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    初中二年級(jí) 第2試

    2022-11-17 07:24:47
    數(shù)理天地(初中版) 2022年21期
    關(guān)鍵詞:次方個(gè)位數(shù)合數(shù)

    一、選擇題

    1.下列五個(gè)多項(xiàng)式:

    ①a2b2-a2-b2-1;

    ②x3-9ax2+27a2x-27a3;

    ③x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b;

    ④3m(m-n)+6n(n-m);

    ⑤(x-2)2+4x.

    其中在有理數(shù)范圍內(nèi)可以進(jìn)行因式分解的有(? )

    (A)①,②,③.(B)②,③,④.

    (C)③,④,⑤.(D)①,②,④.

    2.關(guān)于x,y的方程x2y=180的正整數(shù)解有(? )

    (A)1組.(B)2組.

    (C)3組.(D)4組.

    3.已知實(shí)數(shù)x滿足條件x>2x+1,那么(x+2)2+3(x-3)3的值等于(? )

    (A)2x-1.(B)-2x+1.

    (C)-5.(D)1.

    4.已知a,b,c為正數(shù),且a≠b,若x=1a+1b+1c,y=1ab+1bc+1ca,則x與y的大小關(guān)系是(? )

    (A)x>y.

    (B)x<y.

    (C)x=y.

    (D)隨a,b,c的取值而變化.

    圖1

    5.如圖1,凸五邊形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=12DC=12DE,則∠D等于(? )

    (A)30°.? (B)45°.

    (C)60°.(D)67.5°.

    圖2

    6.如圖2,四邊形ABCD中,AB=BD=DA=AC,則四邊形ABCD中,最大的內(nèi)角的度數(shù)是(? )

    (A)90°.(B)120°.

    (C)135°.(D)150°.

    7.如圖3,四邊形ABCD中,AD>BC,圖3E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn),AD,BC的延長線分別與EF的延長線交于H,G,則(? )

    (A)∠AHE>∠BGE.

    (B)∠AHE=∠BGE.

    (C)∠AHE<∠BGE.

    (D)∠AHE與∠BGE的大小關(guān)系不確定.

    8.等腰三角形的一條腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半,則其頂角等于(? )

    (A)30°.

    (B)30°或150°.

    (C)120°或150°.

    (D)30°或120°或150°.

    圖4

    9.如圖4,正方形ABCD中,AB=8,Q是CD的中點(diǎn),設(shè)∠DAQ=α,在CD上取一點(diǎn)P,使∠BAP=2α,則CP的長度等于(? )

    (A)1.(B)2.

    (C)3.(D)3.

    10.三個(gè)整數(shù)a,b,c的和是6的倍數(shù),那么它們的立方和被6除,得到的余數(shù)是(? )

    (A)0.(B)2.

    (C)3.(D)不確定的.

    二、填空題

    11.分解因式:(x2-1)(x+3)(x+5)+12=.

    12.已知x-y-z=0,y-z=0,且xyz≠0,那么1998x2+1999y2-2000z21998x2-1999y2+2000z2=.

    13.如果x=12-34,那么x1-x2+1-x2x=.

    14.若x2+y2+54=2x+y,那么xy+yx=.

    圖5

    15.如圖5,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=36°,D是AB的中點(diǎn),ED⊥AB交BC于E,連接CD,則∠CDE∶∠ECD=.

    圖6

    16.如圖6,C在線段AB上,在AB的同側(cè)作等邊三角形△ACM和△BCN,連接AN,BM,若∠MBN=38°,則∠ANB=.

    17.某個(gè)質(zhì)數(shù),當(dāng)它分別加上6,8,12,14之后還是質(zhì)數(shù),那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是.

    18.有8個(gè)整數(shù),它們都不是5的倍數(shù),那么它們的4次方的和被5除,得到的余數(shù)是.

    19.數(shù)272-1能被500與600之間的若干整數(shù)整除,請(qǐng)找出三個(gè)這樣的整數(shù),它們是.

    20.有若干個(gè)相同的球,已知總數(shù)大于50,在桌子上恰能擺成一個(gè)正方形方陣,從這些球中去掉21個(gè)球后,可以擺成一個(gè)等腰梯形陣,在這個(gè)等腰梯形陣中,每一行的球數(shù)都比下一行的球數(shù)少1,而每腰上的球數(shù)比正方形每邊的球數(shù)少3,梯形較大的底上的球數(shù)是每腰上球數(shù)的2倍,那么球的總數(shù)是.

