基于廣義Winkler彈性地基梁理論的梯形渠道凍脹力學(xué)模型

龔嘉瑋，王正中，2，江浩源，梁 爽，鄭艾磊，陸立國(guó)

（1.西北農(nóng)林科技大學(xué)旱區(qū)寒區(qū)水工程安全研究中心/旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 楊凌 712100；2.中國(guó)科學(xué)院西北生態(tài)環(huán)境資源研究院凍土工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730000；3.寧夏回族自治區(qū)水利科學(xué)研究院，寧夏 銀川 750021）

0 引言

渠道作為輸水系統(tǒng)的重要組成，在我國(guó)灌區(qū)建設(shè)和調(diào)水工程中發(fā)揮著重要的作用。而修建于寒區(qū)的襯砌渠道由于抗拉強(qiáng)度較低、適應(yīng)凍脹變形能力較差，時(shí)常發(fā)生開裂、錯(cuò)動(dòng)、鼓脹、脫空乃至整體滑塌等凍害現(xiàn)象，導(dǎo)致其滲漏損失嚴(yán)重，工程運(yùn)行維護(hù)成本高，進(jìn)而威脅水資源的高效利用和輸水工程效益的發(fā)揮［1-2］。

針對(duì)寒區(qū)渠道的防凍脹設(shè)計(jì)，現(xiàn)行規(guī)范中僅給出了根據(jù)渠道規(guī)模和土體凍脹級(jí)別來(lái)進(jìn)行渠道結(jié)構(gòu)的選型以及確定襯砌結(jié)構(gòu)的允許凍脹位移，然而最為關(guān)鍵的寒區(qū)渠道凍脹破壞計(jì)算方法并未給出，無(wú)法量化確定渠道斷面尺寸?，F(xiàn)階段渠道斷面設(shè)計(jì)仍以經(jīng)驗(yàn)為主，這是寒區(qū)渠道發(fā)生凍脹破壞的原因之一。因此，結(jié)合渠道的凍脹破壞特征，建立渠道凍脹破壞計(jì)算方法是進(jìn)行渠道防凍脹設(shè)計(jì)和安全校核的重要手段。現(xiàn)階段，基于凍土水-熱-力耦合理論建立的渠道凍脹數(shù)值模型應(yīng)用較多［3-7］，計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，但由于其復(fù)雜的理論方程、邊界條件和繁瑣的分析過(guò)程而不利于設(shè)計(jì)人員應(yīng)用。因此工程中仍需要更加簡(jiǎn)捷、實(shí)用且便于推廣應(yīng)用的方法。在此基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)化而來(lái)的工程力學(xué)模型，物理意義明確，計(jì)算精度基本滿足工程要求，簡(jiǎn)單實(shí)用。王正中等［8-9］簡(jiǎn)化襯砌板為承受凍土的法向凍脹力、切向凍結(jié)力及襯砌板間相互約束的簡(jiǎn)支梁，首次提出并建立了梯形及弧底梯形渠道的凍脹力學(xué)模型，為渠道抗凍脹設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。余書超等［10］研究了剛性襯砌板與凍土的相互約束關(guān)系，提出剛性渠道襯砌板的內(nèi)力計(jì)算方法。宋玲等［11］利用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法提出了一種凍脹力計(jì)算方法。申向東等［12］基于工程力學(xué)，首次提出并建立了預(yù)制板襯砌梯形渠道凍脹破壞力學(xué)模型。但上述工程力學(xué)模型僅能反映渠道凍脹的靜力平衡關(guān)系，且均未考慮凍土與襯砌板的變形協(xié)調(diào)及相互作用，而Winkler彈性地基梁理論可彌補(bǔ)其缺點(diǎn)。

Winkler彈性地基梁模型將基礎(chǔ)簡(jiǎn)化為離散的線性彈簧，已成為計(jì)算地基與結(jié)構(gòu)間相互作用的基本力學(xué)模型。如Franza等［13］基于Winkler的兩階段分析方法對(duì)隧道-樁-結(jié)構(gòu)相互作用進(jìn)行了彈性研究。隨后，Winkler彈性地基梁被廣泛應(yīng)用于以凍土為基礎(chǔ)的寒區(qū)工程中。Rajani等［14］開發(fā)了Winkler數(shù)值模型用于評(píng)估輸油管道對(duì)基土凍脹的響應(yīng)。Selvadural等［15］基于Winkler理論分析了土壤中與地下管線之間的撓曲相互作用。肖旻等［16］結(jié)合木下誠(chéng)一法，首次以Winkler彈性地基梁理論為基礎(chǔ)，建立了梯形渠道凍脹破壞模型。李宗利等［17］將渠基土等效為一組相互獨(dú)立的彈簧，從基礎(chǔ)沉降角度建立了梯形渠道凍脹破壞彈性地基梁模型。由此可見，傳統(tǒng)彈性地基梁模型已被改進(jìn)并適用于地基凍脹問(wèn)題，反映凍土-結(jié)構(gòu)間的相互作用與變形協(xié)調(diào)。但已有渠道凍脹彈性地基模型的研究未考慮渠道襯砌凍脹破壞的極限承載力以及凍脹過(guò)程中坡腳上抬位移對(duì)實(shí)際凍脹力的影響，凍脹力及襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算值過(guò)大。

