基于空間四桿機構的兩足步行機器人研究

楊慧慧

（國家知識產權局專利局專利審查協(xié)作北京中心，北京 100160）

0 引言

四桿機構常用于設計移動機器人的關節(jié)或者腿，如Banala等[1]利用四桿機構設計機器人的膝關節(jié)以提高步行穩(wěn)定性。Yamamot等[2]使用平行四邊形機構設計了腳踝關節(jié)以實現(xiàn)人的足式運動。此外還有一些研究者利用平面四桿機構設計單自由度機器人的腿[3-4]和兩足步行玩具[5-6]。

與上述的研究不同，近年來也有一些研究利用單個四桿機構設計移動機器人。如文獻[7]利用一個平行四邊形機構設計了一種兩足滑行四桿機構。文獻[8]基于空間4U四桿機構，提出了兩足步行移動機構。文獻[9]基于兩個轉動副和圓柱副的空間四桿機構設計了一種雙足步行機構。本文通過改變運動副配置，提出了一種新型的空間RCRC步行機構，轉動副和圓柱副的軸線都相互平行，其中兩個桿件被設計為兩足，通過兩個曲柄帶動足的步行運動。

1 機構設計與自由度分析

1.1 機構設計

如圖1所示，該步行機器人是由空間四桿機構組成，包括2個L形狀的桿ABD和EGH及2個相同的曲柄AF和HC。其中2個桿之間的連接關系如下：桿ABD與曲柄AF在A點通過轉動副R1連接，曲柄AF與桿FGH在F點通過圓柱副C1連接，桿FGH和曲柄HC在H點通過轉動副R2連接，曲柄HC和桿ABD在C點通過圓柱副C2連接。轉動副R1與圓柱副C1的軸線平行，轉動副R2與圓柱副C2的軸線平行，轉動副R1與圓柱副C2的軸線垂直，轉動副R2與圓柱副C1的軸線垂直。方便期間，將該四桿機構簡稱為空間RCRC機器人。桿ABD和桿EHF作為機器人的兩足，每個足的L形的一端內部設有一個直流電動機，L形的另一端設有滑道，滑道的末端設置一個配重塊，使得足的質心在L的拐角處，同時配重塊還能夠起到增大足的支撐作面的作用。當曲柄AF和HC分別旋轉，則將帶動兩個足交替落地，實現(xiàn)步行運動。機構的參數定義如下：l1為AB的長度；l2為BD的長度；l3為曲柄長度。機構的附圖標記定義如下：1為足1；3為足3；2為曲柄AF；4為曲柄HC。

圖1 空間RCRC四桿步行機構

1.2 自由度分析

根據RCRC的機構簡，機構可認為是兩支鏈的并聯(lián)機構。其中下平臺為桿ABD，上平臺為桿EGH，曲柄AF和HC為支鏈。這樣可通過螺旋理論分析該并聯(lián)機構的自由度。機構自由度的計算修正公式[10]為

式中：d為機構的階數；n為連桿數目；g為運動副數目；fi為第i個運動副的自由度；ν為虛約束；ξ為冗余約束。

首先根據如圖1（c）所示的機構簡圖，建立運動副的螺旋系。運動服螺旋定義如下：轉動副R1的螺旋為$1；圓柱副C1的螺旋用一個移動螺旋$1和一個轉動螺旋$3表示；轉動副R2的螺旋為$4；圓柱副C2的螺旋同樣用一個移動螺旋$5和一個轉動螺旋$6表示。θ1和θ2分別為曲柄AF和HC從水平位置轉過的角度。如圖1（b）建立直角坐標系o-xyz，坐標系原點與B重合，ox軸沿著BD方向，oy軸沿著BA方向，oz垂直于ABD所在的平面。根據幾何關系，運動副螺旋$i（i=1，2，… 6）矩陣可表示為：

根據機構位置的不同，自由度分為以下兩種情況：

1）當θ1=θ2∈（-90°，90°）∪（90°，270°）時，螺旋矩陣具有一個反螺旋為

由反螺旋可得到，機構繞z軸的轉動自由度被限制。進一步因為只存在一個反螺旋，故運動副螺旋矩陣的秩為5，則RCRC兩足步行機構有1個公共約束，即λ=1。機構的階數d=6-λ=5。根據自由度計算公式（1），可得到

通過上述的自由度分析，當機構的桿3處于桿ABD正上方時或者桿ABD處于桿3的正上方的時候，機構處于奇異位置具有兩個自由度，此時需要兩個電動機控制機構；在其它位置時，機構只需要一個電動機去驅動。

二是具有自動控制功能。在電氣自動控制系統(tǒng)中，自動控制技術是必不可少的。當整個運轉平臺有故障發(fā)生時，系統(tǒng)不僅要檢測出并警報故障，還要對故障進行緊急應對，以保證全套自動系統(tǒng)及設備的安全。因此，自動控制功能不但能夠有效保障設備和人員的安全，還能夠提高生產效率。

2 運動學分析

如圖1（b）所示，當桿ABD與地面接觸，曲柄AF和EH轉過θ1和θ2，通過正運動分析，求解上平臺各個點在o-xyz坐標系中的位置ri，i為A、B、C、D、E、F，G和H。根據下平臺桿ABD中的幾何關系得到，點A、B和D的位置如下：

