有限群的正規(guī)子群

王雪影， 喬守紅

(廣東工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣州 510520)

1 引 言

本文所考慮的群都是有限群，下面所提到的群G總是有限群.

在有限群理論中，極大子群對有限群結(jié)構(gòu)的影響是顯著的. 我們知道，群G是冪零群的充要條件是G的每個極大子群在G中都是正規(guī)的；G是超可解群當(dāng)且僅當(dāng)G的每個極大子群在G中的指數(shù)是素?cái)?shù). 對于可解性，參考文獻(xiàn)[1]介紹了子群的c-正規(guī)性，并且證明了G是可解群的充要條件是G的任意的極大子群在G中c-正規(guī).

定義1[1]設(shè)H是群G的子群. 稱H在G中c-正規(guī)，如果存在G的正規(guī)子群T，使得G=HT且H∩T≤HG，其中HG表示包含在H中的G的極大正規(guī)子群.

用u來表示超可解群系，Zu(G)表示G的超可解超中心，G的所有正規(guī)子群H的乘積使得在H下的所有G-主因子皆為素?cái)?shù)階循環(huán)群；Zu Φ(G)表示G的非Frattini超可解超中心，G的所有正規(guī)子群H的乘積使得在H下的所有非Frattini-G-主因子都為素?cái)?shù)階循環(huán)群. 用|G|表示群G的階數(shù)；G/K表示群G關(guān)于正規(guī)子群K的商群；N∶M表示子群N被子群M擴(kuò)張.

2007年， Ahmad， Jaraden和Skiba給出了c-正規(guī)子群定義的一種推廣[2].

定義2[2]設(shè)H是群G的子群.稱H是G的uc-正規(guī)子群，若存在G的次正規(guī)子群T使得G=HT且(H∩T)HG/HG≤Zu(G/HG).

在參考文獻(xiàn)[2]中，作者證明了如下的結(jié)果.

定理1設(shè)F是包含u的飽和群系，E是群G的正規(guī)子群滿足G/E∈F.如果E的每個非循環(huán)的Sylow子群的極大子群在G中有一個超可解的補(bǔ)(supplement)或是uc-正規(guī)的，則G∈F.

一般來說，對于群G，子群Zu Φ(G)比子群Zu(G)要大一些. 在本文中，用Zu Φ(G)替換Zu(G)，給出以下子群的嵌入性質(zhì).

注 在定義1-2中，可以規(guī)定T包含HG替換T被THG表示.故在定義3中，直接假設(shè)“T包含HG”.

2 預(yù)備知識

本節(jié)列出一些后面證明中用到的引理.

引理1[3]設(shè)H?G，H1和H2是H的G-主因子系，則H1和H2的主因子是一一對應(yīng)的，并且使得對應(yīng)的主因子是G-同構(gòu)，從而G中的H1的Frattini主因子和H2的Frattini主因子相對應(yīng).

引理2[3]設(shè)Z=ZF Φ(G)，N和T皆為G的正規(guī)子群，F(xiàn)是某群類，則

(i)Z的每個非-Frattini-G-主因子在G中是F-中心；

(ii)ZN/N≤ZF Φ(G/N)；

(iii) 如果TN/N≤ZF Φ(G/N)且(|T|，|N|)=1，則T≤Z.

引理3[4]設(shè)U，V和W是G的子群，則下列表述等價(jià)

(i)U∩VW=(U∩V)(U∩W)；

(ii)UV∩UW=U(V∩W).

下面這個引理是由Wielandt給出來的.

引理4[4]設(shè)G是有限群，U??G，則Soc(G)≤NG(U).

引理5設(shè)G是一個群，則有

(H/K∩T/K)/(H/K)G/K≤Zu Φ((G/K)/(H/K)G/K).

因?yàn)?H/K∩T/K)/(H/K)G/K=((H∩T)/K)/(HG/K)且

Zu Φ((G/K)/(H/K)G/K)=Zu Φ((G/K)/(HG/K))，

T∩HK=K(T∩H)≤HZ，

這里Z/HG∶=Zu Φ(G/HG).通過G-同構(gòu)，下列式子成立

KZ/KHG=KHGZ/KHG?Z/KHG∩Z=Z/HG(Z∩K).

