不同可靠度方法在邊坡穩(wěn)定性分析中的對(duì)比研究

戚國(guó)慶 耿亞欣

(紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，浙江 紹興 312000)

0 引言

邊坡穩(wěn)定性問題是邊坡工程中一直在研究而且必須直面的問題，隨著學(xué)科的不斷深入發(fā)展，工程實(shí)踐由粗放型向精細(xì)型轉(zhuǎn)變，對(duì)邊坡穩(wěn)定性評(píng)估提出了更高的要求.傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定性分析方法如Fellenius法、Bishop法、Morgenstern-Price法[1-3]都是以邊坡安全穩(wěn)定性系數(shù)Fs=1為標(biāo)準(zhǔn)的確定性分析方法，沒有考慮影響邊坡穩(wěn)定性的不確定性因素，而在巖土工程中確實(shí)存在很多的不確定性因素，因此安全系數(shù)法建立了許多簡(jiǎn)化的假定，故而得到的結(jié)果可能會(huì)存在偏差，以此來看，傳統(tǒng)的確定性分析方法已經(jīng)越來越難滿足實(shí)際工程問題的需要.

不確定性包括物理不確定性、統(tǒng)計(jì)不確定性和模型不確定性，隨機(jī)性是不確定性類型中的常見形式，其大小一般可以用概率來體現(xiàn).可靠性分析[4]方法就是用概率表示邊坡失穩(wěn)的方法.其優(yōu)點(diǎn)在于可靠性分析方法承認(rèn)基本狀態(tài)變量的隨機(jī)性，將影響邊坡穩(wěn)定的因素作為隨機(jī)變量考慮，將每一組的隨機(jī)變量代入確定性邊坡穩(wěn)定分析方法[5]，得到大量的確定性結(jié)果，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)得出規(guī)律，用一個(gè)確定的概率值來描述邊坡工程中的不確定性[6].從這方面來看，可靠性分析是邊坡穩(wěn)定性分析的更進(jìn)一步發(fā)展，不確定性分析方法是確定性分析方法的延伸.

目前，較為常用的可靠性分析方法主要有5種，分別是蒙特卡洛法[7-8](Monte Carlo Method，MC)，響應(yīng)面法[9](Response Surface Method，RSM),可靠指標(biāo)法[10]，羅森布魯斯統(tǒng)計(jì)矩法[11](Rosenblueth Method)，隨機(jī)有限元法(Stochastic Finite Element Method，SFEM)，其中蒙特卡洛法[12-14]因其具有原理簡(jiǎn)單、精度高而且不需要分析參數(shù)概率分布、受問題條件限制的影響較小、結(jié)果是否收斂與極限狀態(tài)方程的非線性無關(guān)等優(yōu)點(diǎn)，經(jīng)常作為檢驗(yàn)其他分析方法的標(biāo)準(zhǔn).本文以蒙特卡洛模擬方法為基準(zhǔn)，用響應(yīng)面法和羅森布魯斯法與現(xiàn)行的邊坡極限平衡法相結(jié)合，對(duì)邊坡可靠性進(jìn)行計(jì)算并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，探究更為合理的邊坡穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法.

1 可靠度方法

1.1 蒙特卡洛法

邊坡穩(wěn)定性受到多種因素的影響，因此可以根據(jù)巖體結(jié)構(gòu)、破壞機(jī)理和受力情況等建立邊坡狀態(tài)函數(shù)Z：

Z=g(X1,X2,…,Xm)

(1)

(2)

(3)

式中φ(1-Pf)指標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，可以根據(jù)得到的N個(gè)g(x)值求得均值μz和標(biāo)準(zhǔn)差σz：

(4)

(5)

也可根據(jù)均值μz和標(biāo)準(zhǔn)差σz可求得邊坡可靠度指標(biāo)β：

(6)

