矩陣廣義逆與方程的解

翟佩佩， 石欣侗， 魏俊潮

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚州 225002)

1 引 言

矩陣是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象,矩陣廣義逆的概念最早由Fredholm于1903年提出[1],其在解線性方程組、矩陣方程組中有著廣泛的應(yīng)用.

Mn(C)表示復(fù)數(shù)域上全體n階矩陣的集合.設(shè)A∈Mn(C),用AH表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

若A2=A,則稱A為冪等矩陣[2].冪等矩陣的研究是矩陣?yán)碚撝幸粋€重要研究內(nèi)容.

若存在復(fù)矩陣X,滿足條件

AXA=A, XAX=X, AX=XA，

則稱A是群可逆矩陣,并稱X是A的群逆矩陣.并不是每個矩陣都是群可逆矩陣.一個復(fù)矩陣A是群可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)rank(A)=rank(A2).若A是群可逆矩陣,則其群逆矩陣是唯一確定的,通常記為A#[3].

如果AHA=AAH,則稱A是正規(guī)矩陣[4].眾所周知，一個n階復(fù)矩陣A可酉對角化當(dāng)且僅當(dāng)A是正規(guī)矩陣.

若AT=A,其中AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,則稱A是對稱矩陣[5].

由于矩陣廣義逆有著廣泛的應(yīng)用,所以本文通過深入研究適當(dāng)?shù)木仃嚪匠?探討所得矩陣方程在給定集合中解的存在性對矩陣廣義逆性質(zhì)的影響.在本文中以參考文獻(xiàn)[6]的等價條件,參考文獻(xiàn)[5]的XAX=A矩陣方程的解的討論和參考文獻(xiàn)[7]的矩陣方程AX=A+X的構(gòu)造為靈感,并運用到上述基本概念,主要研究一些特殊矩陣方程解存在的條件，通過深入研究方程AX=A+X,對于參考文獻(xiàn)[7]與本文重復(fù)的定理,本文給出了一種新的證法,并對該方程進(jìn)行解析,在參考文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣研究,得到了更多好的定理,使矩陣方程AX=A+X的研究更加全面.

關(guān)于矩陣方程AX=A+X的推廣研究在本文的討論中還需要引申參考文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論.

引理1設(shè)A∈Mn(C),則矩陣方程AX=A+X有解當(dāng)且僅當(dāng)En-A為可逆方陣.此時X=En-(En-A)-1.

2 主要成果

定理1設(shè)A∈Mn(C),則下面的矩陣方程有冪等矩陣解當(dāng)且僅當(dāng)A為冪等矩陣且En-A為可逆矩陣

AX=A+X.

(1)

證必要性.假設(shè)矩陣方程(1)有冪等矩陣解,設(shè)解為X=B,則由引理1知En-A為可逆矩陣且 AB=A+B,右乘B,注意到B是冪等矩陣,故有AB=AB+B,因此B=O,從而

O=AB=A+B=A+O=A,

于是A是冪等矩陣.

充分性.由于En-A為可逆矩陣,故由引理1知方程(1)有解,設(shè)解為X=B, 則AB=A+B,由于A為冪等矩陣,故左乘A得AB=A+AB,從而A=O,于是B=AB-A=O,故B為冪等矩陣,即方程(1)有冪等矩陣解.

稱形如KEn(0≠k≠1)的矩陣為真純量矩陣.

定理2矩陣方程(1)有真純量矩陣解當(dāng)且僅當(dāng)A為真純量矩陣.

定理3矩陣方程(1)有冪零矩陣解當(dāng)且僅當(dāng)A為冪零方陣.

證必要性.假設(shè)矩陣方程(1)有冪零矩陣解X=B,即?m∈,Bm=O.由引理1知(A-En)(B-En)=En,所以(B-En)(A-En)=En,因此

(A-En)(B-En)=(B-En)(A-En),

可得到AB=BA,由方程AB=A+B,知A=(A-En)B,于是

A2=(A-En)BA=(A-En)AB=(A-En)(A-En)BB=(A-En)2B2,

重復(fù)這個過程可得Am=(A-En)mBm=O.因此A為冪零方陣.

