出租車(chē)收費(fèi)問(wèn)題探究*

張樂(lè)天 (江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校初三(7)班 215151)

李沅駿 (江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校初三(8)班 215151)

指導(dǎo)教師 孫 凱 (江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215151)

1 問(wèn)題背景

在我們的現(xiàn)實(shí)生活中處處存在著數(shù)學(xué)，可以說(shuō)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分．現(xiàn)實(shí)生活中的很多問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決，這就要求我們?cè)谏钪幸脭?shù)學(xué)的眼光觀(guān)察生活現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)生活現(xiàn)象，嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法探究生活現(xiàn)象中存在的某種數(shù)學(xué)關(guān)系，建立合適的數(shù)學(xué)模型來(lái)分析和求解實(shí)際問(wèn)題．最近，我們注意到出租車(chē)這個(gè)重要的交通工具，對(duì)出租車(chē)收費(fèi)問(wèn)題產(chǎn)生了濃厚的興趣．經(jīng)過(guò)初步觀(guān)察和思考，發(fā)現(xiàn)出租車(chē)收費(fèi)是隨著行駛路程的變化而變化的，若將出租車(chē)收費(fèi)與行駛里程看成兩個(gè)變量的話(huà)，當(dāng)行駛里程確定時(shí)，出租車(chē)收費(fèi)是唯一且確定的，從而我們可以判斷出出租車(chē)收費(fèi)與行駛里程之間是一種函數(shù)關(guān)系．那么出租車(chē)收費(fèi)和其行駛里程之間存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？作為乘客，我們?cè)鯓映俗鲎廛?chē)才能減少乘車(chē)費(fèi)用支出呢？接下來(lái)我們圍繞這些問(wèn)題進(jìn)行探究．

2 問(wèn)題呈現(xiàn)

在蘇州市范圍內(nèi)選取有代表性的出租車(chē)公司，拍攝了出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(圖1)．已知出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：行駛里程3 km內(nèi)，起步費(fèi)為10元；超過(guò)3 km，每1 km收費(fèi)1.80元；超過(guò)5 km，單程加收50%空駛費(fèi)．在調(diào)查研究的基礎(chǔ)上，我們提出兩個(gè)比較感興趣的問(wèn)題．

問(wèn)題1出租車(chē)收費(fèi)與行駛里程間存在什么關(guān)系？

問(wèn)題2乘客采用分乘兩次的方法能降低乘坐出租車(chē)的費(fèi)用嗎？

3 分析問(wèn)題

這是一個(gè)源于實(shí)際生活的問(wèn)題.我們知道在現(xiàn)實(shí)生活中，出租車(chē)收費(fèi)會(huì)受到各種因素影響，為了更好地開(kāi)展問(wèn)題探究，我們假設(shè)：(1)任意一輛出租車(chē)都按以上收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)；(2)出租車(chē)勻速行駛； (3)行駛期間不堵車(chē)；(4)不考慮乘客主觀(guān)乘車(chē)感受；(5)出租車(chē)駕駛員與乘客都認(rèn)同收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)； (6)不考慮行駛時(shí)間；(7)乘客單程乘坐出租車(chē)．

在作出以上假設(shè)之后，我們嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)解決上面提出的兩個(gè)問(wèn)題．

4 建立模型

出租車(chē)收費(fèi)是隨著行駛里程的變化而變化的，不妨將行駛里程記為xkm，出租車(chē)收費(fèi)記為y元，關(guān)于行駛里程，需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分類(lèi)．

(1)出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中的“起步費(fèi)10元(3 km內(nèi))”指的是行駛里程小于或等于3 km，實(shí)際上就是0

行駛里程0

(2)出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中的“1.80/km”是指 3 km內(nèi)起步費(fèi)10元，超過(guò)3 km的里程部分按每1 km收1.80元的標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)．此時(shí)行駛里程大于 3 km，考慮到標(biāo)準(zhǔn)中“超過(guò)5 km單程加收50%空駛費(fèi)”，所以行駛里程應(yīng)小于或等于5 km，即3

需要說(shuō)明的是，當(dāng)行駛里程不是整千米時(shí)，不足1 km的按1 km計(jì)算．根據(jù)以上分析，出租車(chē)收費(fèi)應(yīng)包括起步費(fèi)和超過(guò)3 km部分的費(fèi)用，用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)為y=10+1.8(x-3)，即y=1.8x+4.6．此時(shí)出租車(chē)收費(fèi)y元與行駛里程xkm之間是一次函數(shù)的關(guān)系．

行駛里程3

(3)出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中的“超出5 km加收50%空駛費(fèi)”指行駛里程大于5 km時(shí)，超出 5 km的里程加收50%的空駛費(fèi)，就是在每1 km收1.80元的基礎(chǔ)上再加收50%，即每1 km收2.70元．這樣，出租車(chē)收費(fèi)包括三個(gè)部分：起步費(fèi)+1.80/km收費(fèi)+2.70/km收費(fèi)．用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)為y=10+1.8×2+2.7(x-5)，即y=2.7x+0.1．此時(shí)出租車(chē)收費(fèi)y元與行駛里程xkm之間也是一次函數(shù)的關(guān)系．

行駛里程x>5，收費(fèi)y=2.7x+0.1．

綜合以上三種可能的收費(fèi)情況，得到出租車(chē)收費(fèi)與行駛里程間的函數(shù)模型

5 解決問(wèn)題

我們建立了出租車(chē)收費(fèi)與行駛里程間的函數(shù)模型，只要確定乘客的租乘里程就可以求得需支付的費(fèi)用，提出的問(wèn)題1也得以解決．我們知道行駛里程超過(guò)5 km要加收50%的空駛費(fèi)，對(duì)于乘客而言，當(dāng)行駛里程不超過(guò)5 km時(shí)是比較劃算的，但很多時(shí)候乘客要到達(dá)目的地的里程超過(guò) 5 km甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)5 km，這個(gè)時(shí)候我們會(huì)想到一個(gè)問(wèn)題：乘客采用分乘兩次的方法能降低乘坐出租車(chē)的費(fèi)用嗎？

6 研究結(jié)論

經(jīng)過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，建立數(shù)學(xué)模型并求解，我們獲得結(jié)論：乘客采用分乘兩次或多次的方法并不能降低租車(chē)的費(fèi)用支出，在行駛里程較遠(yuǎn)的情況下，單次乘坐出租車(chē)仍然是相對(duì)最節(jié)省租車(chē)費(fèi)用的方法．

教師點(diǎn)評(píng)將現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模．張樂(lè)天、李沅駿兩位同學(xué)能用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察生活，以出租車(chē)收費(fèi)為研究對(duì)象，提出兩個(gè)非常有價(jià)值的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言呈現(xiàn)出清晰的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，建立函數(shù)模型并求解，完整體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)過(guò)程，獲得有價(jià)值的研究結(jié)論，非常值得大家學(xué)習(xí)借鑒．現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問(wèn)題往往是錯(cuò)綜復(fù)雜的、雜亂無(wú)序的、充滿(mǎn)挑戰(zhàn)性的，作為初中學(xué)生，敢于提出問(wèn)題并用建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解，實(shí)屬難得．希望更多的同學(xué)善于用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察生活，發(fā)現(xiàn)和提出有價(jià)值的問(wèn)題，嘗試建立數(shù)學(xué)模型求解，在問(wèn)題的解決中體悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．