1.2 響應(yīng)面法

邊坡狀態(tài)函數(shù)一般都是根據(jù)剛體極限平衡法Fs=R/S來建立.對(duì)于簡(jiǎn)單均質(zhì)邊坡，如果使用Fellinous法分析邊坡穩(wěn)定性，邊坡狀態(tài)函數(shù)尚可以用顯式表達(dá)，但對(duì)略微復(fù)雜的邊坡進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析，邊坡狀態(tài)函數(shù)通常無法用顯式表達(dá)，此時(shí)可以通過用近似的邊坡狀態(tài)函數(shù)來替代真實(shí)的狀態(tài)函數(shù)，此即響應(yīng)面法.當(dāng)?shù)玫浇七吰聽顟B(tài)函數(shù)后，還需要結(jié)合其他的可靠度分析方法，常常與一次可靠度法相結(jié)合.

(7)

式中：A，Bi，Ci為待定系數(shù)，xi(i=1,2,3,…,n)為邊坡隨機(jī)變量.響應(yīng)面極限狀態(tài)方程求解步驟為：

1)假定初始點(diǎn)X0=(x1,x2,…,xn)通常會(huì)選擇隨機(jī)變量的均值點(diǎn)作為初始點(diǎn).

3)解出由步驟(2)列出的線性方程組的解，得到待定系數(shù)A，Bi，Ci的值，于是得到以二次多項(xiàng)式表達(dá)的響應(yīng)面極限狀態(tài)方程.得到狀態(tài)方程之后可以結(jié)合一次可靠度方法計(jì)算邊坡可靠度和破壞概率，也可與蒙特卡洛法相結(jié)合.

1.3 羅森布魯斯法

在狀態(tài)變量Xi(i=1,2,3,…,n)分布函數(shù)未知的情況下，不必考察Xi的變化情況，只在區(qū)間(Xmin,Xmax)上分別對(duì)稱地選擇兩個(gè)點(diǎn)，通常選取均值μXi的一個(gè)正負(fù)標(biāo)準(zhǔn)差σx，即：

(8)

若假設(shè)n個(gè)狀態(tài)變量，則有2n個(gè)取值點(diǎn)，在2n個(gè)狀態(tài)變量的組合下，由狀態(tài)方程Z=G(x1,x2,…,xn)可求得2n個(gè)狀態(tài)函數(shù)值Zj.若n個(gè)狀態(tài)變量相互獨(dú)立，則Z的均值為：

(9)

若n個(gè)狀態(tài)變量相關(guān)，且2n個(gè)組合中每個(gè)組合出現(xiàn)的概率不相等，則變量間的相關(guān)系數(shù)ρ決定了每個(gè)組合概率值Pj：

+en-1enρn-1,n)

(10)

ρi-1,i為狀態(tài)變量Xn-1與Xn之間的相關(guān)系數(shù).式中ei(i=1,2,3,…,n)取值為：當(dāng)xi取xi1時(shí)，ei=1；當(dāng)xi取xi2時(shí)，ei=-1.則Z的均值為：

(11)

如此便可推導(dǎo)出狀態(tài)函數(shù)概率分布的一階矩M1、二階矩M2、三階矩M3和四階矩M4.

由邊坡狀態(tài)函數(shù)的一階矩M1和二階矩M2可求得邊坡的可靠度指標(biāo)β：

(12)

1.4 可靠度方法應(yīng)用條件

可靠度分析方法有多種且計(jì)算方法有不同的使用條件，在實(shí)際計(jì)算使用過程中，為了獲得較為準(zhǔn)確的結(jié)果，要根據(jù)具體情況使用，故將以上常用幾種可靠度方法的適用條件及優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析，結(jié)果如下表1所示.

表1 可靠度方法應(yīng)用條件綜合分析表

2 算例分析

2.1 計(jì)算模型

已知某簡(jiǎn)單均質(zhì)土坡，分別在隨機(jī)變量符合正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布情況下使用不同可靠度方法計(jì)算邊坡可靠度.不考慮土性參數(shù)相關(guān)性，土體破壞符合摩爾庫(kù)倫準(zhǔn)則，該均質(zhì)土坡高H=5.0 m，坡角β=45 °，土體容重γ=17.64 kN/m3，黏聚力c=6 kPa，內(nèi)摩擦角φ=21 °，其幾何尺寸如圖1所示.

