整體建構(gòu)視角下概念教學(xué)實(shí)踐與思考
——以“函數(shù)”教學(xué)為例

王 明 (江蘇省昆山市第二中學(xué) 吳海寧初中數(shù)學(xué)名師工作室 215316)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)提出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性．其中，數(shù)學(xué)概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)用歸納的方法抽取出一類實(shí)物的共同屬性，從而達(dá)到對概念的理解．因此，我們在日常數(shù)學(xué)教學(xué)活動中必須基于學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)，找到知識生長點(diǎn)，設(shè)計(jì)好生長架構(gòu)，規(guī)劃好生長路徑，攀登思維生長高點(diǎn)，改變我們過去課堂教學(xué)中“課時(shí)孤立化”“知識碎片化”“方法技巧化”的現(xiàn)象．筆者在一次市級展示課活動中執(zhí)教了一節(jié)蘇科版八年級上冊第六章第1節(jié)“函數(shù)”的概念課，回顧此次活動歷程，將教學(xué)備課、教學(xué)實(shí)施及反思整理成文，與同行分享．

1 關(guān)于備課的一些思考

1.1 學(xué)情分析

八年級學(xué)生具備一定的邏輯推理能力和歸納提煉能力，但對現(xiàn)實(shí)問題的抽象能力仍處于低思維層次．因此，基于教材整體案例，深度挖掘素材的價(jià)值，通過情境問題的創(chuàng)設(shè)，埋下具有生命力的思維種子，逐步培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知能力和思維能力．

1.2 備課思考

概念生成是概念學(xué)習(xí)的一個(gè)重要?dú)v程，是思維形成過程中的復(fù)雜一環(huán)，需要用情境的創(chuàng)設(shè)和問題的驅(qū)動來達(dá)成．如何引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)設(shè)置新問題，展開知識的生長和思維的彰顯，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力？基于以上思考，本節(jié)課從學(xué)生熟悉的情境入手，讓學(xué)生通過活動討論提煉概念屬性，歸納概括出函數(shù)概念．在過程經(jīng)歷中，學(xué)生探索新知，體悟思想方法，深化對知識的整體理解與運(yùn)用，從而培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力．

2 教學(xué)實(shí)踐

2.1 情境初探，拋磚引玉

情境1從上海到蘇州，在某一段勻速行駛的高鐵上，幾位同學(xué)談?wù)撝P(guān)于車速、路程和時(shí)間因素的數(shù)量變化和位置變化話題．請大家猜猜，他們會說些什么？

學(xué)生經(jīng)過討論，匯總?cè)缦陆Y(jié)論：列車的行駛速度不變；甲乙兩地的路程不變；列車行駛的時(shí)間不斷變化；列車離甲乙兩地的路程不斷變化．

追問：上述結(jié)論中，大家發(fā)現(xiàn)有哪些是描述數(shù)學(xué)中與“量”有關(guān)的詞語呢？

生：“不變”“變化”．

師生歸納生成，“不變”即常量：在某一變化過程中，數(shù)值保持不變的量；“變化”即變量：在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量．

教學(xué)分析從高鐵行駛背景出發(fā)，結(jié)合學(xué)生熟知的路程、時(shí)間與速度的關(guān)系，喚醒其認(rèn)知，尋找關(guān)鍵詞，進(jìn)而歸納生成常量和變量的概念，為后續(xù)問題情境的學(xué)習(xí)作好鋪墊．設(shè)計(jì)的情境低起點(diǎn)、寬入口，問題設(shè)置能聚焦學(xué)生的課堂注意力，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和討論，點(diǎn)明接下來的課堂生長與發(fā)展將基于“某一變化過程”，圍繞著“常量”和“變量”展開．

2.2 情境深入，探索屬性

情境2學(xué)校打算用16 m長的籬笆圍成長方形的生物園來飼養(yǎng)小兔.

(1)當(dāng)一邊長是1 m時(shí)，另一邊長是多少？

(2)當(dāng)一邊長是2 m時(shí)，另一邊長是多少？

(3)當(dāng)一邊長分別是3,4,…,7,8 m時(shí)，另一邊長呢？

追問1：通過上述計(jì)算，大家思考一下用什么方式能比較清晰地描述上述問題？你是怎么想到的?

