數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討

甘肅省張掖市民樂(lè)縣第四中學(xué) 謝為勤

數(shù)形結(jié)合思想是初中階段一種較為重要的數(shù)學(xué)思想，“數(shù)”與“形”是構(gòu)成數(shù)學(xué)的基本要素。目前，一些初中生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解不夠深入，應(yīng)用不甚靈活。對(duì)此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)中，教師應(yīng)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的方法。這樣有利于學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)等用具體的圖形展現(xiàn)出來(lái)，降低學(xué)生解題的難度；同時(shí)還可以讓學(xué)生對(duì)具體的圖形進(jìn)行抽象分析，提高對(duì)幾何圖形、空間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生的抽象思維能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的意義

在初中數(shù)學(xué)課程中，數(shù)形結(jié)合思想幾乎貫穿于整個(gè)教學(xué)階段，例如在有理數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要結(jié)合數(shù)軸定位、理解有理數(shù)；在二次函數(shù)圖像的相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)中，可以借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)；在利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，可以將具體問(wèn)題抽象為函數(shù)圖像，便于分析和理解。教師可以結(jié)合這些具體的課程內(nèi)容，有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，這對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分重要的。

第一，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的抽象概念。數(shù)學(xué)知識(shí)具有高度抽象的特點(diǎn)，初中生抽象思維能力不足，在學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)概念時(shí)無(wú)法完全理解，或者出現(xiàn)理解偏差，在知識(shí)運(yùn)用中出現(xiàn)錯(cuò)誤。對(duì)此，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可以讓學(xué)生借助具體的圖形理解抽象概念的本質(zhì)，理解、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，為知識(shí)應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。例如在學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)知識(shí)的過(guò)程中，教師需要為學(xué)生講清楚自變量、函數(shù)、函數(shù)值等概念，這時(shí)教師可以利用坐標(biāo)圖為學(xué)生構(gòu)建函數(shù)圖像，并結(jié)合現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考x、y 這兩個(gè)變量的變化情況，分析對(duì)x 的每一個(gè)值，y 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，進(jìn)而確定函數(shù)的概念。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)可以讓函數(shù)概念變得不再那么抽象，學(xué)生通過(guò)圖形可以對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行理解和內(nèi)化，并加強(qiáng)記憶，增加對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握。

第二，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生增強(qiáng)解題能力。學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中，需要面對(duì)大量的習(xí)題。準(zhǔn)確解答習(xí)題對(duì)于學(xué)生鞏固知識(shí)、構(gòu)建知識(shí)基礎(chǔ)、增強(qiáng)學(xué)習(xí)能力具有重要意義。所謂“授之以魚，不如授之以漁”，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用就是為學(xué)生的解題提供一條有效的思路。因此，在初中數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)中，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行“以形助數(shù)”或者“以數(shù)解形”，引導(dǎo)學(xué)生自主繪制圖形，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。例如題目：y=x2+x-2，y=x2-6x+9，y=x2-x+1。這三個(gè)函數(shù)與x 軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是多少？在這一題目解答中，直接采用函數(shù)圖像進(jìn)行分析，不僅可以直接找到解題思路，更能夠迅速找到答案，并為學(xué)生對(duì)比函數(shù)之間的特點(diǎn)提供機(jī)會(huì)。

第三，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生提升思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)于學(xué)生的思維鍛煉是十分重要的。學(xué)生在建構(gòu)和完善數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)程中，思維的抽象性和靈敏性也不斷提升，而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用則可以進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維。例如在初中階段，教師可以以“函數(shù)”為主題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)總結(jié)，利用函數(shù)圖像對(duì)比不同的函數(shù)特點(diǎn)，并抽象總結(jié)函數(shù)的概念；在函數(shù)知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程中，教師可以通過(guò)圖形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行靈活分析，探究多元化的解題思路，發(fā)散思維，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思考。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）明確數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的原則

“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化可以在學(xué)生解答數(shù)學(xué)習(xí)題的過(guò)程中提供便捷的思路和有效的工具，提高學(xué)生的做題效率和準(zhǔn)確性。但是，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用需要具備一定的條件，教師在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用的過(guò)程中，也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生遵循一定的原則。

第一，等價(jià)原則。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，只有在代數(shù)和幾何性質(zhì)相互等價(jià)的前提下才具備數(shù)形轉(zhuǎn)化的條件。如果不立足在等價(jià)轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，數(shù)形結(jié)合思想在運(yùn)用過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r，所轉(zhuǎn)化的內(nèi)容無(wú)法覆蓋所有可能，導(dǎo)致解題思路出現(xiàn)偏差。例如數(shù)軸的點(diǎn)與實(shí)數(shù)存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這就說(shuō)明“數(shù)”與“形”在此時(shí)是等價(jià)的，而二者的轉(zhuǎn)化也就順理成章。

