數(shù)學(xué)文化視角下信息化課例研究*
——以“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”為例

200444 上海師范大學(xué)附屬經(jīng)緯實(shí)驗(yàn)學(xué)校 顧海萍

200241 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 余慶純

一、 問題提出

《上海市中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試行稿)》提出，數(shù)學(xué)教學(xué)要有數(shù)學(xué)抽象、探索的過程與體驗(yàn)，能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、分析問題，同時(shí)要有一定的數(shù)學(xué)視野和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，樹立理性精神，培育對(duì)數(shù)學(xué)美的感受[1].數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)[2].數(shù)學(xué)文化融入義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)，是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的新趨勢(shì).

“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時(shí)代下，信息技術(shù)為數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供有力的保障.電子書包是以學(xué)生為主體，融合信息終端與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源的學(xué)習(xí)載體，是推動(dòng)教學(xué)方式與學(xué)習(xí)方式變革的動(dòng)力來源[3].微視頻輔助教學(xué)能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率.幾何畫板、GeoGebra等幾何軟件是數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有力工具，能夠?qū)崿F(xiàn)“做中學(xué)”[4].數(shù)字媒體下的在線博物館、數(shù)字名畫等突破空間限制，將中華民族五千年悠久歷史積淀下的藝術(shù)瑰寶鮮活地展示出來[5].借助信息技術(shù)將文化和藝術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂，展現(xiàn)學(xué)科底蘊(yùn)和跨學(xué)科聯(lián)系是值得一線教師思考和研究的內(nèi)容，筆者以“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”教學(xué)實(shí)踐為例進(jìn)行闡述.

“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”是滬教版教材六年級(jí)下冊(cè)第八章第二節(jié)的內(nèi)容，主要闡述平面與長(zhǎng)方體的畫法與表示法.學(xué)生已學(xué)過線段與角的畫法，會(huì)用量角器畫任意角，用尺規(guī)二等分線段與角，知道長(zhǎng)方體的基本元素及特征.長(zhǎng)方體“斜二測(cè)畫法”是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)立體圖形的畫法，需要突破從平面到空間圖形的認(rèn)知跨越，提升直觀想象能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體中元素的位置與數(shù)量關(guān)系做鋪墊.傳統(tǒng)課堂教學(xué)普遍直接介紹長(zhǎng)方體斜二測(cè)畫法的規(guī)定，學(xué)生對(duì)于“斜二測(cè)畫法如何產(chǎn)生”“為何要學(xué)習(xí)斜二測(cè)畫法”等問題存在一定的疑惑.

通過查閱數(shù)學(xué)史料發(fā)現(xiàn)，用平面圖形表示空間形體有著悠久的歷史，而長(zhǎng)方體的畫法變遷過程為“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”教學(xué)提供創(chuàng)新思路與實(shí)踐依據(jù).鑒于此，數(shù)學(xué)文化視角下“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”信息化課例的教學(xué)目標(biāo)擬定如下.

1.通過課前微視頻，了解繪圖的歷史，知道畫長(zhǎng)方體直觀圖的必要性；結(jié)合幾何畫板探究“斜二測(cè)畫法”規(guī)定的合理性，培育理性精神.

2.借助數(shù)字教材和空中課堂資源，掌握平面和長(zhǎng)方體的畫法與表示，學(xué)會(huì)運(yùn)用“斜二測(cè)畫法”畫出長(zhǎng)方體直觀圖，掌握補(bǔ)畫長(zhǎng)方體的方法.

3.運(yùn)用電子書包與數(shù)字媒體等技術(shù)賞析《清明上河圖》，體會(huì)數(shù)學(xué)的社會(huì)角色、數(shù)學(xué)與藝術(shù)的學(xué)科聯(lián)系，彰顯數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自信.