再由引理1得出KZ/KHG≤Zu Φ(G/KHG).記X/KHG∶=Zu Φ(G/KHG).則

(T∩KH)/KHG≤HZ/KHG≤Zu Φ(G/KHG).

由于HGK≤(HK)G，所以(T(HK)G∩KH)/(KH)G≤Zu Φ(G/(KH)G).顯然，

G=(KH)(T(KH)G) 且T(KH)G??G.

證假設(shè)N不是Φ(G)的子群. 下面證明N是p階的. 設(shè)L/N?P/N且L/N的階為p，那么存在一個元素a∈L/N，使得L=N〈a〉，ap∈N.如果N=Φ(L)，那么L是循環(huán)群，從而N也是循環(huán)群，從而|N|=p.接下來討論Φ(L)

(T∩S〈a〉)/(S〈a〉)G≤Zu Φ(G/(S〈a〉)G).

如果N∩Op(G)=1，那么N的階數(shù)為p.假設(shè)N≤Op(G)，那么S≤N≤Op(G)≤T，從而

S(S〈a〉)G/(S〈a〉)G≤Zu Φ(G/(S〈a〉)G).

若S(S〈a〉)G/(S〈a〉)G=1，則S≤(S〈a〉)G，因此S≤(S〈a〉)G∩N.這意味著S=1且|N|=p.如果S(S〈a〉)G/(S〈a〉)G≠1，則有

S(S〈a〉)G/(S〈a〉)G≤(N(S〈a〉)G/(S〈a〉)G)∩ZΦ(G/(S〈a〉)G).

因此

N?N(S〈a〉)G/(S〈a〉)G≤Zu Φ(G/(S〈a〉)G).

因?yàn)镹是非-Frattini子群，所以|N|=p.

引理7[5]令G為有限群，N是G的極小正規(guī)子群，M是G的極大子群. 如果G=N∶M且M可解，那么G可解.

3 主要結(jié)果

證只需要證明定理的必要性. 假設(shè)結(jié)論不真且G是一個極小階反例.

步驟1設(shè)N是G的極小的正規(guī)子群，則G/N超可解. 因此N是G的唯一的極小正規(guī)子群.

下面證明G/N滿足定理的假設(shè). 設(shè)M/N是PN/N的一個極大子群，顯然對于P的某個極大子群P1有M=P1N，其中P是G的非循環(huán)的Sylow子群. 由此可知P∩N=P1∩N是N的一個Sylow子群. 根據(jù)假設(shè)，G有次正規(guī)子群T，并且T包含(P1)G，使得G=P1T且

(P1∩T)/(P1)G≤Zu Φ(G/(P1)G).

從而有

G/N=(M/N)(TN/N)=(P1N/N)(TN/N)，

顯然TN/N??G/N.因?yàn)?/p>

(|N∶P1∩N|，|N∶T∩N|)=1，

所以

(P1∩N)(T∩N)=N=N∩G=N∩(P1T).

根據(jù)引理3得出

(P1N)∩(TN)=(P1∩T)N.

由于N?G，因此N(P1)G≤(NP1)G且(P1N/N)G/N=(P1N)G/N.又因?yàn)?/p>

黃羊、黃鹿、桂花和巧云聽到動靜，慌忙跑過來，見伯父哭成這樣，彼此交換了眼神，都沒有上前去勸住他；直到黃石趴在地上，輕輕地咽嗚，才過去扶他進(jìn)屋去。桃花絞了塊熱毛巾，細(xì)細(xì)地給父親擦臉和洗手。黃方永拉起黃石的手，輕輕地?fù)u道：“爺爺，爺爺，不哭噢；我以后不騎馬了?！彼悄搪暷虤獾耐簦堑么蠹忆t了眼睛，黃石更是淚如雨下，一把抱起孫子，哽咽道：“寶寶呀，寶寶呀……”伯父總算清醒了，黃羊和黃鹿安排伯父躺下去后，就領(lǐng)著桂花和巧云回家了。

(P1∩T)/(P1)G≤Zu Φ(G/(P1)G)，

于是

(P1∩T)N/(P1N)G≤Zu Φ(G/(P1N)G).

從而

(P1N/N∩TN/N)/(P1N/N)G/N=(P1∩T)N/N/(P1N)G/N≤Zu Φ(G/N/(P1N)G/N).