生：可以列一個(gè)表格匯總，因?yàn)楸砀窨梢园逊稚⒌臄?shù)據(jù)匯總在一起，看起來不凌亂．

(4)再算一算上述問題情境下，長方形的面積分別是多少？(表1)

表1

(5)在上述變化過程中，哪些是常量？哪些是變量？它們之間有什么關(guān)系？

追問2：若一邊長記為x，另一邊長記為y，面積記為S，則y,S兩者與x之間有什么關(guān)系？

學(xué)生回答：y=8-x，S=x(8-x)=8x-x2．

教學(xué)分析通過問題串的設(shè)計(jì)，學(xué)生根據(jù)情境從具體計(jì)算入手，從數(shù)量變化中體會“變化”這一特征和從每一次變化中體會“唯一”和“對應(yīng)”．追問1對學(xué)生處理大量數(shù)據(jù)提出了較高的要求，但通過最近聯(lián)想?yún)^(qū)可使用表格的方式羅列解決，學(xué)生能夠嘗試畫出表格，通過觀察、對比，深入感知“對應(yīng)”與“唯一”，這也是對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力的一種要求．問題(5)是對問題(1)～(4)的提升和歸納，思辨上述問題中的變量與常量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，嘗試探索概念屬性．追問2將變量抽象化，用字母代替，從代數(shù)表達(dá)式的角度進(jìn)一步讓學(xué)生體悟變量間的“對應(yīng)關(guān)系”，厘清問題發(fā)展方向：用字母表示數(shù)，從具體到抽象．此處情境問題串的設(shè)計(jì)有效建構(gòu)出概念的屬性，為后續(xù)學(xué)生歸納提煉概念埋下伏筆．在整個(gè)關(guān)聯(lián)知識體系中，此處設(shè)計(jì)為本節(jié)課的核心，是知識生長源，也是課堂教學(xué)的重難點(diǎn)，因此把握好此處情境教學(xué)，體現(xiàn)知識內(nèi)在聯(lián)系，建構(gòu)函數(shù)概念的“骨架”，能讓學(xué)生對函數(shù)概念有一個(gè)初步整體的認(rèn)識和感受．

情境3在平靜的水盆中投下一石子，便會形成以落點(diǎn)為圓心的一系列的圓．在這一變化過程中，哪些是變量？它們之間有什么關(guān)系？

生：變量有圓的半徑、圓周長、圓面積；關(guān)系是C=2πr，S=πr2．

教學(xué)分析通過觀察圖形，結(jié)合生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，基于抽象思維層次尋找變量和常量，從中抽象出兩個(gè)變量(周長和半徑或者面積和半徑)之間的關(guān)系．讓學(xué)生結(jié)合自身已有經(jīng)驗(yàn)，模仿表1，通過合作討論探索數(shù)量關(guān)系，從抽象到具象地再次體會“對應(yīng)”和“唯一”的本質(zhì)屬性：在水波不斷擴(kuò)張(變化過程中)的情況下，當(dāng)半徑變化時(shí)，周長或面積也隨之變化；當(dāng)半徑確定時(shí)，周長或面積也隨之唯一確定．通過活動體會半徑是引起周長和面積變化的“主動因素”，也為函數(shù)“自變量”“因變量”的引入設(shè)好鋪墊．從抽象到具體以深刻體驗(yàn)的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，揭示函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，加深“變量說”對應(yīng)關(guān)系的理解．

2.3 模型探索，生成概念

問題1 表1中的長方形邊長之間的關(guān)系、面積與邊長之間的關(guān)系，水滴激起的波紋問題中周長與半徑、面積與半徑的關(guān)系，這些問題有哪些共同屬性？

教學(xué)分析讓學(xué)生討論總結(jié)，初步歸納函數(shù)本質(zhì)屬性：①一個(gè)變化過程；②有兩個(gè)變量；③當(dāng)其中一個(gè)量變化時(shí)另一個(gè)量隨之變化，當(dāng)一個(gè)量確定時(shí)另一個(gè)量也隨之確定，即“唯一對應(yīng)”．