二、 教學(xué)過程

(一)課前準(zhǔn)備

課前，教師用微視頻介紹將空間圖形繪制在平面上的歷史，依次呈現(xiàn)約5000年前我國(guó)賀蘭山巖畫中的投影畫法、公元前1世紀(jì)羅馬建筑師維特魯維(約公元前1世紀(jì))所著《建筑十書》中水平投影、正面投影與等角投影等畫法[6]、我國(guó)宋代的工程制圖以及宋徽宗(公元1082年-1135年)《文會(huì)圖》中的投影畫法[7].此外，教師還對(duì)學(xué)生進(jìn)行了認(rèn)知前測(cè)，問卷內(nèi)容為“請(qǐng)繪制一個(gè)長(zhǎng)方體，并寫出你認(rèn)為繪制長(zhǎng)方體直觀圖需要畫出哪些元素和特征”.

設(shè)計(jì)意圖：借助微視頻，學(xué)生了解直觀圖在藝術(shù)和建筑領(lǐng)域的作用，知道繪制直觀圖的必要性；通過課前測(cè)，教師了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，為課堂教學(xué)做好鋪墊.

(二)復(fù)習(xí)引入

思考1如圖1所示，編號(hào)①-⑥是前測(cè)問卷中部分同學(xué)繪制的長(zhǎng)方體，哪些圖更能體現(xiàn)長(zhǎng)方體的元素和特征？請(qǐng)說說理由，并將不合適的圖排除.

圖1

生1：長(zhǎng)方體有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱，圖④只展示了兩個(gè)面，圖①和圖②只有7個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)排除.

生2：依據(jù)長(zhǎng)方體有6個(gè)面，每?jī)蓚€(gè)面一組且形狀大小相同的特征，排除圖③.

生3：數(shù)學(xué)與美術(shù)不同，不需要陰影美化，選擇圖⑤更能體現(xiàn)長(zhǎng)方體的元素與特征.

師：長(zhǎng)方體直觀圖可以像圖⑤這樣畫.這一畫法有什么規(guī)定嗎？下面進(jìn)一步研究.

設(shè)計(jì)意圖：借助課前測(cè)結(jié)果，復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體的元素及其特征，確定作圖要點(diǎn)和元素，了解長(zhǎng)方體直觀圖需要體現(xiàn)長(zhǎng)方體的元素和特征，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)說理的表達(dá)能力.

(三)規(guī)定探究

探究1正方體是特殊的長(zhǎng)方體.根據(jù)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，我們先研究繪制正方體的規(guī)定.借助幾何畫板，探究對(duì)于不同取值的寬所繪制的長(zhǎng)方體的差異.

師：在幾何畫板中取長(zhǎng)、寬、高都為3cm，平行四邊形中銳角的度數(shù)是45°，像正方體嗎？(如圖2-1所示)

生：寬偏長(zhǎng)，不像正方體.

師：寬取實(shí)際寬度的一半呢?(如圖2-2所示)

生：像正方體了.

師：寬取2cm呢？(如圖2-3所示)

圖2-1 長(zhǎng)方體1

圖2-2 長(zhǎng)方體2

圖2-3 長(zhǎng)方體3

生1：差別不大.

生2：寬取2更像正方體.

師：如果請(qǐng)你們制定長(zhǎng)方體畫法的規(guī)定，你們會(huì)如何制定？

生1：如果規(guī)定寬取2，寬就是實(shí)際寬的三分之二，計(jì)算不方便.

生2：寬取實(shí)際的一半方便計(jì)算.之前學(xué)過畫線段中點(diǎn)，能用尺規(guī)作圖畫線段中點(diǎn)，作圖方便.

生3：寬取實(shí)際長(zhǎng)度最方便，就是看起來不像.

生4：兼顧視覺直觀和繪制方便，規(guī)定寬為實(shí)際寬的一半更好.

探究2長(zhǎng)方體直觀圖底面平行四邊形中∠1的夾角是否一定要是45°呢？

教師運(yùn)用幾何畫板變化參數(shù)，改變底面平行四邊形中銳角的度數(shù)(如圖3所示)，師生共同確定底面平行四邊形長(zhǎng)與寬夾角的大小.

圖3 夾角數(shù)變化的長(zhǎng)方體

通過觀察討論發(fā)現(xiàn)，角度偏差1°帶來的視覺差異不明顯，夾角在40°到50°之間時(shí)都像正方體，考慮尺規(guī)作圖方便和視覺美觀，取45°更好.此外，學(xué)生還有補(bǔ)充：看得見的棱用實(shí)線表示，看不見的棱用虛線表示，這樣更符合視覺直觀.從而形成水平放置的平面的畫法和長(zhǎng)方體斜二測(cè)畫法的規(guī)定.