綜上所述，渠道凍脹工程力學(xué)模型中法向凍脹力的線性分布規(guī)律是在假定條件下建立的，未考慮凍土與襯砌板的變形協(xié)調(diào)及相互作用，從而造成較大的計(jì)算誤差，與實(shí)際情況有所不符。同時(shí)，對(duì)于以往的渠道凍脹彈性地基模型而言，其將凍土地基簡(jiǎn)化為一個(gè)個(gè)獨(dú)立的法向彈簧，忽略了渠基土的連續(xù)性且未考慮渠道襯砌板凍脹破壞的極限應(yīng)力狀態(tài)以及凍脹過(guò)程中坡腳上抬位移對(duì)實(shí)際凍脹力的削減，忽略了襯砌板塑性破壞所導(dǎo)致的內(nèi)力釋放，繼而引起計(jì)算結(jié)果偏大，不符合工程實(shí)際；此外，傳統(tǒng)方法的計(jì)算求解過(guò)程較為復(fù)雜，不便于工程設(shè)計(jì)人員使用，難以在實(shí)際工程推廣應(yīng)用。針對(duì)上述問(wèn)題，本文以廣義Winkler地基梁理論為基礎(chǔ)，考慮凍土與襯砌板的相互作用機(jī)理及凍土地基的連續(xù)性，建立渠道襯砌板凍脹撓曲線方程；結(jié)合有限差分法推導(dǎo)渠道襯砌板凍脹撓曲線差分方程，進(jìn)而建立現(xiàn)澆梯形渠道襯砌凍脹力學(xué)模型。探究襯砌板在應(yīng)力極限狀態(tài)下渠道凍脹彈性地基模型與工程力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果上的差異，揭示渠道襯砌法向凍脹力分布規(guī)律，為寒區(qū)襯砌渠道的抗凍脹設(shè)計(jì)提供科學(xué)依據(jù)與方法。

1 渠道襯砌凍脹彈性地基梁模型的構(gòu)建

渠道襯砌與渠基凍土間存在相互作用，其作用過(guò)程可采用彈性地基梁模型進(jìn)行概化。由文獻(xiàn)［16-17］可知，相關(guān)學(xué)者基于Winkler彈性地基理論，考慮凍土與襯砌之間的相互作用，建立了梯形襯砌渠道凍脹破力學(xué)模型，并結(jié)合工程實(shí)踐和試驗(yàn)驗(yàn)證了彈性地基模型的有效性。本文為便于工程計(jì)算，在其基礎(chǔ)上考慮切向凍結(jié)力及坡腳凍脹位移的影響并加以改進(jìn)，研究襯砌板在發(fā)生凍脹破壞的極限平衡狀態(tài)下的應(yīng)力、位移。

當(dāng)渠道襯砌板與凍土相互作用產(chǎn)生變形時(shí)，會(huì)使襯砌板所承受的凍脹力得到釋放，得到實(shí)際凍脹力p（x）。如圖1所示，為方便計(jì)算，將其凍脹力結(jié)果視為渠道襯砌未變形時(shí)所承受的初始荷載q（x）與凍脹變形所釋放的荷載qz（x）的疊加。而以往工程力學(xué)模型假設(shè)渠道襯砌板的法向凍脹力沿板長(zhǎng)線性分布（虛線荷載所示），未考慮渠道襯砌與凍土間存在相互作用，其結(jié)果p（x）等于線性分布的初始荷載q（x），忽略了襯砌變形所釋放的荷載。

圖1 凍土與襯砌相互作用示意圖Fig.1 Schematic diagram of interaction between frozen soil and lining

同時(shí)，普通的Winkler地基梁模型不能考慮凍土地基連續(xù)性，忽略了地基土中的剪應(yīng)力，認(rèn)為地基變形不影響相鄰地基上部襯砌結(jié)構(gòu)受力［圖2（a）］。為彌補(bǔ)其不足，本文考慮基礎(chǔ)底面的尺寸效應(yīng)及相鄰地基對(duì)基床剛度和接觸壓力分布特性的影響，采用廣義Winkler地基梁模型［18］反映結(jié)構(gòu)與地基及相鄰地基間的實(shí)際相互作用，如［圖2（b）］。即將渠基凍土視為廣義Winkler地基，渠道襯砌視為放置在廣義Winkler地基上的連續(xù)梁。