第二，雙向原則。一些學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程中，片面重視“以形助數(shù)”的方式，利用幾何圖形解釋數(shù)字關(guān)系的本質(zhì)。實(shí)際上，在數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用中，需要將“數(shù)”與“形”相互滲透，相互轉(zhuǎn)化，這樣才能發(fā)揮彼此的優(yōu)勢(shì)。例如在推導(dǎo)平方差公式的過(guò)程中，教師可以用多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行數(shù)的解析，還可以從四邊形面積變化的角度分析其在圖形中的表現(xiàn)，以幫助學(xué)生從多角度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化。

第三，簡(jiǎn)化原則。數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的目的是簡(jiǎn)化題目，為解答問(wèn)題找到更加便捷有效的思路。因此，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生針對(duì)不同類型的題目，選擇合適的解題方式。例如有些題目利用圖像法會(huì)更加直觀簡(jiǎn)潔，有些題目需要具體的數(shù)據(jù)精準(zhǔn)計(jì)算才能得到準(zhǔn)確答案。在分析中應(yīng)做具體處理，并從簡(jiǎn)化問(wèn)題的角度運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，找到最佳的解題方案。

（二）把握數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的內(nèi)容

初中階段，數(shù)學(xué)課程主要?jiǎng)澐譃閿?shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等不同的模塊。教師在教學(xué)指導(dǎo)中，應(yīng)把握不同模塊的特點(diǎn)，有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生自主應(yīng)用，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握。

第一，在數(shù)與代數(shù)相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)有理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算和函數(shù)的表達(dá)時(shí)，教師可以利用圖形為學(xué)生展現(xiàn)數(shù)以及數(shù)量關(guān)系，提高學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)。例如在引導(dǎo)學(xué)生理解有理數(shù)的過(guò)程中，教師應(yīng)借助“數(shù)軸”這一工具進(jìn)行講解，提高學(xué)生對(duì)有理數(shù)掌握的準(zhǔn)確性，并為相關(guān)運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。

第二，在空間與圖形相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。教師在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)空間和平面圖形、分析圖形性質(zhì)、描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中可以滲透數(shù)形結(jié)合思想。例如在描述某一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，教師可以利用平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行具體分析，提高學(xué)生對(duì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直觀認(rèn)識(shí)。

第三，在統(tǒng)計(jì)與概率相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。教師指導(dǎo)學(xué)生收集、整理、處理數(shù)據(jù)，分析簡(jiǎn)單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率時(shí)可以滲透數(shù)形結(jié)合思想。例如在學(xué)習(xí)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的過(guò)程中，教師可以利用不同數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系上描點(diǎn)，增加學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的理解，直觀感受統(tǒng)計(jì)學(xué)中各種“數(shù)”的特點(diǎn)。

第四，在綜合與實(shí)踐相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。教師引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)踐活動(dòng)、指導(dǎo)學(xué)生解答生活問(wèn)題時(shí)可以滲透數(shù)形結(jié)合思想。例如在“利用多邊形的瓷磚鋪客廳地板”的問(wèn)題中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算繪制鋪設(shè)圖形，并思考實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力。

（三）明確數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方法

在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用必須落到實(shí)處。教師在確定數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原則和應(yīng)用范圍后，還需要結(jié)合具體的案例分析其應(yīng)用方法，促使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中把握數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)，并積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用。

第一，講解數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，它是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的各種數(shù)量關(guān)系、空間幾何關(guān)系、邏輯關(guān)系的高度抽象。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生理解其表面的含義，還需要促使學(xué)生在剖析、研究、類比、轉(zhuǎn)化等一系列思維活動(dòng)中探究概念的本質(zhì)，這樣才能達(dá)到靈活運(yùn)用的目的。基于此，在數(shù)學(xué)概念的講解中，教師可以滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生獲得關(guān)鍵性的解題經(jīng)驗(yàn)，從更加直觀的角度探究概念的本質(zhì)。例如在學(xué)習(xí)“數(shù)軸”概念的時(shí)候，教師從數(shù)量關(guān)系和空間形式上引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)軸想象成溫度計(jì)，并以此說(shuō)明數(shù)軸的三個(gè)構(gòu)成要素，即度量起點(diǎn)、度量單位、明確的增減方向。這樣學(xué)生在理解抽象數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中可以獲得具體的圖形的支撐，同時(shí)也為數(shù)軸知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用做好了鋪墊。這種教學(xué)設(shè)計(jì)可以將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體的形式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生合理類比，可以降低學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的難度，促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展。