設(shè)計(jì)意圖：師生借助幾何畫板共同討論、分析繪制長(zhǎng)方體直觀圖時(shí)長(zhǎng)方體中寬與實(shí)際寬的數(shù)量關(guān)系、底面平行四邊形中銳角的度數(shù)等問題，共同經(jīng)歷長(zhǎng)方體直觀圖畫法規(guī)定的形成過程，感受“規(guī)定”的科學(xué)性、合理性與必要性.

操作“畫一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、2cm、1cm的長(zhǎng)方體的直觀圖”.師生共同實(shí)踐操作，經(jīng)歷“閱讀書本圈劃重點(diǎn)—跟隨空中課堂視頻作圖—下載電子書包‘?dāng)?shù)字教材’中的‘參考答案’(如圖4所示)—對(duì)比答案查漏補(bǔ)缺—交流作圖要點(diǎn)”的過程.

圖4 所求作的長(zhǎng)方體

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷畫圖過程，掌握斜二測(cè)畫法.借助信息技術(shù)，明確作圖要點(diǎn)和過程，以核對(duì)“參考答案”查漏補(bǔ)缺的形式，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，在交流討論中培育其數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

(四)回顧歷史

思考2如圖5所示是西方早期教材中長(zhǎng)方體直觀圖的畫法.想一想，不同時(shí)期的長(zhǎng)方體畫法是否有不足之處，分別說一說.

圖5 西方早期教材中的長(zhǎng)方體

生1：《數(shù)學(xué)之源》和《實(shí)用幾何》中的長(zhǎng)方體沒有畫看不見的棱.

生2：《歐幾里得集》中的長(zhǎng)方體沒有使用虛線繪制看不見的棱.

生3：《數(shù)學(xué)之源》《實(shí)用幾何》中長(zhǎng)方體的寬沒有取實(shí)際的一半.

生4：《數(shù)學(xué)之源》《實(shí)用幾何》和《數(shù)學(xué)教程》中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬的夾角不是45°.

生5：《立體幾何》中長(zhǎng)方體的畫法與斜二測(cè)畫法相同.

師：長(zhǎng)方體直觀圖的畫法經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史變遷，不同的畫法各自延續(xù)了一段時(shí)間.斜二測(cè)畫法因兼具準(zhǔn)確和美觀的特點(diǎn)而登上歷史舞臺(tái)，最終受到人們的青睞.

設(shè)計(jì)意圖：通過歷史時(shí)間軸，展現(xiàn)西方早期教材中長(zhǎng)方體直觀圖的變化過程.以“思考題”的形式依次呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)圖中長(zhǎng)方體直觀圖繪制的變化及其優(yōu)缺點(diǎn)，鞏固對(duì)畫法規(guī)則的理解，感受長(zhǎng)方體畫法的歷史變遷，培育學(xué)生的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀，使其感受數(shù)學(xué)多元文化之美.

(五)練習(xí)鞏固

練習(xí)學(xué)生打開“電子書包”中的“數(shù)學(xué)教材”完成教師編制的配套練習(xí)，進(jìn)一步鞏固平面和長(zhǎng)方體的畫法和表示法，通過軟件的批改功能了解知識(shí)掌握情況，教師根據(jù)答題情況分析講解.

探究3若要擦去一個(gè)長(zhǎng)方體的若干條棱，最多可以擦去多少條，至少需要保留哪些棱才能夠補(bǔ)畫出原長(zhǎng)方體？分別該如何補(bǔ)畫？

結(jié)合幾何畫板中的長(zhǎng)方體，師生共同討論，逐步擦除長(zhǎng)方體中的棱，發(fā)現(xiàn)至少需要保留長(zhǎng)、寬、高各一條棱，即最多擦去9條棱(如圖6所示)，可以通過作平行線、畫相等的線段和角等方法補(bǔ)畫出長(zhǎng)方體.