圖2 Winkler地基梁與廣義Winkler地基梁模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of Winkler foundation beam and generalized Winkler foundation beam models

1.1 基本假設(shè)

渠道凍脹因各地土體物理特性、水分遷移和相變等復(fù)雜因素的不同而存在顯著差異［19］。對(duì)于某指定區(qū)域的渠道而言，該區(qū)域的氣象條件、土壤力學(xué)性質(zhì)等影響因素基本相同。地下水淺埋時(shí)，其水分補(bǔ)給強(qiáng)度是決定渠道計(jì)算截面點(diǎn)凍脹率的主要因素；地下水深埋時(shí)，土壤凍前平均含水量是決定渠道計(jì)算截面點(diǎn)凍脹率的主要因素。結(jié)合上述分析及已有研究成果［8-10］，通過(guò)合理假設(shè)，對(duì)渠道凍脹進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，以建立簡(jiǎn)單實(shí)用、符合渠道受力特點(diǎn)的力學(xué)模型?；炯s定和假設(shè)如下：

①因冬季漫長(zhǎng)，渠基土凍結(jié)速率緩慢，可將土體凍結(jié)過(guò)程視為準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。渠道襯砌在承受荷載的過(guò)程中始終處于平衡狀態(tài)，當(dāng)發(fā)生凍脹破壞時(shí)則處于極限平衡狀態(tài)。

②混凝土襯砌屬各向同性Euler-Berniulli梁范疇，其變形滿足平面應(yīng)變假定；視其為線彈性體，滿足小變形假設(shè)，且忽略襯砌重力影響。

③將渠基凍土等效為廣義Winkler彈性地基，考慮渠基凍土間的連續(xù)性，反映土體與襯砌結(jié)構(gòu)間的相互作用。

④坡板與底板連接處多為寬軟縱縫填充，視二者連接方式為鉸接，邊坡襯砌板頂部視為自由邊界。

⑤坡板：凍土與襯砌板間的切向凍結(jié)力沿坡板線性分布，坡板頂部切向凍結(jié)力為0，坡腳處最大［8］。底板：根據(jù)層狀彈性體系力學(xué)和以往研究［20］，渠道底板的切向凍結(jié)力以x0為分界點(diǎn)線性分布，x0=其中F′Bx、F′Cx為底板坡腳水平約束力，l2為底板長(zhǎng)度，其分布如圖3所示。

圖3 切向凍結(jié)力示意圖Fig.3 Schematic diagram of tangential freezing force（l1 is length of the canal slope；l2 is length of the bottom plate；τB is freezing force strength value at point B of the slope plate；τC is freezing force strength value at point C of the slope plate；τ′B is freezing force strength value at point B of the bottom plate；τ′C is freezing force strength value at point C of the bottom plate）

⑥與渠道襯砌板的長(zhǎng)度相比，襯砌板的厚度很小，故忽略切向力凍結(jié)力的彎矩及其影響。

1.2 襯砌板法向凍脹力計(jì)算

將渠基凍土等效為廣義Winkler彈性地基，即襯砌結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的凍脹力大小僅由各點(diǎn)對(duì)應(yīng)處的凍土特性和凍脹強(qiáng)度決定。研究結(jié)果表明［21-23］，當(dāng)?shù)叵滤宦裆钶^淺時(shí)，土體凍脹強(qiáng)度與地下水遷移和補(bǔ)給強(qiáng)度密切相關(guān)。凍土的凍脹率與地下水位埋深呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

式中：η為凍脹率；Hw為計(jì)算點(diǎn)至地下水位的距離（m）；α1、β1為與當(dāng)?shù)貧夂颉⑼寥罈l件相關(guān)的系數(shù)，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲得。

在地下水深埋且因渠道滲漏而導(dǎo)致渠道凍脹破壞的封閉情況下，凍土自由凍脹強(qiáng)度主要取決于凍深范圍內(nèi)土壤在凍前的平均含水量，并與之呈線性關(guān)系。

式中：θ為凍深范圍內(nèi)土層在凍結(jié)前（日平均氣溫穩(wěn)定高于0℃前或后5天內(nèi)）的平均含水量；θp為土壤塑限含水量；α2、β2為與當(dāng)?shù)貧夂颉⑼寥罈l件相關(guān)的系數(shù)。