    三、解答題 要求:寫出簡(jiǎn)要步驟

    21.求自然數(shù)對(duì)(a,b),同時(shí)滿足條件:

    (1)0<a-2b<1;

    (2)150<(a+[KF(]2[KF)]b)3<200.

    圖7

    22.如圖7,等腰梯形ABCD中,CD∥AB,對(duì)角線AC、BD相交于O,∠ACD=60°,點(diǎn)S,P,Q分別是OD,OA,BC的中點(diǎn),

    (1)求證△PQS是等邊三角形;

    (2)若AB=5,CD=3,求△PQS的面積;

    (3)若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7∶8,求梯形上、下兩底的比CD∶AB.

    答·提示

    一、選擇題

    題號(hào)12345678910

    答案BDCACDCDBA

    提示:

    1.②式=(x-3a)3

    ③式=x(b+c-d)+y(b+c-d)

    -2(b+c-d)

    =(b+c-d)(x+y-2)

    ④式=(m-n)(3m-6n)

    =3(m-n)(m-2n)

    所以,②、③、④式合乎要求.

    選(B).

    2.因?yàn)?80=1×22×32×5,

    又x2y=180.

    所以x2y=1×22×32×5,

    且x,y為正整數(shù).

    所以x=1y=180,x=2y=45,x=3y=20,x=6y=5,

    共四組正整數(shù)解.

    選(D).

    3.由 x>2x+1,

    所以(2-1)x<-1.

    所以x<-12-1=-(2+1)<-2,

    所以x<-2,x+2<0,

    所以原式=-(x+2)+(x-3)=-5.

    選(C).

    4.由題意有2x-2y

    =2a+2b+2c-

    2ab-2bc-

    2ac

    =1a-2ab+1

    b+1b-2bc+1c+

    1c-2ac-

    1a

    =1a-1b2+1b-1c2

    +1c-1a2

    又因?yàn)閍≠b,

    所以1a-1b2>0,

    1b-1c2≥0,1c-1a2≥0,

    所以x-y>0,x>y.

    選(A).

    圖8

    5.如圖8,作等邊△ABO,連接EO、OC.

    所以AO=OB=AB=AE=BC.

    又∠EAO=120°-60°=60°,

    ∠CBO=60°.

    所以△EAO和△CBO均為等邊三角形.

    所以E、O、C三點(diǎn)共線,

    EC=2AB=ED=DC.

    所以△ECD是等邊三角形.∠D=60°.

    選(C).

    6.四邊形ABCD中,AB=AD=BD.

    所以∠BAD=60°.

    ∠ABC+∠BCD+∠CDA

    =360°-60°=300°.

    在△ABC中,AB=AC,

    所以∠ABC=∠ACB.

    在△ACD中,AC=AD,

    所以∠ADC=∠ACD.

    所以∠BCD=∠ACB+∠ACD.

    =∠ABC+∠ADC

    =300°-∠BCD,

    所以2∠BCD=300°,

    所以∠BCD=150°.

    即最大內(nèi)角是150°.圖9

    選(D).

    7.如圖9,連接AC,取AC的中點(diǎn)P,連接PE、PF.

    在△ACD中,F(xiàn),P分別是CD,CA的中點(diǎn).

    所以PF瘙綊12AD,

    同理,△ABC中,PE是中位線,

    所以PE瘙綊12BC.

    因?yàn)锳D>BC,

    所以PF>PE,

    所以∠PEF>∠PFE,

    因?yàn)镻F∥AH,

    所以∠PFE=∠AHE,

    因?yàn)镻E∥BG,

    所以∠PEF=∠BGE,

    所以∠AHE<∠BGE.

    選(C).

    8.如圖10(a),等腰△ABC中,CD是腰AB上的高,若CD=12AC,則∠A=30°.

    如圖10(b),等腰△ABC中,CD是腰AB上的高,若CD=12BC,則

    ∠B=30°,∠A=180°-2×30°=120°.

    如圖10(c),等腰△ABC中,CD是腰AB上的高,若CD=12AC,則

    ∠DAC=30°,∠BAC=150°.

    所以頂角等于30°或120°或150°.選(D).

    圖10

    圖11

    9.如圖11,取BC中點(diǎn)E,自E作EF⊥AP,F(xiàn)為垂足,連接AE,PE.

    因?yàn)镼,E分別為DC,BC的中點(diǎn),

    所以△ADQ≌△ABE.

    所以AE=AQ,

    ∠BAE=∠DAQ=α.

    又∠BAP=2α,

    所以∠EAP=α.