步驟2NΦ(G)且N非循環(huán).

假設(shè)NΦ(G)或N是循環(huán)群. 由步驟1，G超可解.

步驟3若對于任意的整除|G|的素?cái)?shù)p有Op(G)=1，因此Zu Φ(G)=1.

若否，存在素?cái)?shù)p使得Op(G)≠1，那么由步驟1可得N≤Op(G).根據(jù)步驟2，P是非循環(huán)的群，且NΦ(P).我們選擇P的極大子群P1，使得P=NP1.由假設(shè)可知P1在G中正規(guī)，則因此存在T??G且(P1)G≤T，使得

G=P1T， (P1∩T)/(P1)G≤Zu Φ(G/(P1)G).

因?yàn)镹是唯一的，所以(P1)G=1，從而P1∩T≤Zu Φ(G).

步驟4存在G的Sylow-子群P使得1≠N∩P

顯然，G非單群. 因此，N

步驟5最終矛盾.

定理得證.

設(shè)N是G的任意極小正規(guī)子群. 因?yàn)閬唭缌闳侯愂秋柡腿合?，請見參考文獻(xiàn) [6]，所以N是G唯一的極小正規(guī)子群且Φ(G)=1.繼而可得CG(N)=N是p-子群，其中p為某素?cái)?shù).

如果Zu Φ(G)≠1，由于Φ(G)=1，則N≤Zu Φ(G)是p階子群. 存在G的極大子群M，使得G=N∶M，那么M?G/N?G/CG(N)且M為交換群. 因此，G超可解，故G是亞冪零群.

下面假設(shè)Zu Φ(G)=1.設(shè)Q是G的Sylowq-子群，則QG=1.由假設(shè)，存在T??G，使得G=QT且Q∩T≤Zu Φ(G)=1.因?yàn)門是G的次正規(guī)的Hall子群，所以T?G.由于Φ(G)=1且G的Sylowp-子群在G中正規(guī)，因此N是G的Sylow子群. 從而G=N∶M，其中M是冪零的.

定理的必要性顯然可得.

定理4設(shè)G可解當(dāng)且僅當(dāng)G有可解的極大子群M滿足：存在T??G使得G=MT并且(M∩T)/MG≤ZS(G/MG)，這里S表示可解群系.

證僅需要證明定理的充分性. 對G的階數(shù)進(jìn)行歸納，證明G是可解的.

步驟1MG=1.

顯然，G/MG滿足定理的假設(shè). 如果MG≠1，通過歸納假設(shè)知G/MG是可解的. 因?yàn)镸可解，所以得到G可解. 因此，我們可以假設(shè)MG=1.

步驟2ZS(G)=1.

若ZS(G)≠1，取G的極小正規(guī)子群N包含于ZS(G)，則N是交換群. 由于MG=1，故G=N∶M可解. 因此，ZS(G)=1.

步驟3完成證明.

根據(jù)定理?xiàng)l件，存在T??G，使得G=MT且M∩T≤ZS(G)=1.若T=G，那么M=1，故G的階為素?cái)?shù)，從而G可解. 假設(shè)T

下面假設(shè)M∩N≠1.從而N不包含于T.令N=T1×T2×…×Tk，其中這些Ti是非交換的同構(gòu)單群. 由于1≠N∩T??N，可以假設(shè)N∩T=T1×T2×…×Tl.由于N是G的極小正規(guī)子群，且G=MN，則M共軛作用在集合{T1，T2，…，Tk}上是傳遞的. 再根據(jù)M∩T=1，可推出

M∩T1=M∩T2=…=M∩Tl=1，

根據(jù)M在{T1，T2，…，Tk}上的傳遞性，那么M∩Ti=1，其中i=1，2，…，k.

考慮G右乘作用在陪集空間[G∶M]上，作用是本原的. 記α=M，則Gα=M，Nα=M∩N.如果Nα=M∩N在Ti上的投影不是滿射，由參考文獻(xiàn)[7]，得到

M∩N=R1×R2×…×Rk，

其中Ri真包含于Ti，矛盾于M∩T=1.因此M∩N=Nα在Ti上的投影是滿射. 從而Ti是可解的，最后的矛盾. 證畢.

推論1[8]有限群可解的充要條件是存在一個c-正規(guī)的可解極大子群.

4 總 結(jié)

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.