上述凍脹率計(jì)算公式基于我國(guó)新疆、甘肅、陜西等北方省區(qū)的大型現(xiàn)場(chǎng)凍脹試驗(yàn)［21］分析所得，已綜合考慮了土質(zhì)、氣候、土壤水分含量及水分遷移等因素的影響，從而使一系列影響因素轉(zhuǎn)化為凍脹率的綜合指標(biāo)。故只要根據(jù)渠道的初始條件（地下水位或者凍前含水量），再結(jié)合渠道幾何要素、凍結(jié)深度及土壤相關(guān)系數(shù)，便可求得渠道的凍脹率。

由此可得各點(diǎn)的自由凍脹量，為

式中：w0（x）為渠基凍土計(jì)算點(diǎn)的自由凍脹量（m）；x為渠基凍土計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)位置（m）；H為渠道的凍結(jié)深度（m）。溫度會(huì)對(duì)渠道凍結(jié)深度產(chǎn)生影響，故凍結(jié)深度是與溫度相關(guān)的函數(shù)（H∝T），溫度邊界條件轉(zhuǎn)化為凍結(jié)深度，其具體計(jì)算可參考文獻(xiàn)［24-25］。

將渠基凍土的自由凍脹量被襯砌完全約束，處于尚未變形狀態(tài)，此時(shí)渠道襯砌所承受的凍脹力視為初始凍脹力q（x），方向向上，即

式中：k為凍土地基基床系數(shù)（kPa·m-1）［26］。其值可查閱《凍土地區(qū)建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》［27］中的圖C.1.2-1、C.1.2-2，得到渠道坡板坡腳受到的初始凍脹力q（x）。通過(guò)式（4）反算，可得到渠道襯砌法向地基系數(shù)k。

由于襯砌發(fā)生凍脹變形，導(dǎo)致其對(duì)渠基凍土的約束程度減小，此為與凍脹變形成比例的附加荷載項(xiàng)qz（x），方向向下，可反映襯砌與凍土間變形而導(dǎo)致的凍脹力荷載的釋放；其與初始凍脹力q（x）的差值即為襯砌板受到的實(shí)際法向凍脹力p（x），即

綜合上述分析，渠道襯砌板的計(jì)算如圖4所示。初始凍脹力q（x）的分布取決于各點(diǎn)的凍脹強(qiáng)度及凍深，其大小及分布可由式（4）求得。由于底板各點(diǎn)至地下水位距離相等或凍前含水量相同，其凍脹強(qiáng)度和凍結(jié)深度沿板長(zhǎng)不變，作用在渠道底板上的初始凍脹力q（x）為均布荷載；坡板因各點(diǎn)至地下水位距離不等或凍前含水量不同，其凍脹強(qiáng)度和凍結(jié)深度隨板長(zhǎng)變化，分布呈非線性。凍土與襯砌板變形協(xié)調(diào)所產(chǎn)生的附加荷載qz（x）的分布無(wú)法確定，需結(jié)合模型最終所得襯砌板變形量w（x）和式（10）計(jì)算給出。因此，襯砌板受到的實(shí)際法向凍脹力p（x）的分布不能率先確定，是考慮變形協(xié)調(diào)計(jì)算的結(jié)果，從而彌補(bǔ)工程力學(xué)模型率先假定法向凍脹力線性分布與實(shí)際有所不符的缺點(diǎn)。

圖4 梯形渠道凍脹力示意圖Fig.4 Schematic diagram of frost heaving force in trapezoidal canal（Ends B and C are toes of the slope，end A is top of the slope；m0 is slope coefficient）

如圖4所示，坡板在約束力FBy、FBx，荷載qz（x）、q（x）及切向凍結(jié)力τ（x）共同作用下保持平衡；底板在約束力F′Bx、F′Cx、F′By、F′Cy，荷載qz（x）、q（x）及切向凍結(jié)力τ′（x）共同作用下保持平衡。

對(duì)B點(diǎn)進(jìn)行受力分析，得

由坡板和底板切向和法向平衡可知

則軸力計(jì)算公式為

式中：NB（x）為渠道坡板軸力（kN）；N′B（x）為渠道底板軸力（kN）。軸力以壓力為正，拉力為負(fù)。

1.3 襯砌凍脹變形的撓曲線微分方程

廣義Winkler地基梁模型的特征函數(shù)方程為式中：k為地基基床系數(shù)；w（x）為地基梁上坐標(biāo)x處的豎向位移；ξ=x/l，l為地基梁的半長(zhǎng)；α、β為地基無(wú)量綱參數(shù)，可描述地基梁以外的土體對(duì)地基剛度以及地基梁接觸壓力的影響，其值與土體性質(zhì)相關(guān)。其中，α通常取10［28］；凍土屬于堅(jiān)硬土質(zhì)，β取值為1.0。