    在Rt△ABE與Rt△AFE中,

    AE=AE,∠BAE=∠FAE,

    所以△ABE≌△AFE.

    所以EF=BE=EC,

    ∠AEB=∠AEF.

    在Rt△EFP與Rt△ECP中,

    EP=EP,EF=EC,

    所以△EFP≌△ECP,

    所以∠FEP=∠CEP,F(xiàn)P=PC.

    所以AE,EP分別是∠BEF和∠FEC的平分線,

    所以AE⊥EP,∠AEP=90°.

    所以∠CEP=∠BAE.

    所以Rt△CEP∽R(shí)t△BAE.

    所以CPEC=BEAB=12.

    所以CP=12EC=14BC=2.

    選(B).

    10.a3+b3+c3-3abc

    =(a+b)3+c3-3ab(a+b)-3abc

    =(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]

    -3ab(a+b+c)

    =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).

    所以a3+b3+c3

    =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)

    +3abc

    又a,b,c為整數(shù)且a+b+c是6的倍數(shù),所以a,b,c中至少有一個(gè)為偶數(shù),否則a+b+c為奇數(shù).

    所以3abc能被6整除.

    所以a3+b3+c3能被6整除.

    選(A).

    二、填空題

    題號(hào)111213

    答案(x2+4x-3)(x2+4x+1)799179934

    題號(hào)14151617181920

    答案321∶282°53511,513,545121

    提示

    11. (x2-1)(x+3)(x+5)+12

    =(x+1)(x+3)(x-1)(x+5)+12

    =(x2+4x+3)(x2+4x-5)+12

    =(x2+4x)2-2(x2+4x)-15+12

    =(x2+4x-3)(x2+4x+1)

    12.由x-y-z=0y-z=0得x=2zy=z,

    所以原式=1998x2-z21998x2+z2=1998(2z)2-z21998(2z)2+z2

    =79917993.

    13.由x=12-34得

    x2=2-34,

    所以1-x2=1-2-34=2+34

    所以 x1-x2+1-x2x

    =x2+1-x2x1-x2=1x1-x2

    =12-32×2+32

    =4.

    14.由題意知

    x2-2x+y2-y+54=0,

    即(x-1)2+(y-12)2=0.

    所以(x-1)2=0,(y-12)2=0.

    所以x=1,y=12.

    所以xy+yx=1+12=32.

    15.Rt△ABC中,D為AB中點(diǎn),

    所以DC=AD=DB.

    因?yàn)椤螧=36°,

    所以∠BCD=36°,

    所以∠BDC=180°-2×36°=108°.

    又DE⊥AB,

    所以∠CDE=18°.

    所以∠CDE∶∠ECD=18∶36=1∶2.

    16.因?yàn)椤鰽CM與△BCN均為等邊三角形.

    所以AM=CM=AC,

    CN=BN=BC.

    在△ACN與△MCB中,

    AC=MC,CN=CB,

    ∠ACN=60°+∠MCN=∠MCB.

    所以△ACN≌△MCB.

    所以∠ANC=∠MBC.

    由已知∠MBN=38°.

    所以∠MBC=60°-38°=22°.

    所以∠ANC=22°,

    所以∠ANB=∠ANC+∠CNB=82°.

    17.這個(gè)質(zhì)數(shù)是5.

    整數(shù)中按被5除所得余數(shù)可分為五類,即5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4(k為整數(shù)),其中5k類型的數(shù)中,除質(zhì)數(shù)5外,其余均為合數(shù).

    若質(zhì)數(shù)M為5k+1類型,則

    M+14=5k+1+14=5(k+3),為合數(shù).

    若質(zhì)數(shù)M為5k+2類型,則

    M+8=5k+2+8=5(k+2).為合數(shù).

    若質(zhì)數(shù)M為5k+3型數(shù),則

    M+12=5k+3+12=5(k+3),為合數(shù).

    若質(zhì)數(shù)M為5k+4型數(shù),則

    M+6=5k+4+6=5(k+2),為合數(shù).

    綜上所述,只有質(zhì)數(shù)5分別加上6,8,12,14之后為11,13,17,19,它們均為質(zhì)數(shù),其他

    四類數(shù)不滿足條件.

    18.一個(gè)整數(shù)不是5的倍數(shù),它的個(gè)位數(shù)字可能是1,2,3,4,6,7,8,9,把它們4次方

    之后,研究它們的個(gè)位數(shù)字,分別是:

    14=1.

    24=16,(個(gè)位數(shù)字為6)

    34=81(個(gè)位數(shù)字為1).

    44=256(個(gè)位數(shù)字為6).

