四邊簡支板結(jié)構(gòu)的撓電能量采集研究

張旭方，劉 麗，傅佳宏，王鵬飛

(浙大城市學院 工程學院機械電子工程學系，浙江 杭州 310015)

0 引言

能量采集技術(shù)是一種利用能量采集器從其周圍環(huán)境中獲取能量的技術(shù)。能量采集器(俘能器)能夠利用各種新型智能材料、結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，將環(huán)境中的能量轉(zhuǎn)化為電能，并加以存儲和利用[1]。近年來基于能量采集的研究成為學者們關(guān)注的熱點之一。壓電式[2-6]是使用最廣泛的能量采集方法，但壓電材料需要預(yù)先極化，使用時間過長則存在退極化現(xiàn)象。此外，壓電材料(如PZT陶瓷等)常含有鉛元素，制備過程中易造成環(huán)境污染。撓電材料作為一種新興的力電耦合智能材料，引起研究者的關(guān)注。正撓電效應(yīng)反映了應(yīng)變梯度與電場間的力電耦合關(guān)系。近年來研究者基于撓電材料進行了大量的理論與實驗研究，通過不同的理論與實驗方法確定各種撓電材料的正撓電系數(shù)與逆撓電系數(shù)[7-8]。針對撓電材料的撓電系數(shù)研究是為了更好地掌握材料特性，為進一步設(shè)計應(yīng)用于不同工程中的各種撓電器件提供良好的基礎(chǔ)。

WANG等[9]詳細論述了固體中撓電效應(yīng)近年來的發(fā)展、挑戰(zhàn)與前景，給出了宏觀與微觀的撓電效應(yīng)的理論發(fā)展時間軸和里程碑成就。由于撓電效應(yīng)與梯度有關(guān)，撓電效應(yīng)在納米微小尺度應(yīng)用[10-12]廣泛。近年來基于宏觀材料尺度的撓電效應(yīng)也引起了人們的關(guān)注?；谡龘想娦?yīng)設(shè)計出各種撓電傳感器、俘能器等對智能結(jié)構(gòu)進行傳感監(jiān)測與能量采集研究[13-14]。本文設(shè)計了基于一般雙曲率殼結(jié)構(gòu)的撓電俘能器[15-16]，該俘能器可應(yīng)用于大變形的非線性結(jié)構(gòu)和小變形的線性結(jié)構(gòu)，并根據(jù)不同結(jié)構(gòu)的拉梅常數(shù)與曲率半徑可將基于雙曲率殼結(jié)構(gòu)的撓電俘能器結(jié)構(gòu)應(yīng)用到不同的板殼結(jié)構(gòu)[17]。

1 四邊簡支板撓電俘能器模型建立

圖1為矩形板撓電俘能器模型。矩形板長度為a，寬度為b，厚度為h。撓電片的厚度為he，上下表面均勻涂有電極，且理想粘貼在彈性板的表面。撓電片上下表面通過導線連接到外部的負載電阻上。由于he?h(h為彈性板的厚度)，故撓電片的質(zhì)量與剛度對矩形板的影響可忽略。

圖1 四邊簡支板的撓電俘能器示意圖

分析過程中，假設(shè)撓電片理想地粘貼在彈性板的表面，因此，彈性板發(fā)生變形時，撓電片也相應(yīng)地發(fā)生變形。撓電片的應(yīng)變即為彈性板的變形，彎曲應(yīng)變[15]為

(1)

(2)

(3)

式中：kij(i,j=1,2)為彎曲應(yīng)變；A1,A2為x和y方向的拉梅常數(shù)；R1,R2為x和y方向的曲率半徑；ui(i=1,2,3)分別為i方向的位移分量。

對于彈性板結(jié)構(gòu)，分別用x,y,z表示3個方向的坐標，考慮橫向振動時，橫向位移u3占主導，x，y方向的位移u1和u2可忽略。由結(jié)構(gòu)的幾何尺寸分析，矩形板的拉梅常數(shù)A1=Ax=A2=Ay=1，曲率半徑R1=Rx=R2=Ry=∞[18]。將板結(jié)構(gòu)的拉梅常數(shù)與曲率半徑代入式(1)～(3),得到彈性板的彎曲應(yīng)變?yōu)?/p>

(4)

(5)

(6)

根據(jù)模態(tài)擴展法，動態(tài)位移響應(yīng)u3可用模態(tài)參與因子ηmn和模態(tài)函數(shù)U3mn[19]表示為

(7)

式中:兩個求和符號表示所有參與模態(tài)的疊加；m,n分別為x、y方向的模態(tài)數(shù)；U3mn為橫向振動的(m,n)階模態(tài)函數(shù)。

結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)取決于結(jié)構(gòu)的邊界條件與結(jié)構(gòu)尺寸，當矩形板四邊簡支時，結(jié)構(gòu)的橫向振動模態(tài)函數(shù)[19]為