廣義Winkle彈性地基梁模型既保留了Winkler地基梁模型的形式簡(jiǎn)單、易于運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)，又可通過(guò)修改α和β的取值，模擬不同的地基模型（表1），使模型適用于不同的地質(zhì)條件，因此廣義Winkler地基梁模型較Winkler模型更具有普遍性與實(shí)用性。

表1 廣義Winkler梁模型與其他模型的關(guān)系Table 1 Relationship between generalized Winkler beam model and other models

凍土凍脹作用下的渠道襯砌板法向位移微分方程為

式中：EI為渠道襯砌板的抗彎剛度。

2 力學(xué)模型求解

2.1 微分方程求解

由彈性地基梁理論［29-30］和《地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)明手冊(cè)》［31］可知，一般采用初參數(shù)法求解撓曲線微分方程，但三參數(shù)模型存在ξ=x/l，其變量隨坐標(biāo)位置變化。此時(shí)方程為四階變系數(shù)微分方程，使用初參數(shù)法計(jì)算比較復(fù)雜，較難求解。因此本文利用有限差分法求解此四階變系數(shù)撓曲線微分方程，將方程變換為矩陣形式，其形式簡(jiǎn)單明了，方便使用計(jì)算機(jī)編程求解。有限差分法將渠道襯砌板平均離散成梁?jiǎn)卧總€(gè)梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度為m，wi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處的法向位移；在梁兩端再各加虛擬單元，用于求解差分格式的虛擬節(jié)點(diǎn)值，離散示意圖如圖5所示。

圖5 渠道襯砌板差分離散示意圖Fig.5 Schematic diagram of difference discrete of canal lining plate

由有限差分法可知，差分法通過(guò)有限差分替換微分，有限差商替換導(dǎo)數(shù)，最終將微分方程近似地轉(zhuǎn)化為差分方程來(lái)計(jì)算。因此，本文力學(xué)模型計(jì)算需要的差分格式［18，32］為

令ki′=kψ=k[1+βe-α(1-ξi)]，假設(shè)梁?jiǎn)卧鞑糠值姆戳Χ甲饔糜诠?jié)點(diǎn)i，則節(jié)點(diǎn)i處的附加荷載qzi為

式中：wi為第i節(jié)點(diǎn)處渠道的凍脹位移量。

將式（13）表示為矩陣形式，則附加荷載qzi的表達(dá)式為

式中：［Ks］為廣義Winkler地基剛度矩陣，為n+1階對(duì)角矩陣。

結(jié)合式（14），［Ks］可表示為

將式（12a）代入式（11），等式兩邊同時(shí)乘以m，可得控制方程的有限差分格式為

此外，還需對(duì)渠道的邊界條件進(jìn)行分析：

（1）坡板

將坡板離散為n+1段，視坡腳為虛擬單元i=n+1，以便坡板變形剛度的建立。邊坡襯砌板頂部視為自由邊界，即坡板頂端剪力Q0=0，彎矩M0=0；坡板與底板連接方式為鉸接，坡腳處上抬位移為h1（實(shí)際坡腳處是一種不完全約束，在凍脹力的作用下，必然也會(huì)產(chǎn)生變形），參考《渠系工程抗凍脹設(shè)計(jì)規(guī)范》［33］坡腳處的上抬位移可按下式計(jì)算。

式中：w0為坡腳處的自由凍脹量（m）；Zf為渠道凍深（m）；Zd為渠系工程設(shè)計(jì)凍深（m）。

綜上，坡腳法向凍脹位移wn+1=h1，Mn+1=0。將差分格式與梁撓度、彎矩及剪力關(guān)系式結(jié)合，可得

（2）底板

將底板離散為n+2段，視兩端坡腳分別為虛擬單元i=-1、i=n+1，以便底板變形剛度的建立。假定坡板與底板連接方式為鉸接且坡腳處凍脹量為h2［同坡板，采用式（17）計(jì)算］，即渠道底板兩端彎矩Mi=-1，n+1=0，法向凍脹位移wi=-1，n+1=0。結(jié)合材料力學(xué)中梁撓度與彎矩的關(guān)系式，可得

分別將式（18）、（19）代入控制方程式（16），可得

將上式寫成矩陣形式并進(jìn)行整理可得梯形渠道凍脹位移矩陣方程為

對(duì)式（22）、（23）進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到渠道邊坡和渠底襯砌板變形剛度矩陣［Kd］分別為

令渠道邊坡和渠底襯砌板荷載｛Qd｝分別為

則式（22）、（23）可歸一為以下矩陣方程。

式中：［Kd］為渠道襯砌板變形剛度矩陣；［Ks］為廣義Winkler模型地基剛度矩陣；｛w｝為渠道實(shí)際法向凍脹值；｛Qd｝為渠道各計(jì)算節(jié)點(diǎn)荷載向量。