圖6 待補(bǔ)畫的長(zhǎng)方體

設(shè)計(jì)意圖：借助信息技術(shù)的習(xí)題批改和反饋功能，鞏固基礎(chǔ)知識(shí).通過探究活動(dòng)進(jìn)一步掌握長(zhǎng)方體斜二測(cè)畫法，結(jié)合信息技術(shù)，夯實(shí)“雙基”.

(六)拓展賞析

《清明上河圖》現(xiàn)存于北京故宮博物院，是由宋代畫家張擇端創(chuàng)作的中國(guó)古典現(xiàn)實(shí)主義繪畫杰作，描繪了繁華富庶的京城居民生活景象[13].依托“電子書包”等技術(shù)媒介，打開高清數(shù)字版《清明上河圖》，欣賞并思考以下問題.

思考3畫家是如何繪制平面以及長(zhǎng)方體的？是否運(yùn)用了今天所學(xué)的平面畫法或者斜二測(cè)畫法？量一量圖中長(zhǎng)方體物體長(zhǎng)和寬夾角的度數(shù)，將發(fā)現(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容截圖上傳云端并交流(學(xué)生上傳的截圖如圖7-1至圖7-4所示).

圖7-1 田地圖7-2 帳篷頂

圖7-3 房子圖7-4 箱子

學(xué)生分別找到了田地、帳篷頂、房子、長(zhǎng)方體箱子等，交流并發(fā)現(xiàn)雖然畫家的畫法與今日所學(xué)內(nèi)容相似，但畫家沒有統(tǒng)一整個(gè)作品中平面和長(zhǎng)方體的畫法.故猜測(cè)畫家通過生活感知有了繪制平面和長(zhǎng)方體畫法的意識(shí)，但是并未掌握斜二測(cè)畫法，如果能按照今天的規(guī)定繪圖，那么畫出來的田和房子肯定會(huì)很整齊.

設(shè)計(jì)意圖：借助數(shù)字媒體欣賞畫作，感受藝術(shù)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值.借助數(shù)字平臺(tái)交流功能，提升學(xué)習(xí)效率，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，用數(shù)學(xué)的眼光欣賞.

(七)小結(jié)作業(yè)

小結(jié)環(huán)節(jié)中，學(xué)生回顧了本課中的信息技術(shù)應(yīng)用、斜二測(cè)畫法規(guī)定的探究過程、名畫《清明上河圖》賞析.教師布置了數(shù)學(xué)寫作作業(yè)：圖文并茂地將今天所學(xué)的平面和長(zhǎng)方體畫法知識(shí)介紹給我國(guó)古代的畫家.

設(shè)計(jì)意圖：通過數(shù)學(xué)寫作回顧知識(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力，使其感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

三、 數(shù)學(xué)寫作

在數(shù)學(xué)寫作中，學(xué)生圖文并茂地介紹了斜二測(cè)畫法.有學(xué)生描述了斜二測(cè)畫法繪制長(zhǎng)方體的步驟，并說明“斜二測(cè)畫法可以將長(zhǎng)方體畫得簡(jiǎn)潔清晰，簡(jiǎn)單實(shí)用”(如圖8-1所示).有學(xué)生通過繪制不同規(guī)則下的長(zhǎng)方體，比較得出“寬取實(shí)際寬的一半，因?yàn)槿绻蝗∫话?，看起來就不真?shí)了；長(zhǎng)與寬的夾角要為45°，不然不美觀；看不見的地方畫虛線，這是為了更真實(shí)”，逐步講解說明斜二測(cè)畫法規(guī)則(如圖8-2所示).還有學(xué)生通過舉例分步驟繪圖，闡述如何運(yùn)用斜二測(cè)畫法繪制一個(gè)長(zhǎng)方體涼亭“清水堂”，步驟清晰，有理有據(jù)(如圖8-3所示).另外，也有學(xué)生結(jié)合文字和圖形，進(jìn)行古今對(duì)話交流：“你好！古代的畫家，我來自一千多年后，看見了您作的《清明上河圖》，感到十分震撼，但仍覺得不夠精確，我為您推薦一種畫法(斜二測(cè)畫法)，這種畫法可以使景物井井有條，用斜二測(cè)畫法作圖時(shí)，要先知道所畫物體的長(zhǎng)、寬、高.之后長(zhǎng)與高保留原數(shù)(或比例縮小后的數(shù))，寬取原來(或按比例縮小后的數(shù))的一半作圖.作圖時(shí)，頂面、底面和側(cè)邊的兩個(gè)面畫成夾角為45°的平行四邊形.”并舉例繪制由一個(gè)長(zhǎng)方體直觀圖添加其他裝飾后得到的亭子(如圖8-4所示).