注意到曲柄旋轉過程中，上平臺相對下平臺始終發(fā)生平動運動，則θ1和θ2必須滿足

根據等式（14），可分為2種情況進一步分別討論。

第一種情況：θ1=θ2，即2個電動機同速同向轉動。點G、E、F和H的位置可重寫為：

每個足的短的一端上安裝有電動機，長的一端設有配重塊，使得兩端的質量相同。設足的整體質量為2m，則每段質量為m。則足1和足3的質心可表示為：

第二種情況：π-θ1=θ2，即2個電動機同速異向轉動。點G、E、F和H的位置可重寫為：

為了驗證運動學分析結果，使用表1中的機構參數，根據式（17）和式（19）編寫Matlab程序，得到機構在半個周期的質心在地面的投影曲線。圖2（a）所示為當2個電動機同向同速轉動時質心軌跡曲線，且θ1=θ2∈［0，180°］。圖2（b）為當2個電動機異向同速轉動時的質心軌跡曲線，且θ1∈［0，180°］，θ2=π-θ1。圖中三角形區(qū)域為足1的支撐區(qū)域。

表1 機構參數

圖2 電動機轉動對應的機構質心

3 步行運動及穩(wěn)定性分析

3.1 步態(tài)規(guī)劃

本節(jié)對機構的運動步態(tài)進行規(guī)劃，如圖1中的附圖標記，1）初始時刻（θ1=θ2=0°），兩足同時著地；2）電動機轉動90°，足1支撐，足3抬至最高位置，此時機器人到達奇異位置；3）電動機轉動180°，足3返回地面，兩足支撐；4）電動機轉動270°，足3支撐，足1抬至最高位置，機器人到達另第二個奇異位置；5）電動機轉動360°，足1返回地面，機器人回到與初始位置相同的狀態(tài)，完成一個步行周期。電動機持續(xù)以相同的轉速和方向周轉，則兩個足交替落地與抬起，機器人沿著虛線箭頭方向運動。2個電動機也可以反向轉動，則機器人實現(xiàn)上述運動的反向運動。

3.2 穩(wěn)定性分析

1）靜態(tài)穩(wěn)定性分析。

參照圖3，以足1在地面上為例，其支撐區(qū)域為由點A、B和D構成的三角形。根據步態(tài)分析的描述，當θ1在［0，180°］區(qū)間時，足1支撐，要滿足步行運動的靜穩(wěn)性，則質心的投影必須在三角形ABD之內。令Q為質心的投影點，則步行靜態(tài)穩(wěn)定條件可表示為：

圖3 支撐區(qū)域

根據式（23），我們得到步行機器人滿足靜穩(wěn)性的結構參數設計條件。例如當機器人足的大小確定后（即l1和l2確定），則曲柄長度l3可根據不等式（23）選擇。參照表1的機構參數，將l1=105 mm和l2=190 mm代入式（23），得到l3≤52.5 mm。表1中的機構參數滿足靜態(tài)穩(wěn)定性的要求。

2）動態(tài)穩(wěn)定性分析。

步行機器人的動態(tài)穩(wěn)定性通過機器人的零力矩點（ZMP）是否落在支撐范圍之內來判定[11]。當機器人ZMP在其支撐區(qū)域之內，滿足動態(tài)穩(wěn)定性；反之，ZMP在支撐區(qū)域之外，則機器人失去穩(wěn)定性，將發(fā)生傾翻。ZMP可根據伍氏提出的計算通用公式[12]計算：

式中：n為步行機器人構件數目；mi為構件i的質心；x¨i、y¨i、z¨i為桿i在x、y、z方向的加速度；xi、yi、zi為桿i的質心；g為重力加速度。

下面以機構的前半周期為例分析其步行穩(wěn)定性，當θ1∈［0° 180°］，足1支撐在地面。令δ為ZMP點與D的連線和線段BD的夾角，若要使得ZMP點在足1的支撐區(qū)域之內，需滿足：

將式（15）和式（17）分別代入式（24）得到ZMP為：

我們主要考慮2個電動機在勻速轉動的情況下，電動機角速度ω對ZMP的影響。使用表1的結構參數，圖5給出了3組不同角速度下的ZMP變化曲線。如圖4（a）所示，當ω=π，ZMP始終在三角形ABD支撐區(qū)域。如圖4（b）所示，當ω≈5.8π時，xzmp=0，ZMP到達支撐區(qū)域的左邊界AB。如圖4（c）所示，當ω≈8.9π時，δ=28.9°，ZMP到達支撐區(qū)域的上邊界AD。綜上，電動機轉速ω＜5.8π，則ZMP始終在三角形ABD之內；ω∈（5.8π，8.9π），機器人的在邊界AB失去動態(tài)穩(wěn)定性，將向AB的左側傾翻；ω＞8.9π，機器人將在邊界AD和AB均失去動態(tài)穩(wěn)定性。為了進一步得到機構在失去動態(tài)穩(wěn)定性的位置，設定ω∈{π，5.8π，8.9π}，圖4（d）給出了δ隨θ1的變化曲線，當ω=5.9π，θ1≈62.5°，ZMP點到達上邊界AD。圖4（e）給出了xzmp隨θ1的變化曲線，當ω=8.9π，θ1≈161.5°，ZMP點到達左邊界AB。

圖4 ZMP隨電動機速度的變化曲線

4 結論

基于空間RCRC四桿機構，提出了一種兩足步行機器人的設計。根據螺旋理論，對機器人自由度進行分析。并對機器人正運動學進行分析，討論了機器人保持靜穩(wěn)性的參數設計條件。在運動學分析基礎之上，對機器人進行了步態(tài)分析。然后，根據ZMP原理，最后對機器人動態(tài)穩(wěn)定性進行分析，得到了電動機角速度對機器人穩(wěn)定性的影響。在后續(xù)研究中，我們將對機器人參數和電動機轉矩進行優(yōu)化設計。