(8)

當結(jié)構(gòu)尺寸與邊界條件確定時，結(jié)構(gòu)的固有頻率確定。固有頻率與模態(tài)為結(jié)構(gòu)的固有屬性，反映了不同模態(tài)下的結(jié)構(gòu)振動特性。四邊簡支板結(jié)構(gòu)的(m,n)階固有頻率ωmn[19]為

(9)

式中:D為結(jié)構(gòu)的彎曲剛度，定義D=Yh3/[12(1-μ2)],μ為結(jié)構(gòu)材料的泊松比，Y為彈性板結(jié)構(gòu)的楊氏模量；ρ為質(zhì)量密度。

(10)

式中δ為狄拉克δ函數(shù)。

Nmn為與模態(tài)函數(shù)相關(guān)的常數(shù)，對于矩形板可表示為

(11)

圖2 四邊簡支板點激勵示意圖

(12)

式中ζmn為結(jié)構(gòu)(m,n)階的阻尼比。

假設(shè)簡諧激勵的激勵頻率與每階模態(tài)的固有頻率相同，即每階模態(tài)均考慮共振狀態(tài)。將式(8)、(12)代入結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)式(7)可得彈性板結(jié)構(gòu)在外部載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)。根據(jù)正撓電效應(yīng)，撓電材料在應(yīng)變梯度作用下將產(chǎn)生電荷作用。

2 撓電俘能器輸出電壓與功率表達

基于正撓電效應(yīng)，不同方向的應(yīng)變梯度在法向的梯度引起的法向的電位移[15]為

μ12(k11+k22)+ε33E3

(13)

式中：μ12為撓電系數(shù)；S11,S22為x,y方向的應(yīng)變；ε33為介電常數(shù);E3為法向方向的電場強度。

由式(13)可知，撓電俘能器的電位移只與彎曲應(yīng)變有關(guān)，與結(jié)構(gòu)的薄膜應(yīng)變無關(guān)，且與結(jié)構(gòu)的非線性項無關(guān)。將電位移在有效的電極面積即撓電片的面積Se=(x2-x1)(y2-y1)上進行積分，并根據(jù)電流源模型、麥克斯韋方程等，得到板結(jié)構(gòu)的撓電力電耦合的一階方程[15]形式為

(14)

式中：RL負載電阻兩端；VRL為負載電阻兩端的電壓；τ=RLε33Se/he為時間常數(shù)；he為撓電片厚度；φmn為撓電俘能器引起的負載電阻兩端的(m,n)階模態(tài)電壓，φmn僅與由應(yīng)變梯度引起的振動響應(yīng)相關(guān)。

將板結(jié)構(gòu)的拉梅常數(shù)A1=A2=1，曲率半徑R1=R2=∞與模態(tài)函數(shù)代入基于一般雙曲率殼的撓電模態(tài)電壓，可得到板結(jié)構(gòu)撓電俘能器的模態(tài)電壓為

(15)

在(m,n)階共振狀態(tài)下，(m,n)階電壓和功率輸出可由式(15)解出，幅值[15]為

(16)

(17)

(18)

(19)

撓電俘能器的能量輸出電壓、功率與結(jié)構(gòu)振動不同模態(tài)數(shù)、撓電材料尺寸、厚度與位置、模態(tài)力參數(shù)、外部負載電阻阻值、點激勵位置等參數(shù)有關(guān)。

3 撓電俘能器參數(shù)優(yōu)化

下面將討論不同參數(shù)對板結(jié)構(gòu)撓電俘能器的輸出電壓和功率的影響，從而優(yōu)化撓電能量輸出。該撓電俘能器的彈性板采用聚丙烯材料，撓電片使用α-PVDF薄膜材料。彈性板結(jié)構(gòu)及撓電片的尺寸、材料參數(shù)如表1所示。

表1 撓電片與矩形板結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)尺寸

3.1 四邊簡支板頻率與模態(tài)分析

四邊簡支板的理論頻率如式(9)所示，當板結(jié)構(gòu)的尺寸與邊界固定后，固有頻率與模態(tài)固定。利用有限元分析軟件，相同參數(shù)條件下與理論固有頻率fmn(fmn=ωmn/(2π))比較，表2為前10階模態(tài)的固有頻率對比結(jié)果。由表可看出，理論與有限元的誤差在2%內(nèi)。

表2 理論固有頻率與有限元模擬仿真對比

彈性板橫向振動，模態(tài)較低時頻率較低，低頻振動占主導作用。當彈性板結(jié)構(gòu)y方向模態(tài)數(shù)n保持不變，x方向模態(tài)數(shù)m不斷增加時，振動模態(tài)難以被激勵。因此，固有頻率隨著模態(tài)數(shù)的增加而增大。對于相同x方向模態(tài)數(shù)m，固有頻率隨著y方向模態(tài)數(shù)n的增加而增加。對比理論與有限元仿真振動結(jié)果，不同模態(tài)時的振動形式不同。為了分別考慮x,y方向的奇、偶數(shù)階模態(tài)，選取(1, 1)階、(1, 2)階、(2, 1)階和(2, 2)階模態(tài)分別進行參數(shù)分析，優(yōu)化能量輸出效果。圖3為四階模態(tài)的模態(tài)陣型圖。