第二，推導(dǎo)數(shù)學(xué)定理，促使學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師不僅要讓學(xué)生掌握教材上的知識(shí)點(diǎn)與理論，還需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生成的過(guò)程，即向?qū)W生展現(xiàn)思維形成的步驟，讓學(xué)生能夠在主動(dòng)思考的過(guò)程中真正獲取知識(shí)，成為知識(shí)的主人。初中數(shù)學(xué)教材上的各種數(shù)學(xué)定理，都是前人經(jīng)過(guò)大量驗(yàn)證推算出來(lái)的。教師在教學(xué)指導(dǎo)中不僅要讓學(xué)生掌握這些定理，更要利用定理的推導(dǎo)過(guò)程錘煉學(xué)生的思維，而在這一過(guò)程中數(shù)形結(jié)合思想有著重要的應(yīng)用價(jià)值。例如在“勾股定理”的學(xué)習(xí)中，教師給出了直角三角形的三條邊以及定理：a2+b2=c2，并要求學(xué)生證明。在證明中教師根據(jù)歐幾里得的經(jīng)典方法啟發(fā)學(xué)生，即在直角三角形的三條邊外接正方形，并通過(guò)正方形面積的計(jì)算和轉(zhuǎn)化完成證明。在這一教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生首先獲得的是勾股定理的抽象表達(dá)，然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想反推結(jié)論，利用證明步驟呈現(xiàn)思維過(guò)程。直接的證明對(duì)初中生來(lái)說(shuō)比較困難，而利用圖形進(jìn)行解析，并將結(jié)論等量轉(zhuǎn)化可以降低證明難度，提高證明效率，加深學(xué)生對(duì)定理的印象。

第三，加強(qiáng)解題指導(dǎo)，利用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生解題。解題教學(xué)是幫助學(xué)生理解知識(shí)、鞏固知識(shí)的重要方式。但是，在初中解題教學(xué)中，一些學(xué)生對(duì)例題的理解不夠深入，只要教師對(duì)原本的例題稍加變式，就會(huì)束手無(wú)策。對(duì)此，教師在解題教學(xué)中不應(yīng)該只重視結(jié)果，還應(yīng)重視學(xué)生對(duì)解題方法的掌握，而數(shù)形結(jié)合不失為一個(gè)科學(xué)有效的方法。例如在學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，在解題教學(xué)中教師設(shè)計(jì)題目：由4 個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，若大正方形面積是9，小正方形面積是1，直角三角形較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，則 ab 的值是多少？在解題指導(dǎo)中，教師啟發(fā)學(xué)生自主繪制圖形并根據(jù)小正方形、大正方形的面積列出方程組，通過(guò)完全平方公式的變形公式來(lái)求ab 的值。這一題目考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運(yùn)用，考查了正方形面積以及方程組的計(jì)算。教師從“勾股定理”出發(fā)，結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)形成變式，并利用數(shù)形結(jié)合的思想引導(dǎo)學(xué)生找到解題的方法。這樣可以讓學(xué)生從新的角度認(rèn)識(shí)勾股定理，提高知識(shí)應(yīng)用的靈活性以及解題的準(zhǔn)確性。

第四，結(jié)合復(fù)習(xí)教學(xué)，突出數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。在初中數(shù)學(xué)教材中，數(shù)形結(jié)合思想在各個(gè)章節(jié)都有對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。教師在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該將與數(shù)形結(jié)合思想關(guān)系密切的知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)出來(lái)，讓原本抽象的知識(shí)變得更直觀，同時(shí)也有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系。例如在“二次函數(shù)”相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)結(jié)合理論知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧二次函數(shù)解析式中各個(gè)參數(shù)的變化對(duì)二次函數(shù)的影響，并根據(jù)二次函數(shù)的相應(yīng)圖像表現(xiàn)出各個(gè)參數(shù)的大小、正負(fù)、位置與數(shù)值，最終用表格的形式展現(xiàn)出來(lái)。這樣學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)圖像，可以對(duì)其中包含的知識(shí)點(diǎn)形成更加清晰的了解和認(rèn)知，復(fù)習(xí)效果自然也會(huì)有所提升。當(dāng)然，在復(fù)習(xí)教學(xué)中教師還應(yīng)給予學(xué)生自主空間，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)課上所學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想梳理單元知識(shí)，將抽象的數(shù)量關(guān)系與具體的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，構(gòu)建思維導(dǎo)圖，完成復(fù)習(xí)任務(wù)。

（四）做好數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的反思

在初中數(shù)學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)針對(duì)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)不斷反思，為教學(xué)改進(jìn)提供依據(jù)。在數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用中，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的掌握程度，分析教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)情況，發(fā)現(xiàn)教學(xué)問(wèn)題，促使教學(xué)改進(jìn)。比如教師應(yīng)深入鉆研數(shù)學(xué)教材，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想及其在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程中，教師應(yīng)圍繞教材內(nèi)容展開(kāi)，為學(xué)生提供更具針對(duì)性的案例，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形分析數(shù)學(xué)概念，深化對(duì)知識(shí)的理解程度。這樣在教學(xué)實(shí)踐中才能把握要點(diǎn)，保證教學(xué)效果。

總之，在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的滲透與應(yīng)用提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)根據(jù)課程改革的要求，明確數(shù)學(xué)思想滲透與應(yīng)用的要求，改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，把握學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展需要，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，這對(duì)于初中數(shù)學(xué)課程的改革也是十分重要的。