充分性.假設(shè)A為冪零方陣,則?k∈,Ak=O,所以En-A為可逆矩陣,故由引理1知方程(1)有解,設(shè)解為X=B,則AB=A+B,則可知B=A(B-En),于是

B2=A(B-En)B=AB(B-En)=AA(B-En)(B-En)=A2(B-En)2,

重復(fù)上述過程可得Bk=Ak(B-En)k=O.因此矩陣方程(1)有冪零矩陣解.

定理4矩陣方程(1)有對稱方陣解當(dāng)且僅當(dāng)A為對稱方陣且En-A可逆.

證必要性.假設(shè)矩陣方程(1)有對稱方陣解X=B,由引理1知En-A為可逆矩陣且AB=A+B,兩邊同時轉(zhuǎn)置得BTAT=AT+BT,即BAT=AT+B,從而(B-En)(AT-En)=En,由引理1知(A-En)(B-En)=En,由于可逆矩陣的性質(zhì),逆矩陣是唯一的,所以AT-En=A-En,故A為對稱方陣且En-A可逆.

充分性.假設(shè)A為對稱方陣且En-A可逆,故由引理1,方程(1)有解,設(shè)解為X=B,則AB=A+B,兩邊同時轉(zhuǎn)置得BTAT=AT+BT,即BTA=A+BT,從而(BT-En)(A-En)=En,由引理1知(A-En)(B-En)=En,由于可逆矩陣的性質(zhì),逆矩陣是唯一的,所以BT-En=B-En,因此矩陣方程(1)有對稱方陣解.

定理5設(shè)C為n階方陣,則矩陣方程(1)有與C可交換的矩陣解當(dāng)且僅當(dāng)A與C可交換且En-A可逆.

證必要性.假設(shè)矩陣方程(1)有與C可交換的矩陣解X=B,則由引理1知En-A為可逆矩陣且BC=CB,則

ACB=ABC=AC+BC,

所以AC(B-En)=BC,又

CAB=CA+CB=CA+BC,

所以CA(B-En)=BC,又因為(A-En)(B-En)=En，所以B-En可逆,則

AC=BC(B-En)-1=CA.

充分性.假設(shè)A與C可交換且En-A可逆,由于En-A可逆,故由引理1,方程(1)有解,設(shè)解為X=B,則AB=A+B,于是

CAB=ACB=CA+CB,

所以(A-En)CB=CA,故CB=(A-En)-1CA,又ABC=AC+BC,所以(A-En)BC=AC,故BC=(A-En)-1AC,由于AC=CA,故BC=CB,所以矩陣方程(1)有與C可交換的矩陣.

推論1若n階方陣A,B滿足AB=A+B,則(i) AB=BA； (ii) rank(A)=rank(B).

證(i)這是定理3的證明的一部分；

(ii) 因為AB=A+B,所以

rank(A)=rank(AB-B)=rank((A-En)B),

又因為由引理1知A-En可逆，所以rank((A-En)B)=rank(B),所以rank(A)=rank(B).

定理6矩陣方程(1)有群可逆矩陣解當(dāng)且僅當(dāng)A為群可逆矩陣且En-A可逆.

證必要性.設(shè)X=B為方程(1)的群可逆矩陣解,則由引理1知En-A可逆且AB=A+B,右乘B得AB2=AB+B2,從而(A-En)B2=AB,由于B為群可逆陣,則rank(B)=rank(B2),因為A-En可逆,則

rank(B2)=rank((A-En)B2)=rank(AB),

從而rank(B)=rank(AB),故由推論1知rank(A)=rank(AB),因為A2B=A2+AB,所以A2(B-En)=AB,因為B-En可逆,所以

rank(AB)=rank(A2(B-En))=rank(A2),

從而rank(A)=rank(A2),故A為群可逆矩陣.

