一次提升“四能”的探究之旅
——從一道三角不等式的教學(xué)談起*

李勤儉 (安徽省池州市第一中學(xué) 247000)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題，不僅是新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也能高效地提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力．本文從一個(gè)正弦定理推證過(guò)程中得到的三角不等式入手，探討如何在解題教學(xué)中提升學(xué)生的“四能”．

1 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題

2 分析問(wèn)題，問(wèn)題解決

不等式①的左邊看起來(lái)比較正常，但右邊就讓人難以接受．看到π，聯(lián)想到幾何意義，所以從圓入手也算自然；①式是代數(shù)式，理應(yīng)有代數(shù)證法，那么作為三角函數(shù)式，可以從三角變換角度去解決；同時(shí)，從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，可以看成是余弦函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，所以從函數(shù)角度分析應(yīng)該也能解決問(wèn)題．

2.1 幾何證法

在圖1中，圓O是△ABC的外接圓.下面分△ABC是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三種情形證明.

圖1 圖2

證明(1)當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，如 圖2，連結(jié)BO，AO并延長(zhǎng)分別交圓O于點(diǎn)E，F(xiàn)，再連結(jié)BF,FC,CE,EA，則BF=2RcosC,FC=2RcosB,BD=2RcosA.

(3)當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)C>90°，此時(shí)可將圖2中的點(diǎn)D與點(diǎn)C對(duì)換，轉(zhuǎn)化為情形(1)，得證.

幾何證法直觀、好理解，但不容易想到.我們?cè)賴(lài)L試用代數(shù)證法．

2.2 代數(shù)證法

先證cosA+cosB+cosC>1 ②．

因?yàn)閏osA+cosB+cosC

為了證④式，先證下式：

另一方面，在⑤式中，有如下變形:

由②④可得①式得證.

由此還可以順帶得①式的加強(qiáng)式：

2.3 琴生不等式證法

琴生不等式(Jensen Inequality)：

函數(shù)f(x)是定義在開(kāi)區(qū)間(a,b)上的凸函數(shù).設(shè)λ1,λ2，…，λn是n個(gè)正實(shí)數(shù)，且λ1+λ2+…+λn=1，x1,x2,…,xn是開(kāi)區(qū)間(a,b)上任意n個(gè)點(diǎn)，則下面不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≥λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn).這個(gè)不等式稱(chēng)為琴生不等式.(注意:對(duì)于凹函數(shù)(下凸函數(shù))，上式中的“≥”變?yōu)椤啊堋?

3 再次提出問(wèn)題

一個(gè)問(wèn)題從提出到解決，并不是思維過(guò)程的結(jié)束，而往往是新問(wèn)題的開(kāi)始.①式是針對(duì)余弦函數(shù)而言的，那么對(duì)于正弦函數(shù)、正切函數(shù)，相應(yīng)的結(jié)論是什么？又如何證明？

3.1 與正弦函數(shù)有關(guān)的不等式

經(jīng)過(guò)探討分析得到

3.2 與正切函數(shù)有關(guān)的不等式

當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，

4 幾點(diǎn)感悟

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題往往比證明結(jié)論更重要.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了“四能”[2]，因此教師需要適時(shí)、適度地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而分析和解決問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高.

(1)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題的方法應(yīng)成為教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.本文由余弦函數(shù)的一個(gè)優(yōu)美的不等關(guān)系，運(yùn)用合情推理的方法拓展到了與正弦和正切函數(shù)相關(guān)的性質(zhì).如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，也許比幫助學(xué)生解決問(wèn)題更有意義.

(2)對(duì)一個(gè)問(wèn)題的解決進(jìn)行多角度思考是數(shù)學(xué)探究的基本思路.文中對(duì)不等式①的證法進(jìn)行了多角度的思考，得到了很好的思維體驗(yàn).這意味著教師在教學(xué)過(guò)程中如何進(jìn)行多角度的思考，以及如何引導(dǎo)學(xué)生多角度思考是值得探索的一個(gè)課題．

(3)要在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).本文在探討的過(guò)程中，包含了很多較深刻的分析與推理，使得學(xué)生在過(guò)程中學(xué)習(xí)，在過(guò)程中提高.

(4)探究無(wú)止境.文中通過(guò)探究得到了八個(gè)關(guān)系式，它們的應(yīng)用又可作為新的探討課題.

在這一探討的旅程中，學(xué)生得到了很好的思維能力的訓(xùn)練，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力訓(xùn)練，體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美、和諧美，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.這不正是新課程理念所要求的嗎？