從一道高考題變式談指對混合式的五種處理思路

李志娜

(河北省邯鄲市第一中學 056002)

邯鄲市2022屆高三質(zhì)檢考試的壓軸導數(shù)題，是一道指對混合的不等式恒成立問題．題目如下：

已知函數(shù)f(x)=aex-1-x．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)+x-1≥lnx-lna恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

可以看出，此題第(2)題與2020年山東高考試卷的第21題基本相同．此題可從不同角度解決，有多種思路和方法，略去第(1)問，現(xiàn)將第(2)問的5種思路整理分析如下．

1 含參分類討論

3.2 齊次化構(gòu)造函數(shù)

點評這類構(gòu)造將多元變量利用齊次式變成單一變量，再構(gòu)造函數(shù)進行解決，可以減少多變量帶來的麻煩．

目前，紙病在線檢測系統(tǒng)普遍采用“電荷耦合器件(Charge Coupled Device，CCD)相機+計算機”的硬件結(jié)構(gòu)模式，通過CCD高速相機實時采集紙張圖像數(shù)據(jù)并傳送至檢測系統(tǒng)PC端，系統(tǒng)的核心處理器利用圖像處理技術(shù)對紙張圖像進行處理和辨識，實現(xiàn)對黑斑、孔洞、劃痕、裂邊等缺陷的識別和分類[1- 3]。但是隨著紙機車速的提升、紙幅的加寬以及對紙病辨識精度的提高，CCD相機采集到的海量圖像數(shù)據(jù)，給系統(tǒng)的快速性甚至穩(wěn)定性帶來了巨大沖擊，如何解決打破紙病辨識快速性這一瓶頸已成為當前研究紙病檢測技術(shù)的關(guān)鍵問題。

4 結(jié)語

新高考背景下函數(shù)的運用依然廣泛，對于構(gòu)造函數(shù)，需要打破原題中的思維束縛，靈活地運用構(gòu)造法，找準最能反映考題結(jié)構(gòu)特點的函數(shù)，以便使問題得到快速的解決．這就要求學生在平時的學習中要善于積累，大膽嘗試，將“構(gòu)造”擺心間，這樣面對復雜的壓軸題時才能做到“不畏浮云遮望眼”．

當a=1時，g(x)≥g(1)=0，故a=1符合題意．

當0

綜上所述，a的取值范圍是[1,+∞)．

方法2(必要性探路+換主元) 令g(1)=a- 1+lna≥0，得a≥1．令t(a)=aex-1+ lna-lnx-1，因為ex-1>0，所以t(a)為[1,+∞)上的增函數(shù)，故只須證明a=1時，g(x)=ex-1-lnx-1≥0．因為ex-1≥x，lnx≤x-1，所以g(x)≥0．

上述思路是處理不等式恒成立問題的常見思路，但由于指對數(shù)同時出現(xiàn)，使得構(gòu)造的含參函數(shù)最值經(jīng)常會出現(xiàn)隱零點的問題，計算量和思維量都較大．

2 同構(gòu)法

方法3(和型同構(gòu)1) 由于aex-1-1≥ lnx-lna恒成立，即eln aex-1≥lnx-lna+1，所以ex+ln a-1+x+lna-1≥eln x+lnx．因為y=et+t為增函數(shù)，所以x+lna-1≥lnx恒成立．

或ex+ln a-1+ln ex+ln a-1≥x+lnx，利用y= lnt+t的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為ex+ln a-1≥x恒成立，即x+lna-1-lnx≥0，由常見不等式x-1≥ lnx易得a的范圍．

圖1

上述思路需要學生能夠從指對數(shù)同時出現(xiàn)的式子中，觀察并構(gòu)造出同構(gòu)，即同為和型或積型.這種思路對學生處理代數(shù)式的變形能力要求比較高．

3 反函數(shù)法

4 放縮法

方法8(放縮法1) 因為x>0,a>0，所以 ex≥x+1，ex-1≥x，故aex-1≥ax(當x=1時取等號)．又因為lnx≤x-1(當x=1時取等號)，所以aex-1-lnx+lna-1≥ax-x+1+lna-1=(a-1)x+lna．

①a=1時，ex-1-lnx-1≥x-x+1+ ln 1-1=0，此時不等式恒成立；

②a>1時，aex-1-lnx+lna-1≥(a-1)x+lna，因為x>0,a>1，所以(a-1)x+ lna>0，即不等式恒成立；

③0

所以，a≥1．

方法9(放縮法2) 將aex-1-lnx+lna-1≥0變?yōu)閑x+ln a-1-lnx+lna-1≥0．因為ex+ln a-1≥x+lna(當x+lna=1時取等號)，lnx-lna+1≤x-lna(當x=1時取等號)，所以ex+ln a-1-lnx+ lna-1≥x+lna-(x-lna)=2lna．令2lna≥0，得a≥1．以下同方法8的③.

采用指數(shù)和對數(shù)式同時放縮是非常大膽的嘗試，也有可能放縮過度．可以鼓勵學生只對指數(shù)或?qū)?shù)放縮．另外，放縮后參數(shù)范圍是否保持不變，如aex-1-lnx+lna-1≥0恒成立與ax-lnx+ lna-1≥0恒成立，理論上是否等價？不等價又如何處理？可進一步思考.

5 凹凸轉(zhuǎn)換法

②當0

所以，a≥1．

①令lna≥-lna，則由f(x)min≥g(x)max，故a≥1(此范圍可能偏小)；

②當00，即不等式不成立．

所以，a≥1．

6 結(jié)語

本題為指、對混合的不等式恒成立問題，解題思路非常廣泛，用所有處理指對混合式的方法基本都可以解決，可見此題非常經(jīng)典，擅長各種方法的學生都可以上手一試．