圖3 有限元模擬不同模態(tài)的振型圖

由圖3可看出，不同模態(tài)下振型的最大峰值位置不同，不同位置處點激勵引起的模態(tài)電壓不同。

3.2 點激勵位置對模態(tài)力的影響

圖4 不同位置點激勵對模態(tài)力的影響

由圖4可看出，對于同一個模態(tài)，外部激振力不影響模態(tài)陣型的分布，無論力的大小如何，振動形態(tài)始終保持不變。不同模型下，點激勵的作用位置不同，引起的模態(tài)力不同。當點激勵作用在各個模態(tài)的峰值位置處，引起的模態(tài)力最大。不同模態(tài)下點激勵的最優(yōu)位置坐標如表3所示。

表3 不同模態(tài)下點激勵與撓電片的最優(yōu)位置坐標

當明確結(jié)構(gòu)參數(shù)與外部激勵后，撓電片的尺寸大小與位置分布將影響撓電俘能器的電壓與功率輸出。根據(jù)結(jié)構(gòu)模態(tài)的分析，撓電片的最佳粘貼位置與每階模態(tài)的陣型密切相關(guān)，當撓電片粘貼在模態(tài)的峰值位置處，振動引起的能量較大。因此,在下面討論中假設(shè)撓電片的尺寸Δx=x2-x1=a/4,Δy=y2-y1=b/4,最優(yōu)位置與點激勵的最優(yōu)位置類似，如表3所示。在后面的分析中，點激勵的最優(yōu)位置與撓電片的最優(yōu)位置均取第一個位置坐標，即第一個峰值位置。

3.3 撓電片厚度的影響

根據(jù)第3.1、3.2節(jié)的分析，當撓電片的尺寸面積保持不變時，撓電片厚度對能量輸出的影響如圖5所示。撓電效應(yīng)對厚度較敏感，厚度增加時,撓電效應(yīng)減弱。但是對于每階模態(tài)，同樣尺寸的撓電俘能器，撓電片的等效電容隨著厚度的增加而減小，此時電壓與等效電容的大小成反比，隨著撓電片厚度的增加而增加。由于不考慮撓電片的質(zhì)量和剛度對圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)的影響，因此,輸出功率隨著撓電片的厚度增加而增加。

圖5 不同撓電片厚度對輸出功率的影響

3.4 負載電阻的影響

本文考慮每階模態(tài)在共振狀態(tài)下的能量輸出。保持撓電片的大小、位置與厚度不變，每階模態(tài)下?lián)想娸敵龅墓β逝c電阻的關(guān)系如圖6所示。不同模態(tài)下，在某個特定的負載電阻下輸出功率達到最大。當負載電阻大于或小于該負載電阻時，輸出功率均迅速減小。該特定的負載電阻即該系統(tǒng)的最優(yōu)電阻，每階模態(tài)的最優(yōu)電阻如圖7所示。

圖6 不同負載電阻對輸出功率的影響

圖7 不同模態(tài)的最優(yōu)負載電阻

該最優(yōu)的外部負載電阻與電路的截止頻率和電容有關(guān)，即電路的阻抗匹配。當外部負載電阻與電路阻抗相匹配時，負載電阻上的輸出功率最大。匹配的阻抗(即最優(yōu)電阻)與電路的截斷頻率(激勵頻率)和電容成反比，即滿足RL=1/(Cω)。隨著模態(tài)數(shù)的增加，撓電片的電容保持不變，結(jié)構(gòu)的固有頻率增大，因此,每階模態(tài)的最優(yōu)電阻減小。

4 結(jié)束語

基于一般雙曲率殼撓電俘能器模型的理論基礎(chǔ)，本文建立了四邊簡支板結(jié)構(gòu)的撓電俘能器模型，并針對俘能器的不同結(jié)構(gòu)尺寸和撓電材料參數(shù)，詳細分析了不同參數(shù)對能量輸出的影響。結(jié)果表明，每階模態(tài)下結(jié)構(gòu)振動的模態(tài)陣型不同，陣型直接影響點激勵與撓電片的分布位置。每階模態(tài)下，點激勵與撓電片放置在陣型的峰值位置處能量輸出較大。撓電片的尺寸與厚度也影響俘能器能量的輸出。每階模態(tài)下，輸出功率均有一個最優(yōu)的外部負載，即匹配的阻抗使能量輸出最大。分析優(yōu)化不同參數(shù)對輸出功率的影響，為以后的理論設(shè)計與分析提供了理論依據(jù)。