問題2 你還能舉出一些與上述有共同屬性的實(shí)際問題的例子嗎？像這樣的例子舉得完嗎？

追問：有必要對這類新事物引入一個(gè)新的概念嗎？如有，該如何描述？

教學(xué)分析對事物屬性有初步認(rèn)識后，嘗試尋找周圍具有相同或類似屬性的實(shí)例，來體悟數(shù)學(xué)概念生成的必要性和必然性．將舉例安排在概念生成之前，目的是讓學(xué)生弄清函數(shù)模型的內(nèi)涵和外延，使函數(shù)本質(zhì)在學(xué)生頭腦中更加深刻，為生成概念作好充分準(zhǔn)備．進(jìn)一步，如何描述函數(shù)的概念？由于前面有鋪墊、有“情境問題”的共識、有“舉例子”的經(jīng)驗(yàn)，其實(shí)函數(shù)模型的本質(zhì)已為學(xué)生所熟悉，此時(shí)讓學(xué)生給模型下定義就容易多了．但要引導(dǎo)學(xué)生用較簡潔、精準(zhǔn)的語言來描述概念絕非易事．“該如何描述”需要師生共同探討，當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生說出用“符號化的思想”[2]分別給兩個(gè)變量起名字后，函數(shù)概念自然而然能被闡述清楚，余下就是函數(shù)概念的“延伸點(diǎn)”，即核心要素的分析與強(qiáng)化以及在實(shí)際情境中辨析概念的基本規(guī)范．

2.4 情境欣賞，學(xué)以致用

例1如圖1，搭1條小魚需要8根火柴棒，每多搭一條小魚需要多6根火柴棒，如果搭n條小魚需要S根火柴棒，那么S是n的函數(shù)嗎？為什么？

例2表2中y是x的函數(shù)嗎？為什么？

表2

例3圖2中溫度T是時(shí)間t的函數(shù)嗎？為什么？

教學(xué)分析三個(gè)例題的設(shè)計(jì)讓學(xué)生從不同角度再次辨析函數(shù)的概念，體悟函數(shù)的三種表達(dá)形式：解析式，表格，圖象．這樣的整體設(shè)計(jì)讓學(xué)生能系統(tǒng)而全面地體悟函數(shù)模型的多樣性，從具象到抽象實(shí)現(xiàn)認(rèn)識提升，符合八年級學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過概念的應(yīng)用，形成概念判斷的“操作程序”和“思考路徑”，是一次新的概括能力的提升．學(xué)生在不斷體會和提煉的過程中逐漸內(nèi)化概念，整體設(shè)計(jì)又拉長了其思維長度，從而提升課堂的效度．

2.5 歸納總結(jié)，體悟思想

總結(jié)回顧：談?wù)勀闶斋@了哪些知識？經(jīng)歷了今天的學(xué)習(xí)過程，你體會到了什么數(shù)學(xué)思想方法？

教學(xué)分析讓學(xué)生回顧教學(xué)過程，厘清學(xué)習(xí)主線：情景問題—探索屬性—舉一反三—生成概念—辨析提升．通過自我歸納，自我建構(gòu)知識體系，讓學(xué)生從點(diǎn)到線、從局部到整體形成一種認(rèn)知模式下的思維方式，從中體會由特殊到一般、抽象化和整體建構(gòu)的思想．通過這樣的生長教學(xué)和深度思考，促使學(xué)生的思維水平向高層次發(fā)展，而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

3 教學(xué)思考

3.1 關(guān)注結(jié)構(gòu)生長，彰顯本質(zhì)屬性

數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用是有內(nèi)在聯(lián)系的，是基于數(shù)學(xué)體系，在知識板塊結(jié)構(gòu)上生成與發(fā)展的．概念教學(xué)的核心是“概括”[3]，在數(shù)學(xué)實(shí)踐中要引導(dǎo)學(xué)生展開分析各種事例屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納提煉數(shù)學(xué)概念．因此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要從系統(tǒng)觀和整體觀視角出發(fā)，在學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，在學(xué)生熟悉的情境中創(chuàng)設(shè)新問題、提出新觀點(diǎn)，對教學(xué)素材進(jìn)行合理的重構(gòu)，溯源求新，讓知識能夠自然生長．

細(xì)節(jié)決定成?。拍罱虒W(xué)過程必須“通俗化”“深加工”“精致化”．本節(jié)課通過學(xué)生熟知的行程問題，探索路程、速度、時(shí)間反映出的不變量和變化量，提煉“常量”和“變量”的概念，在此基礎(chǔ)上，由學(xué)生熟悉的“飼養(yǎng)小兔”問題，到水波中周長與半徑、面積與半徑的關(guān)系，創(chuàng)設(shè)新問題串，由淺入深，逐步引導(dǎo)，辨析常量與變量，并進(jìn)一步挖掘變量間的關(guān)系，探索“變化過程”“兩個(gè)變量”“唯一對應(yīng)”這些函數(shù)屬性，逐步生成函數(shù)概念(函數(shù)模型)．通過內(nèi)容環(huán)節(jié)的環(huán)環(huán)相扣，將抽象知識的來龍去脈闡述清楚，揭示知識的本來面目，即在二元方程概念下的新認(rèn)知和新視角．