為方便求解，對(duì)式（28）進(jìn)一步簡(jiǎn)化，使［K］=［Kd］+［Ks］，可得渠道襯砌板法向凍脹位移矩陣為

式中：［K］為渠道襯砌凍脹變形的總剛度矩陣。

將凍脹位移｛w｝代入式（14），可得附加荷載向量｛qz｝。進(jìn)一步將qz代入式（5），可得凍脹力向量｛p｝，即凍脹力分布可知。

2.2 渠道襯砌截面彎矩及剪力求解

在渠道襯砌板凍脹變形、產(chǎn)生法向位移的基礎(chǔ)上，結(jié)合材料力學(xué)與差分格式，即可求得渠道襯砌板的截面彎矩、剪力分布。

2.3 渠道襯砌板凍脹破壞失效準(zhǔn)則

寒區(qū)渠道襯砌結(jié)構(gòu)常發(fā)生裂縫、斷裂、鼓脹等凍脹破壞，可從渠道襯砌結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和變形兩方面來(lái)對(duì)其凍脹破壞進(jìn)行判定：

（1）混凝土材料抗拉強(qiáng)度低，輕微的凍脹變形即會(huì)使其局部彎矩過(guò)大，產(chǎn)生較大的拉應(yīng)力值，當(dāng)其值大于抗拉強(qiáng)度時(shí)便產(chǎn)生裂縫等破壞。襯砌結(jié)構(gòu)的截面拉應(yīng)力計(jì)算公式及其凍脹破壞準(zhǔn)則為

式中：［σ］為混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

（2）渠道襯砌結(jié)構(gòu)發(fā)生較大凍脹變形后，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性降低。對(duì)于渠道襯砌結(jié)構(gòu)的抗凍脹穩(wěn)定性，以其允許法向位移值作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。即

式中：［Δh］為襯砌板法向位移最大允許值。

3 工程算例

3.1 工程概況

選取甘肅省靖會(huì)總干渠的混凝土梯形渠道［34］為例，采用渠道凍脹廣義Winkler彈性地基力學(xué)模型分析其凍脹變形。該渠道的基本尺寸如圖6所示，襯砌板厚為10 cm，渠道混凝土襯砌板彈性模量為21 GPa。渠道基土為粉質(zhì)壤土，其相關(guān)土壤參數(shù)為α2=0.6，β2=0.73，θp=17.7%，渠道地下水埋深大于4 m（在渠道地下水深埋且因渠道滲漏而導(dǎo)致渠道凍脹破壞的封閉情況下，渠基凍土凍脹量主要取決于凍深范圍內(nèi)土壤在凍前的平均含水量），設(shè)計(jì)凍深1.2 m。渠道水分條件、外部環(huán)境、日照時(shí)長(zhǎng)等方面差異，其各部位的凍結(jié)狀況如表2所示。

圖6 靖會(huì)總干渠梯形渠道的基本尺寸Fig.6 Basic dimensions of trapezoidal canals of Jinghui Main Canal

表2 靖會(huì)總干渠梯形渠道的基本情況Table 2 Basic information of trapezoidal canals of Jinghui Main Canal

3.2 力學(xué)模型計(jì)算步驟

（1）基床系數(shù)計(jì)算

由表2可知，原型渠道已給出凍結(jié)深度實(shí)測(cè)值，所以不必采用溫度邊界條件對(duì)渠道凍結(jié)深度進(jìn)行計(jì)算。結(jié)合原型凍深情況、土壤基本參數(shù)及其含水量情況，根據(jù)式（2）～（3）可得到渠基凍土的凍脹強(qiáng)度和自由凍脹量。根據(jù)《凍土地區(qū)建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》［27］，結(jié)合渠道凍結(jié)深度和凍脹強(qiáng)度分布，查閱圖C.1.2-1、C.1.2-2可得渠道坡板坡腳受到的初始荷載q（x）為83.8 kPa。結(jié)合式（4），反算得到渠道襯砌法向地基系數(shù)k為1 445 kPa·m-1。

（2）剛度矩陣建立

將渠道邊坡襯砌板平均離散成15段單元，每個(gè)梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度為0.3005 m；邊坡襯砌板平均離散成20段單元，每個(gè)梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度為0.1 m。α取10，β取值為0.58，并將其代入式（10），建立渠基剛度矩陣［Ks］。