    64=1296(個(gè)位數(shù)字為6).

    74=2401(個(gè)位數(shù)字為1).

    84=4096(個(gè)位數(shù)字為6).

    94=6561(個(gè)位數(shù)字為1).

    即它們的個(gè)位數(shù)字不是1就是6,并且6被5除也是余1.所以一個(gè)不是5的倍數(shù)的整數(shù),它的4

    次方被5除一定余1.

    8個(gè)這樣的整數(shù),它們的4次方的和被5除所得余數(shù)為3.

    19.272-1

    =(236+1)(236-1)

    =(236+1)(218+1)(218-1)

    =(236+1)(218+1)(29+1)(29-1).

    因?yàn)?9+1=512+1=513,

    29-1=512-1=511

    所以511,513都能整除272-1.

    又218+1=218+2×29+1-2×29

    =(29+1)2-(25)2

    =(29+1+25)(29+1-25)

    =545×481.

    所以545也能整除272-1.

    20.設(shè)有n2個(gè)球,則梯形腰上的球數(shù)為n-3,梯形較大底的球數(shù)為2(n-3),小底上的球數(shù)

    為2(n-3)-(n+3)+1=n-2.則等腰梯形陣中球的總數(shù)是:

    12[2(n-3)+(n-2)]×(n-3)=n2-21,

    所以(3n-8)(n-3)=2n2-42,

    3n2-17n+24=2n2-42,

    n2-17n+66=0.

    所以(n-11)(n-6)=0.

    所以n1=11,n2=6.

    當(dāng)n=6時(shí),n2=36<50,不合題意,舍去.

    所以n=11,球的總數(shù)為112=121(個(gè)).

    三、解答題

    21.因?yàn)閍-2b<1,

    所以a-1<2b,

    2a-1<a+2b.

    又(a+2b)3<200,

    所以(2a-1)3<200,

    而200<216=63,

    所以2a-1<6,a<72.

    又a為自然數(shù),

    所以a的值只可能為1,2,3.

    由已知a-2b>0,a>2b,且b是自然數(shù),最小是1,所以a≠1.

    若a=2,由2>2b,知b只可能為1.此時(shí),

    (2+2)3<43=64<150與條件(2)相違.

    若a=3,由a-1<2b<a,知2<2b<3.

    所以b=2.

    則0<3-22<1滿足條件(1).

    此時(shí),(a+2b)3=(3+22)3

    =33+3×32×22+3×3×(22)2+(22)3

    =99+702.

    設(shè)702=m,則m2=9800.

    所以982<m2<992,(992=9801).

    所以150<197<(3+22)3<198<200滿足條件(2).

    即欲求的正整數(shù)對(duì)(a,b)為(3,2).

    圖12

    22.如圖12,連接SC、PB.

    (1)因?yàn)锳BCD是等腰梯形.

    所以AD=BC.

    又 AC、BD相交于O,

    所以AO=BO,OC=OD.

    因?yàn)椤螦CD=60°.

    所以△OCD與△OAB均為等邊三角形.

    因?yàn)镾是OD的中點(diǎn),

    所以CS⊥DO.

    在Rt△BSC中,Q為BC中點(diǎn),SQ是斜邊BC的中線,

    所以SQ=12BC.

    同理BP⊥AC.

    在Rt△BPC中,PQ=12BC.

    又SP是△OAD的中位線,

    所以SP=12AD=12BC.

    所以SP=PQ=SQ.

    所以△SPQ為等邊三角形.

    (2)因?yàn)锳B=5,DC=3.

    所以SB=12DO+OB=32+5=132,

    CS是等邊△DCO的高,

    所以CS=332.

    在Rt△BSC中,

    BC=BS2+CS2=1694+274=7.

    所以△SPQ的邊長SQ=12BC=72.

    所以S△SPQ=34×722=49316.

    (3)設(shè)上底CD=a,下底AB=b.(a<b)

    由(2)知BC2=SC2+BS2

    =32a2+(b+a2)2

    =a2+b2+ab,

    所以S△SPQ=316(a2+ab+b2)

    又△CDO與△ADO是高相等的三角形.

    所以S△AODS△COD=ADOC=ba,

    所以S△AOD=34a2×ba=34ab.

    因?yàn)镾△PQSS△AOD=78.

    所以8×316(a2+ab+b2)=7×34ab,

    即2a2-5ab+2b2=0,

    所以(2a-b)(a-2b)=0,

    又b>a.

    所以2a=b.

    所以ab=12.

    即CD∶AB=1∶2.

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