3.2 關(guān)注主線引領(lǐng)，蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)思想

《課標(biāo)》指出，在教學(xué)實(shí)施中“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括．學(xué)生在積極參與教學(xué)活動過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想．”教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中一般會有一條主線來引領(lǐng)，較常見的是知識主線、探索主線，這些是知識生長的明線[4]．此外，教師更要關(guān)注暗線貫穿，即知識背后涉及的數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)．在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生聚焦問題生成，感受知識生長，從過程中體悟數(shù)學(xué)思想(特殊到一般，符號抽象)，激發(fā)學(xué)生深度思考，促進(jìn)思維生長．基于學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)情境，在學(xué)生熟知的背景下建構(gòu)老情境下的新問題，這更加容易獲得經(jīng)驗(yàn)．對新知識從接觸到消化，更有親切感，更加輕車熟路，能更好地幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識，體會其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想．長方形生物園的情境在七年級時(shí)已經(jīng)接觸過，在這里從具體數(shù)據(jù)的運(yùn)算入手，引導(dǎo)學(xué)生歸納整理數(shù)據(jù)，通過觀察、討論、類比，得出變量間的關(guān)系式．情境創(chuàng)設(shè)中蘊(yùn)涵了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)中需要層層引導(dǎo)，讓學(xué)生有深入體會．

經(jīng)歷從特殊到一般的探索過程后函數(shù)概念的屬性漸漸浮出水面，需要用簡潔的語言來描述和概括，這是數(shù)學(xué)知識在不斷更新發(fā)展過程中必然要經(jīng)歷的進(jìn)程，必然促使學(xué)生知識的自然重構(gòu)．那就需要對具體事物情境進(jìn)行抽象，以引導(dǎo)學(xué)生更好地表述概念．對于兩個(gè)變量，在哪一個(gè)主動變化下另一個(gè)隨之變化，引導(dǎo)學(xué)生用抽象思維的“字母符號化”給兩個(gè)變量起名字，這樣就能將問題表達(dá)清楚，函數(shù)概念就完美呈現(xiàn)出來了．而在情境2的追問中，“一邊長記為x，另一邊長記為y，面積記為S”，已經(jīng)為兩個(gè)變量的“符號抽象化”設(shè)好鋪墊．

3.3 關(guān)注探索過程，培養(yǎng)整體意識

把握教材整體性，對內(nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌，做到心中有“聯(lián)絡(luò)圖”，才能把握教學(xué)的大方向，教學(xué)才能有的放矢．情境問題的設(shè)計(jì)是在整體建構(gòu)視角與微觀課時(shí)設(shè)計(jì)有效結(jié)合后作出的綜合決策．?dāng)?shù)學(xué)知識并非孤立存在，而是在已有知識體系中，通過動態(tài)創(chuàng)新、深入學(xué)習(xí)后產(chǎn)生的正向遷移，因此要注重探索過程的體悟．問題串的設(shè)計(jì)要環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)，在探究過程中讓學(xué)生積極思考．學(xué)生獲得結(jié)論后，

讓其展示思維路徑，鞏固基礎(chǔ)的同時(shí)體會思維帶來的成就感，使其能夠更加積極地探索問題．通過設(shè)問和追問促進(jìn)學(xué)生對知識的理解和建構(gòu)、遷移運(yùn)用和問題解決，獲得深度感悟，形成整體視角下的認(rèn)識提升．

函數(shù)概念是在整個(gè)關(guān)聯(lián)知識體系中較為核心的一個(gè)概念．教學(xué)中不僅要關(guān)注其生長由來，還要將其置入各種情境中．例如，情境2中表格的設(shè)計(jì)為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)圖象作鋪墊；解析式生成的一次函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識做好充分預(yù)設(shè)．例題辨析中的3個(gè)類型包含了三種函數(shù)的表達(dá)形式，從整體上布局了概念的全面解讀和運(yùn)用．這樣一番學(xué)習(xí)和體悟過程，能讓學(xué)生感受函數(shù)家族的整體性，促使學(xué)生逐步形成整體視角下考慮問題的格局．

綜上所述，教師在創(chuàng)設(shè)生長情境，關(guān)注知識的發(fā)展必然性和價(jià)值性的同時(shí)，也要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透和整體視角的教學(xué)觀，更要關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)與核心素養(yǎng)能力的提升．