(tǒng)，每個(gè)局部跟蹤系統(tǒng)都建立在其自身合適的坐標(biāo)系下，在局部航跡上傳到融合中心進(jìn)行航跡融合處理之前需要完成局部航跡到全局航跡的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將其統(tǒng)一到同一個(gè)坐標(biāo)系下。

以空間直角坐標(biāo)系為例，圖1中有n個(gè)局部跟蹤節(jié)點(diǎn)，在各自坐標(biāo)系下，每個(gè)局部跟蹤節(jié)點(diǎn)在某時(shí)刻探測(cè)得到目標(biāo)的空間坐標(biāo)分別為(xi,yi,zi)，已知各局部跟蹤節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)中心相對(duì)于全局系統(tǒng)的空間直角坐標(biāo)為Oi，其中i=1,2,…,n，系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 航跡融合系統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意

每個(gè)局部跟蹤節(jié)點(diǎn)得到的目標(biāo)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)(x0,y0,z0)為：

(x0,y0,z0)=(xi,yi,zi)+(Oi-O),i=1,2,…,n

如圖2所示，由于不同局部航跡跟蹤系統(tǒng)的采樣頻率可能不一致，會(huì)造成時(shí)間不匹配問(wèn)題。常用的時(shí)間對(duì)準(zhǔn)方法如最小二乘法和內(nèi)插法等適用于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型為勻速直線運(yùn)動(dòng)的情況，對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)效果不理想。曲線擬合是一種常見(jiàn)的數(shù)據(jù)處理方法[12-13]，擬合的原則是使原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)均勻分布在擬合曲線的上方或下方，該曲線可以反映出數(shù)據(jù)的整體分布特點(diǎn)，在某種度量條件下，使擬合函數(shù)與原始的數(shù)據(jù)在總體上的偏差最小。最小二乘法以誤差平方和最小化為度量標(biāo)準(zhǔn)，尋找針對(duì)數(shù)據(jù)集的最佳匹配函數(shù)[14-15]。為此，本文利用基于最小二乘的曲線擬合算法進(jìn)行時(shí)間對(duì)準(zhǔn)。

圖2 采樣頻率不同下的時(shí)間對(duì)準(zhǔn)問(wèn)題

假設(shè)待擬合的數(shù)據(jù)集為(xi,yi)，利用該數(shù)據(jù)集擬合后的曲線方程為f(x)，則該擬合曲線與原始數(shù)據(jù)集的誤差為：

δi=f(xi)-yi,i=1,2,…,n

擬合函數(shù)的形式有很多，一般選擇多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，設(shè)一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)集合為φ={φ0,φ1,…,φn}，令：

f(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+…+anφn(x)=

在最小二乘準(zhǔn)則下，曲線擬合的核心公式為：

下面對(duì)基于曲線擬合的時(shí)間對(duì)準(zhǔn)算法進(jìn)行仿真分析：假定目標(biāo)0時(shí)刻由位置0沿著X軸做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為1 m/s，加速度為1 m/s2，設(shè)定有2個(gè)跟蹤系統(tǒng)同時(shí)開(kāi)機(jī)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行航跡跟蹤，系統(tǒng)1的采樣周期為3 s，系統(tǒng)2的采樣周期為5 s。對(duì)跟蹤系統(tǒng)1的航跡結(jié)果利用二次多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合，而后依據(jù)跟蹤系統(tǒng)2的采樣頻率進(jìn)行時(shí)間對(duì)準(zhǔn)，對(duì)準(zhǔn)前后對(duì)比圖如圖3所示。

由圖3中可知，利用曲線擬合的方式可以有效地完成時(shí)間對(duì)準(zhǔn)。

圖3 基于曲線擬合法的時(shí)間對(duì)準(zhǔn)

2 基于ICI的多陣航跡融合算法及性能分析

首先，對(duì)任一局部航跡狀態(tài)向量x以及協(xié)方差矩陣P，定義協(xié)方差橢球：

xTP-1x=c

(1)

式中c為常數(shù)。則滿足式(1)的所有點(diǎn)構(gòu)成的軌跡為協(xié)方差橢球。當(dāng)狀態(tài)向量為二維時(shí)，協(xié)方差橢球變?yōu)閰f(xié)方差橢圓。

ICI算法在CI算法基礎(chǔ)上衍生而出，相比于CI算法，ICI算法在滿足一致性估計(jì)的條件下，可以獲得不那么保守的融合結(jié)果。ICI算法的融合公式為：

x=Ω1x1+Ω2x2

ω∈[0,1]

其中：

(2)

與CI算法的處理方式類似，由于矩陣對(duì)角線元素代表著狀態(tài)向量估計(jì)的方差值，則以協(xié)方差矩陣的跡為最小化性能指標(biāo)，搜索最優(yōu)權(quán)值ω，有如下函數(shù)：