可見，通過數(shù)學(xué)寫作的巧妙方式，能夠落實(shí)數(shù)學(xué)史的多元教育價(jià)值：鞏固數(shù)學(xué)新知，回顧梳理所學(xué)知識(shí)；規(guī)范語言表達(dá)，提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力；賞析數(shù)學(xué)文化，培育理性精神與文化自信.

圖8-1 斜二測(cè)畫法步驟

圖8-2 不同規(guī)則的長(zhǎng)方體

圖8-3 長(zhǎng)方體涼亭“清水堂”

圖8-4

四、 文化內(nèi)涵

依據(jù)“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”理論分析框架[9]，筆者對(duì)數(shù)學(xué)文化視角下信息化課例“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”的教學(xué)，從五個(gè)數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵維度展開分析.

第一，知識(shí)源流.借助微視頻、時(shí)間軸了解繪圖的歷史，體會(huì)長(zhǎng)方體直觀圖畫法的變遷；經(jīng)歷探究斜二測(cè)畫法規(guī)定的形成過程，感受知識(shí)源流.

第二，學(xué)科聯(lián)系.通過《清明上河圖》中平面和長(zhǎng)方體的畫法賞析，闡述數(shù)學(xué)與藝術(shù)的聯(lián)系，再結(jié)合數(shù)學(xué)寫作，感受數(shù)學(xué)對(duì)建筑、藝術(shù)等跨學(xué)科的重要作用.

第三，社會(huì)角色.微視頻中的巖畫活靈活現(xiàn)地描繪動(dòng)物形象，數(shù)字版《清明上河圖》栩栩如生地呈現(xiàn)北宋汴京的繁榮，感受直觀圖的畫法在生活中的應(yīng)用，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)于生活的本質(zhì).

第四，審美娛樂.在幾何畫板動(dòng)態(tài)演示探究規(guī)定過程中體驗(yàn)“做數(shù)學(xué)”的樂趣，借助幾何畫板呈現(xiàn)的“如何補(bǔ)畫長(zhǎng)方體”活動(dòng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)趣味，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).

第五，多元文化.以經(jīng)典畫作、建筑圖紙、早期教科書中的長(zhǎng)方體直觀圖為素材，展現(xiàn)長(zhǎng)方體直觀圖畫法的異同，揭示其文化底蘊(yùn)，感受中西文化交融.

五、 總結(jié)與展望

數(shù)學(xué)文化視角下“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”課例研究，用信息技術(shù)輔助“做數(shù)學(xué)”探究活動(dòng)，聚焦“畫法規(guī)定”緣由和歷史演進(jìn)與文化內(nèi)涵.課前導(dǎo)學(xué)中的微視頻助力學(xué)生了解畫直觀圖的必要性；新知講解借助幾何畫板、希沃白板等信息技術(shù)教材進(jìn)行探究，培育理性精神；數(shù)字教材中的習(xí)題實(shí)時(shí)反饋，查漏補(bǔ)缺；高清版《清明上河圖》讓學(xué)生穿越時(shí)空，拓展視野，從歷史到課堂，從數(shù)學(xué)到藝術(shù)，信息技術(shù)融合促進(jìn)數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué).

未來，數(shù)學(xué)文化視角下信息化課例研究需要做好以下幾點(diǎn).第一，深挖歷史素材，通過查閱早期教材、古代著作、藝術(shù)作品等，挖掘契合教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)史料.第二，蘊(yùn)含文化內(nèi)涵，梳理“歷史發(fā)生序—數(shù)理邏輯序—心理認(rèn)知序”，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，闡發(fā)數(shù)學(xué)文化.第三，巧用信息技術(shù)，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時(shí)代下，將契合的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容滲透于課堂，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率，擴(kuò)展視野，豐富知能，培育文化自信.