隨著溫度的降低，基土凍結(jié)鋒面不斷向下發(fā)展，進(jìn)而引起凍脹力的增大。當(dāng)凍深發(fā)展到一定程度時(shí)，凍土的凍脹力將引起局部彎矩過(guò)大導(dǎo)致截面拉應(yīng)力超過(guò)混凝土襯砌板極限抗拉強(qiáng)度而破壞。通過(guò)迭代計(jì)算可知，當(dāng)渠道邊坡凍深發(fā)展至0.0850 m時(shí)，渠道邊坡襯砌板處于極限拉裂狀態(tài)；當(dāng)渠道底板的凍深發(fā)展至0.0680 m時(shí)，襯砌底板坡處于極限拉裂狀態(tài)。根據(jù)式（17），結(jié)合渠道凍深情況，可得坡腳處上抬位移h1=0.0037 m，h2=0.0027 m。

渠道坡板邊界條件為

渠道底板邊界條件為

將式（13）代入渠道襯砌板邊界條件，可得渠道邊坡板虛擬點(diǎn)法向位移為

渠道底板虛擬點(diǎn)法向位移為

對(duì)控制方程有限差分式（16）進(jìn)行整理，可得渠道襯砌板剛度矩陣［Kd］。

（3）凍脹位移求解

將地基剛度矩陣［Ks］與襯砌板剛度矩陣［Kd］代入式（28），通過(guò)簡(jiǎn)化，由式（29）可求得渠道襯砌板法向凍脹位移分布大小，如圖7所示。

（4）凍脹力、彎矩求解

將計(jì)算所得位移結(jié)果代入式（5）、（29），可得到渠道坡板和底板的凍脹力、彎矩和剪力。

（5）切向凍結(jié)力、軸力求解

將凍脹力p（x）代入式（8），可求得法向約束力FBy=FCy=3.82 kN，F(xiàn)′Cy=F′By=4.12 kN；再將求得結(jié)果代入式（6）可得切向約束力FBx=FCx=9.64 kN，F(xiàn)′Cx=F′Bx=9.52 kN；然后，將FBx、F′Cx與F′Bx代入式（7），結(jié)合切向凍結(jié)力分布可得邊坡和渠底襯砌板切向凍結(jié)力τB=τC=4.28 kPa，τ′B=τ′C=12.69 kPa；將上述結(jié)果代入式（9），可求得邊坡和渠底襯砌板的軸力分布。

3.3 計(jì)算結(jié)果與分析

（1）凍脹量分析

廣義Winkler地基模型不僅考慮了凍土介質(zhì)連續(xù)性及其與襯砌板間的相互作用，反映了襯砌結(jié)構(gòu)凍脹力的重分布，而且數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)單，便于采用編程計(jì)算。根據(jù)式（16）利用MATLAB對(duì)矩陣求解，可得渠道襯砌板各點(diǎn)的法向凍脹量。

渠道法向凍脹量沿邊坡和渠底的分布如圖7所示，在凍脹力的作用下，渠道襯砌板發(fā)生凍脹變形。渠道邊坡襯砌的板凍脹量在靠近坡腳1/3處達(dá)到最大值為0.55 cm，這是由于渠道坡板與底板在坡腳處相互擠壓限制了凍脹量的發(fā)展，所以坡板距渠底1/3處達(dá)到凍脹量最大值；底板兩端受渠坡襯砌板約束，在斷面中部達(dá)到最大值，為0.39 cm。綜上，本文結(jié)果與已有渠道工程凍脹變形規(guī)律基本一致［1，6］。

圖7 渠道襯砌凍脹量Fig.7 Amount of frost heaving of canal lining

（2）法向凍脹力分析

渠道混凝土襯砌板受到的法向凍脹力分布如圖8所示。

圖8 渠道襯砌凍脹力分布Fig.8 Distribution of frost heaving force of canal lining

由圖8可知，本文由于考慮了襯砌板與凍土的變形協(xié)調(diào)及相互作用，襯砌板變形后削減了其受到的法向凍脹力，其凍脹力呈非線性分布。結(jié)合圖7襯砌板凍脹量可知，坡腳受擠壓明顯，故在坡腳處和其相鄰區(qū)域出現(xiàn)較大的法向凍脹力。本文模型底板兩端最大法向凍脹力為5.12 kPa；底板中部因產(chǎn)生較大凍脹變形，應(yīng)力得到釋放，所以襯砌板所受凍脹力最小為3.11 kPa。邊坡坡腳法向凍脹力為4.82 kPa；渠道邊坡中上部因外翹拉動(dòng)凍土上移，但渠基凍土與混凝土襯砌板凍結(jié)在一起，導(dǎo)致渠道坡板中部受法向凍結(jié)力作用，其中最大法向凍結(jié)力為-0.54 kPa，位于距渠頂1/3處。