圖1 均質(zhì)邊坡截面屬性

使用有限元軟件ABAQUS進(jìn)行數(shù)值分析計(jì)算，運(yùn)用強(qiáng)度折減法以數(shù)值計(jì)算不收斂作為依據(jù)，得到邊坡穩(wěn)定系數(shù)值Fs=1.16，圖2、圖3分別為ABAQUS分析得到的位移等值線云圖和塑性應(yīng)變等值線云圖，由圖可以清楚地判斷邊坡滑動(dòng)面的位置，與極限平衡分析法得到的滑面大致相同，均呈大致的圓弧狀，且都通過坡腳點(diǎn).由安全系數(shù)值可以知道該邊坡雖然達(dá)到了極限平衡，但依然屬于欠穩(wěn)定狀態(tài).在給定參數(shù)的情況下，利用定值使用不同極限平衡法計(jì)算得出邊坡安全系數(shù)，如表2所示.

圖2 位移等值線云圖

圖3 塑性應(yīng)變等值線云圖

表2 不同極限平衡法的安全系數(shù)

2.2 參數(shù)變異性敏感度分析

針對(duì)該均質(zhì)邊坡，參考相關(guān)文獻(xiàn)[16-17]，假設(shè)隨機(jī)變量c、φ相互獨(dú)立，且變異系數(shù)范圍為[0.1，0.3]，因?yàn)橹饕疾觳煌煽慷确椒ㄖg的差異，因此忽略土的重度變異性對(duì)邊坡可靠度的影響，土體參數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表3所示.

表3 土性參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值

根據(jù)不同剛體極限平衡方法建立不同邊坡狀態(tài)函數(shù)，在土體參數(shù)符合正態(tài)分布情況下運(yùn)用蒙特卡洛方法計(jì)算邊坡可靠度，并以此作為基準(zhǔn).在同一變異系數(shù)下使用不同的可靠度方法計(jì)算，比較不同方法之間的差異；在不同變異系數(shù)下計(jì)算可靠度，比較在同一可靠度方法下變異系數(shù)對(duì)可靠度的影響.

首先假設(shè)φ不變化，當(dāng)c的變異系數(shù)在0.1到0.3之間變化時(shí)，分別在參數(shù)符合正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布下求得邊坡的可靠度，結(jié)果如下圖4(a)所示；之后假設(shè)c不變化，φ的變異系數(shù)在0.1到0.3之間變化時(shí)，同樣在參數(shù)符合不同分布下求得邊坡可靠度，計(jì)算結(jié)果如下圖4(b)所示，在參數(shù)符合不同分布下來考察參數(shù)變異性對(duì)邊坡可靠度的影響.

2.3 參數(shù)分布類型敏感度分析

為了研究參數(shù)的分布類型對(duì)邊坡可靠度的影響，依然選用三種(Fellenius法、Bishop法和Morgenstern-Price法)不同的極限平衡法建立邊坡狀態(tài)函數(shù)，在土體參數(shù)符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布情況下計(jì)算邊坡在不同變異系數(shù)下的可靠度，研究方法和上述正態(tài)分布情況下相同，計(jì)算結(jié)果如圖5所示，將兩種分布情況對(duì)比，探究參數(shù)在何種分布下對(duì)邊坡可靠度影響更敏感.