(ωP1+(1-ω)P2)-1)-1

(3)

接下來(lái)，對(duì)逆協(xié)方差交叉算法性能進(jìn)行理論分析。首先給出一個(gè)引理[16]：對(duì)于任意的權(quán)值ω*∈[0,1]，一定存在一個(gè)權(quán)值ω′∈[0,1]，使PICI(ω′)≤PCI(ω*)。

假設(shè)權(quán)值ω′∈[0,1]、ω*∈[0,1]，且ω′=1-ω*，根據(jù)協(xié)方差交叉及逆協(xié)方差交叉算法，可推出：

(4)

式中：P1和P2存在對(duì)角化矩陣，即：Λ1=AP1AT、Λ2=AP2AT，則式(2)可改寫為：

其中：

(5)

則式(4)可表示為：

又因?yàn)椋?/p>

(1-ω*)2+(ω*)2+2ω*(1-ω*)-1=0

(6)

可以推出對(duì)角線元素(Λ)ii≥0，從而證明如下關(guān)系：

對(duì)應(yīng)得到：

PICI(ω′)≤PCI(ω*)

由式(5)可知，ICI算法的融合精度高于CI算法。

3 航跡融合性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了更加全面地對(duì)航跡融合算法進(jìn)行性能分析，避免僅利用位置均方根誤差等單一性能指標(biāo)的局限性，借助于航跡融合評(píng)價(jià)指標(biāo)的思想[17-19]，利用不同評(píng)價(jià)指標(biāo)融合性分析，以給出合理的數(shù)值。

1)位置均方根誤差。

式中N代表航跡中的樣本總數(shù)。

2)狀態(tài)協(xié)方差矩陣。

狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差矩陣Pk為：

①數(shù)值表示法：利用狀態(tài)協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素反映目標(biāo)狀態(tài)中每個(gè)參數(shù)估計(jì)的誤差大小，因此狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差矩陣Pk的跡可以反映出目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的精度，記作trace(Pk)；

②幾何表示法：即協(xié)方差橢球，若位置狀態(tài)向量為二維，協(xié)方差橢球退化為協(xié)方差橢圓，橢圓越小表明測(cè)量精度越高。

下面從幾何角度對(duì)比分析CI算法和ICI算法的性能，即利用協(xié)方差橢球?qū)Ρ确治?。設(shè)一個(gè)二維狀態(tài)向量的2個(gè)狀態(tài)估計(jì)值的協(xié)方差矩陣分別為P1和P2，其中：

得到的融合結(jié)果如圖4所示。由圖4可知，從幾何角度看，2種融合算法均可以得到精度更高的融合結(jié)果。但I(xiàn)CI算法的協(xié)方差橢圓始終在CI算法協(xié)方差橢圓的內(nèi)部，ICI算法相比于CI算法有著更高的融合精度。幾何分析驗(yàn)證了式(6)推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

圖4 協(xié)方差交叉與逆協(xié)方差交叉融合結(jié)果對(duì)比

3)海林格距離。

位置均方根誤差在一定程度上可以有效地反映出融合算法的優(yōu)劣性，但是沒(méi)有將估計(jì)狀態(tài)的不確定性考慮在內(nèi)。狀態(tài)估計(jì)的協(xié)方差矩陣反映了估計(jì)結(jié)果的不確定性，因此有必要將其考慮到融合算法的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)內(nèi)。

舉例說(shuō)明海林格距離，假設(shè)某目標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)為μ=(0,0)，有3個(gè)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 狀態(tài)估計(jì)結(jié)果

各個(gè)估計(jì)狀態(tài)的均值及其協(xié)方差橢圓的分布情況如圖5所示。

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，海林格距離用于度量2個(gè)概率分布的相似性。假設(shè)存在2個(gè)概率分布函數(shù)分別為f(·)和g(·)，海林格距離定義為：

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行平方項(xiàng)展開(kāi)，可得：

由柯西-施瓦茲不等式可知，海林格距離的取值范圍在0～1，當(dāng)2個(gè)概率分布互相不重疊時(shí)，海林格距離得到1。

其中：

表2 RMSE和海林格距離

因此僅僅利用單一評(píng)價(jià)指標(biāo)有失偏，同時(shí)利用各評(píng)價(jià)指標(biāo)，從不同維度評(píng)價(jià)航跡融合的性能更為公允可靠。

4 ICI算法性能仿真驗(yàn)證

本節(jié)設(shè)計(jì)一個(gè)基于被動(dòng)聲吶的航跡估計(jì)與融合系統(tǒng)，對(duì)ICI算法進(jìn)行仿真分析?；诒粍?dòng)聲納的分布式航跡融合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 基于被動(dòng)聲吶的分布式航跡融合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)存在2個(gè)局部跟蹤節(jié)點(diǎn)，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型采用“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型，跟蹤濾波算法采用卡爾曼濾波算法，融合中心采用ICI算法進(jìn)行處理，融合方程中最優(yōu)權(quán)值“ω”的搜索采用黃金分割法進(jìn)行求解。