參考文獻(xiàn)［8］，采用工程力學(xué)模型對(duì)該算例進(jìn)行計(jì)算，得到其法向凍脹力分布沿板長(zhǎng)線性分布，邊坡坡頂處法向凍脹力值為0，坡腳處峰值為本文模型的61%；渠底沿坡板恒定不變，其值為本文模型峰值的64%，故工程力學(xué)模型底板法向凍脹力較小，計(jì)算結(jié)果偏于危險(xiǎn)。通過(guò)對(duì)比分析可知，本文模型由于考慮了襯砌板與凍土的變形協(xié)調(diào)及相互作用，在法向凍脹力分布形式呈非線性分布，且坡板坡腳凍脹力增大、跨中減小，底板凍脹力明顯增大。綜上，本文以廣義Winkler地基梁理論為基礎(chǔ)，考慮凍土與襯砌板的相互作用及凍土地基的連續(xù)性，揭示了凍脹位移引起襯砌板所受凍脹力的削減及重分布，探明了凍土與襯砌變形協(xié)調(diào)使法向凍脹力呈非線性分布的規(guī)律，彌補(bǔ)了工程力學(xué)模型的法向凍脹力沿板長(zhǎng)線性分布且僅能反映渠道凍脹的靜力平衡關(guān)系的缺陷。

（3）彎矩及切向凍結(jié)力分析

由圖9可知，本文模型渠底板最大彎矩為2.1 kN·m，發(fā)生在渠底中部位置；渠道邊坡襯砌板的彎矩最大值為1.8 kN·m，發(fā)生在距渠底1/4～1/3位置處，與以往研究結(jié)果1/3左右位置有所偏差，但總體分布規(guī)律基本一致。其原因是由于坡腳附近產(chǎn)生較大的法向凍脹力，使得彎矩值最大值所在截面向坡腳偏移。

圖9 渠道彎矩分布Fig.9 Distribution of bending moment of canal

襯砌板受到的切向凍結(jié)力分布如圖10所示，凍結(jié)力的方向以向右為正方向。本文模型的邊坡切向凍結(jié)力最大值為4.28 kPa，工程力學(xué)模型為3.4 kPa，本文模型結(jié)果較工程力學(xué)模型偏大。本文模型底板切向凍結(jié)力最大值為12.69 kPa，沿底板中心分界，而工程力學(xué)模型則忽略了底板的切向凍結(jié)力，故本文模型可彌補(bǔ)工程力學(xué)模型底板切向凍結(jié)力計(jì)算的不足。

圖10 襯砌板切向凍結(jié)力分布Fig.10 Distribution of tangential freezing force of lining plate

4 結(jié)論

本文為探究襯砌板極限狀態(tài)下彈性地基模型與工程力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果上的差異，揭示渠道襯砌法向凍脹力分布規(guī)律，修正以往工程力學(xué)模型凍脹力分布基于假設(shè)的缺陷，引入廣義Winkler彈性地基梁理論，構(gòu)建了渠道凍脹力學(xué)模型。獲得如下結(jié)論：

（1）結(jié)合渠道襯砌板受力情況導(dǎo)出凍脹變形的撓曲線微分方程并采用有限差分法求解，給出了襯砌渠道切向凍結(jié)力及法向凍脹力的計(jì)算方法，得到了襯砌結(jié)構(gòu)凍脹力分布規(guī)律。該模型數(shù)學(xué)形式簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)便快捷，力學(xué)概念清晰，便于工程師使用。

（2）以甘肅省靖會(huì)總干渠梯形渠道為原型進(jìn)行凍脹計(jì)算，并將法向凍脹力與工程力學(xué)模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明，本文模型由于考慮了襯砌結(jié)構(gòu)與凍土間的相互作用，襯砌板凍脹力并非呈線性分布，坡腳凍脹力增大、跨中減小，底板凍脹力較工程力學(xué)模型結(jié)果明顯偏大。

（3）本文以廣義Winkler地基梁理論為基礎(chǔ)，考慮凍脹位移引起襯砌板所受凍脹力的削減及重分布，探明了襯砌板所受法向凍脹力呈非線性分布。同時(shí)，本文考慮渠道襯砌凍脹破壞的極限承載力以及凍脹過(guò)程中坡腳上抬位移對(duì)實(shí)際凍脹力的削減和釋放效應(yīng)，避免了凍脹力及襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算值過(guò)大。

本文假設(shè)凍土與襯砌板間的切向凍結(jié)力沿坡板線性分布，計(jì)算簡(jiǎn)便，結(jié)果偏于安全，適用于工程設(shè)計(jì)，但切向凍結(jié)力的線性分布假設(shè)可能與實(shí)際情況有所不符，待進(jìn)一步研究。