充分性.由于En-A可逆,故由引理1,方程(1)有解X=B,即AB=A+B,從而En-B可逆且A2B=A2+AB,從而A2(B-En)=AB,從而rank(A2)=rank(AB),因為AB2=AB+B2,所以(A-En)B2=AB,所以

rank(B2)=rank((A-En)B2)=rank(AB)=rank(A2),

因為A是群可逆矩陣,則rank(A)=rank(A2),又由推論1,rank(A)=rank(B),因此rank(B)=rank(B2),從而B是群可逆矩陣.

定理7方程(1)有可對角化矩陣解當(dāng)且僅當(dāng)A可對角化且En-A可逆.

證必要性.設(shè)(1)有可對角化矩陣解X=B,則由引理1,En-A可逆,且AB=A+B,從而En-B可逆且(En-B)-1=En-A,設(shè)

則

所以

故

因此A可對角化且En-A可逆.

充分性.假設(shè)A可對角化,且En-A可逆,由引理1知,方程(1)有解.設(shè)X=B,

則

所以

故

因此方程(1)有可對角化矩陣解.

命題1設(shè)A,B為n階可逆方陣，則下列條件等價:

(i) AB=A+B；

(ii) A-1+B-1=En；

(iii) A=En+AB-1；

(iv) B=En+A-1B.

證(i)?(ii).因為AB=A+B,等式兩邊同時左乘A-1,右乘B-1,則

A-1ABB-1=A-1(A+B)B-1,

可得到A-1+B-1=En,(ii)得證.

(ii)?(iii).因為A-1+B-1=En,等式兩邊同時左乘A,則

A(A-1+B-1)=AEn,

可得到A=En+AB-1,(iii)得證.

(iii)?(iv).因為A=En+AB-1,等式兩邊同時右乘B,則

AB=(En+AB-1)B=B+A,

可得到

B=EnB=(A-1A)B=A-1AB=A-1(A+B)=En+A-1B,

(iv)得證.

(iv)?(i).因為B=En+A-1B,等式兩邊同時左乘A,則

AB=A(En+A-1B)=A+B,

(i)得證.

命題2設(shè)A,B為整矩陣(即元素全為整數(shù)的矩陣)且AB=A+B,則|A|=|B|或|A|=-|B|.

證由于AB=A+B,故(A-En)(B-En)=En,因為A,B為整矩陣，故A-En,B-En也為整矩陣,從而|A-En|,|B-En|為整數(shù),又

|A-En||B-En|=|(A-En)(B-En)|=|En|=1,

所以

|A-En|=|B-En|=1 或 |A-En|=|B-En|=-1,

因為

A=AB-B=(A-En)B, B=AB-A=A(B-En),

所以

|A|=|A-En||B|, |B|=|A||B-En|,

所以|A|=|B|或|A|=-|B|.

注1 從引理1可知,矩陣方程(1)有解時,解是唯一的,故有注2.

注2 矩陣方程(1)有反對稱方陣解不能推出A是反對稱矩陣，反之亦然，反例如下.

顯然A不是反對稱矩陣，反之亦然.

定理8矩陣方程(1)有正規(guī)矩陣解當(dāng)且僅當(dāng)A為正規(guī)矩陣且En-A可逆.

證必要性.假設(shè)AX=A+X有正規(guī)矩陣解,設(shè)為X=B,則AB=A+B,故

(En-A)(En-B)=En,

En-A可逆,因為B正規(guī),所以BBH=BHB,由定理5知ABH=BHA,從而BAH=AHB,再由定理5知AAH=AHA,故A為正規(guī)矩陣.

充分性.由于En-A可逆,則AX=A+X有解X=B,即AB=A+B,從而BA=B+A,即矩陣方程BX=B+X有正規(guī)矩陣解,從而由必要性的證明知B為正規(guī)矩陣.

3 結(jié) 論

文中通過對矩陣方程AX=A+X的研究,不斷糾錯矩陣方程、修改矩陣方程、變形矩陣方程時矩陣所呈現(xiàn)出來的廣義逆性質(zhì),得到了一系列存在特殊解的等價條件的相關(guān)定理,并在研究矩陣方程AX=A+X的過程中也發(fā)現(xiàn)了AB=A+B此等式的一些相關(guān)性質(zhì),使矩陣方程AX=A+X的研究更加全面,也為研究矩陣方程提供了思路.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.