專注一題 通曉一類*

俞杏明 (江蘇省興化中學(xué) 225700)

石志群 (江蘇省泰州教育局 225300)

經(jīng)典試題反復(fù)研磨，不僅對(duì)試題認(rèn)識(shí)越來(lái)越透徹，而且能歸結(jié)出這一類問(wèn)題的解決之道．同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)試題解答者到試題編制者的角色轉(zhuǎn)換．

1 經(jīng)典試題永恒零點(diǎn)

例1(2013·江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù)．

(1)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范圍；

(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

圖1

2 微處著手查找關(guān)系

3 整體入眼知識(shí)遷移

由于參數(shù)a的不確定性，因此只能運(yùn)用極限擬合思想生成函數(shù)f(x)的圖象．筆者驚奇地發(fā)現(xiàn)，函數(shù)(*)的圖象極值點(diǎn)左偏(圖1)．

下面要尋求函數(shù)f(x)右零點(diǎn)x2所在區(qū)間，可以先尋求x1+x2的一個(gè)上界，也就是尋求與函數(shù)f(x)共零點(diǎn)且極值點(diǎn)右偏的函數(shù)，因此需扭轉(zhuǎn)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)偏移方向[2]．

下面接例1未完的解答繼續(xù)作答．

4 內(nèi)部透視局部放縮

圖2

注意到圖2中，y=ax與y=lnx的圖象在y軸右側(cè)較遠(yuǎn)處存在空隙，且隨著x的值增大，空隙變大.因此筆者考慮構(gòu)造中間函數(shù)y=mxn(m>0,0

圖3

5 感悟提煉實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)

細(xì)細(xì)琢磨，極值點(diǎn)偏移法長(zhǎng)于整體思考，中間函數(shù)法適合局部放縮，變換主元法精于微觀探查．三種手段能夠使含參函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間得到全方位查找．

例2(2017·課標(biāo)I)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

解(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增．

下面探尋f(x)在(-lna,+∞)上右零點(diǎn)x2所在的區(qū)間(圖4)．

圖4

方法1 將f(x)整理為f(x)=a(e2x+ex)-2ex-x．把x看成常數(shù)，則a在(0,1)上取越來(lái)越小的值時(shí)，f(x)越來(lái)越小．這表明a在(0,1)上變小時(shí)，y=f(x)圖象上每一點(diǎn)均下移，因此x2變大，零點(diǎn)x2為關(guān)于a的單調(diào)遞減函數(shù)．

接例2未完的解答繼續(xù)作答．

接例2未完的解答繼續(xù)作答．

方法3 把f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(a∈(0,1))整理為f(x)=a(e2x+ex)-(2ex+x)，拆分出兩個(gè)函數(shù)y=a(e2x+ex)(a∈(0,1))與y=2ex+x,但這兩個(gè)函數(shù)均為下凸函數(shù)，中間過(guò)渡函數(shù)難以尋求．令ex=t，則f(x)整理為g(t)=a(t2+t)-(2t+lnt)=at2+(a-2)t- lnt．把g(t)拆分為y=at2+(a-2)t(a∈(0,1))與y=lnt，顯然這兩個(gè)函數(shù)分別為下凸函數(shù)與上凸函數(shù)．

下面通過(guò)中間函數(shù)y=t證明g(t)存在右零點(diǎn)．

6 逆向應(yīng)用編制試題

上述方法手段逆向應(yīng)用，能夠多渠道生成這類試題．如構(gòu)造上凸函數(shù)y=a(2x+lnx)(a∈(1,+∞))與下凸函數(shù)y=x2+x，組合出f(x)=a(2x+lnx)-x2-x，再把f(x)表達(dá)式中的字母重新排序，隱藏編制的痕跡，從而有下面這一試題：

例3已知f(x)=alnx-x2+(2a-1)x，當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí),證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．

還可以進(jìn)一步隱藏編制的痕跡，在例3中把x換成ex，從而有下面的試題：已知f(x)=ax-e2x+(2a-1)ex，當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí)，證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．