2.4 結(jié)果分析

1)通過上述均質(zhì)邊坡算例，在相同變異系數(shù)下比較可以看出，使用不同剛體極限平衡法建立邊坡狀態(tài)函數(shù)時(shí)求得的可靠度指標(biāo)有一定差異.使用Fellenius法求得的邊坡可靠度最小，使用Bishop法求得的可靠度最大，M-P法求得的結(jié)果居中，但與Bishop法較為接近，這也與剛體極限平衡法求得的邊坡安全系數(shù)相符合.邊坡安全系數(shù)越大則可靠度越高，但同時(shí)也表明了邊坡安全系數(shù)大于1時(shí)邊坡仍然有破壞的可能.使用不同極限平衡法建立的狀態(tài)函數(shù)計(jì)算的可靠度有差別是其固有缺陷，這是因?yàn)榧俣l件不同而導(dǎo)致的，Bishop法和M-P法的穩(wěn)定系數(shù)是經(jīng)過多次迭代求得，故而可靠性分析結(jié)果與蒙特卡洛法更為接近.

2)在不同變異系數(shù)下比較圖4(a)、圖5(a)可知，在φ不變的情況下，邊坡可靠度隨著c變異系數(shù)的增大而逐漸減小.從圖4(b)、圖5(b)可以看出在c不變的情況下，邊坡可靠度也隨著φ變異系數(shù)的增大而逐漸減小，可以知道邊坡可靠度隨著變異系數(shù)的增大而減小.進(jìn)一步對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn): 無論在何種分布下， 相同的邊坡在φ變異系數(shù)變化時(shí)得到的可靠度指標(biāo)更小，即邊坡更易破壞，可以知道邊坡可靠度指標(biāo)對(duì)內(nèi)摩擦角φ的變化更為敏感.

(a)c的變異系數(shù)0.1到0.3

(a)c的變異系數(shù)0.1到0.3

3)在不同參數(shù)分布類型但同一變異水平下研究發(fā)現(xiàn):參數(shù)變異性較小時(shí)，兩者計(jì)算的可靠度較為接近，但參數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布計(jì)算得到的可靠度數(shù)值偏大；當(dāng)變異系數(shù)較大時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)分布下計(jì)算邊坡可靠度比正態(tài)分布下計(jì)算偏差更大，可以知道參數(shù)在對(duì)數(shù)正態(tài)分布下，邊坡可靠度對(duì)參數(shù)變異性更敏感.

3 結(jié)論與建議

1)運(yùn)用可靠度方法對(duì)邊坡進(jìn)行可靠度分析時(shí)，能夠充分考慮巖土參數(shù)的隨機(jī)性、變異性等因素，能夠量化各個(gè)參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，解釋了傳統(tǒng)極限平衡法不能解釋的安全系數(shù)大于1邊坡破壞、安全系數(shù)小于1邊坡穩(wěn)定的問題.因此，將可靠度方法與邊坡穩(wěn)定性分析結(jié)合能更好地對(duì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià).

2)在相同的極限平衡法條件下建立邊坡狀態(tài)函數(shù)時(shí)，不同可靠度方法計(jì)算結(jié)果差異較小.對(duì)于一般邊坡工程而言，羅森布魯斯法和響應(yīng)面法兩者計(jì)算精度都能滿足工程需要，如果工程對(duì)精度要求較高，應(yīng)該通過響應(yīng)面迭代或者選用高次響應(yīng)面來擬合功能狀態(tài)函數(shù).

3)在不同的極限平衡法條件下建立邊坡狀態(tài)函數(shù)，可靠度計(jì)算結(jié)果差異較大，特別是在變異系數(shù)0.3時(shí)，F(xiàn)ellenius法具有更大的誤差.在同一變異水平下，得到的可靠度指標(biāo)最小的Fellenius法，其次是M-P法，最后是Bishop法.

4)從圖可知，當(dāng)土體參數(shù)在服從正態(tài)分布時(shí)能夠取得較好的分析結(jié)果，在參數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的情況下，計(jì)算結(jié)果誤差明顯增大，可知對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)可靠度影響更大.

5)c、φ變異性對(duì)邊坡可靠度影響不同，無論何種分布，可以看出φ的變異性對(duì)邊坡可靠度影響大于c的變異性對(duì)可靠度的影響.