仿真參數(shù)如下：

1) 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)：2次機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模型，運(yùn)動(dòng)參數(shù)如表3所示。

表3 2次機(jī)動(dòng)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型參數(shù)

2) 量測(cè)參數(shù)：2部被動(dòng)聲吶提供給跟蹤濾波的量測(cè)參數(shù)為目標(biāo)的二維坐標(biāo)x、y，其測(cè)量誤差服從均值為0 m、標(biāo)準(zhǔn)差為100 m的高斯分布。

3) 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型：在“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型中，機(jī)動(dòng)頻率α=0.02 s、最大加速度amax=0.3 m/s2。

圖7 (a)給出單次仿真的真實(shí)航跡、2條局部跟蹤航跡及ICI算法融合后的航跡結(jié)果，圖7 (b)給出了x及y方向的跟蹤誤差及融合誤差。

圖7 ICI算法單次航跡融合結(jié)果

圖8統(tǒng)計(jì)了500次蒙特卡羅仿真下ICI數(shù)據(jù)融合前后的誤差對(duì)比。圖8(a)給出了x方向和y方向融合前后的位置均方根誤差，圖8(b)給出了融合前后航速的均方根誤差。

表4統(tǒng)計(jì)了100～700 s內(nèi)空間位置均方根誤差及航速均方根誤差的平均值。

表4 100～700 s內(nèi)空間位置均方根誤差均值

通過(guò)圖8及表4的仿真結(jié)果可以看出，ICI算法綜合了局部傳感器的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，能夠有效地給出航跡融合結(jié)果。從均方根誤差指標(biāo)評(píng)價(jià)角度來(lái)看，ICI算法融合后的x、y方向誤差分別為28.47 m和28.72 m，航速誤差為1.60 m/s，均優(yōu)于融合前的局部航跡。

圖8 ICI算法航跡融合均方根誤差

圖9給出了每秒局部航跡及系統(tǒng)航跡的狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣的跡的均方根。由圖9可知，ICI融合后的狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣的跡的均方根始終小于局部航跡，誤差值更小，融合后的航跡更加接近真實(shí)航跡。

圖9 數(shù)據(jù)融合前后狀態(tài)估計(jì)方差矩陣的跡

接著，利用序貫濾波處理思想，估計(jì)得到最優(yōu)航跡融合結(jié)果，而后計(jì)算局部航跡狀態(tài)估計(jì)與融合航跡狀態(tài)估計(jì)結(jié)果與最優(yōu)航跡融合之間的海林格距離，如圖10所示。

從圖10中可以看出融合航跡的海林格距離小于局部航跡，全局航跡的狀態(tài)估計(jì)性能更優(yōu)于局部航跡。

圖10 航跡融合前后海林格距離對(duì)比

綜合以上仿真結(jié)果可知：ICI算法可以有效地對(duì)2個(gè)獨(dú)立跟蹤節(jié)點(diǎn)上傳的航跡數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，通過(guò)ICI融合可以得到更高精度的結(jié)果，且融合過(guò)程中不需要進(jìn)行互協(xié)方差矩陣的推導(dǎo)及估計(jì)，避免了計(jì)算未知互協(xié)方差的步驟，對(duì)于無(wú)法有效估計(jì)互協(xié)方差的復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，算法的適用性及魯棒性也更高。

5 結(jié)論

1)本文考慮到估計(jì)誤差的相關(guān)性對(duì)分布式融合的影響，首先對(duì)不同局部航跡進(jìn)行了預(yù)處理，研究了基于逆協(xié)方差交叉的航跡融合算法，利用不同航跡融合評(píng)價(jià)指標(biāo)(位置均方根誤差、狀態(tài)協(xié)方差矩陣及海林格距離)結(jié)合分析算法性能，避免了單一指標(biāo)的局限性。

2)理論定量分析與仿真結(jié)果說(shuō)明ICI算法可有效融合不同的局部航跡，且相較于CI算法，融合精度更高。

3)在局部狀態(tài)估計(jì)誤差相關(guān)性未知的情況下，ICI算法無(wú)需計(jì)算傳感器之間的相關(guān)估計(jì)誤差以及互協(xié)方差矩陣，是一種有效的融合算法。同時(shí)，融合不同性能指標(biāo)的評(píng)價(jià)體系可應(yīng)用于任意復(fù)雜的分布式融合系統(tǒng)中，能給出更為客觀公允有效的結(jié)果，具有很高的應(yīng)用價(jià)值。