解題教學(xué)中促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展之探索

郭立祥 (廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 528400)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析這六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指“在明晰運(yùn)算對(duì)象基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決實(shí)際問題的素養(yǎng)”[1]．關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算，有的教師認(rèn)為教學(xué)應(yīng)該側(cè)重介紹方法和思路，運(yùn)算是學(xué)生自己的事情．學(xué)生中也有一種普遍的說法，現(xiàn)在是智能時(shí)代，涉及的計(jì)算問題用計(jì)算器算就行了，不需要自己算．實(shí)際上提高運(yùn)算能力并不能一蹴而就，而是需要一個(gè)長期訓(xùn)練的過程，否則學(xué)生往往知道解題方法，但是一做就錯(cuò)．良好的運(yùn)算素養(yǎng)有利于將數(shù)學(xué)思維往縱深方向推進(jìn)，并能夠促進(jìn)其他五大核心素養(yǎng)的均衡發(fā)展．

1 解題教學(xué)中促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展的基本途徑

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)是指教師在一段時(shí)間內(nèi)，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及所具備的技能，采用試題訓(xùn)練形式來進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)活動(dòng)，其中包括典型試題的選擇、教學(xué)方法的采用、教學(xué)過程掌控與總結(jié)、教學(xué)效果的鞏固與提高等.良好的運(yùn)算素養(yǎng)能夠促進(jìn)學(xué)生邏輯思維發(fā)展，并能夠養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣．學(xué)生在解題教學(xué)過程中通過問題解決來不斷積累數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，夯實(shí)運(yùn)算方面的基本技能，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光來分析和處理問題.下面從解題教學(xué)的角度來探究如何提升和發(fā)展高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

1.1 理解與分析運(yùn)算對(duì)象是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)

運(yùn)算對(duì)象的選擇是一個(gè)從數(shù)的運(yùn)算到式的運(yùn)算，再過渡到數(shù)據(jù)處理的發(fā)展過程.只有充分理解運(yùn)算對(duì)象，才能夠深入分析運(yùn)算對(duì)象，做到“知其然，知其所以然”.因此當(dāng)我們面對(duì)涉及運(yùn)算的數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先要研究運(yùn)算對(duì)象的背景，分析它所要考查的知識(shí)和技能，厘清運(yùn)算對(duì)象所需知識(shí)間的邏輯關(guān)系.其次要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己所儲(chǔ)備的知識(shí)技能來開展對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解與分析，通過探究運(yùn)算對(duì)象所涉及的問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決，從而在數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程中夯實(shí)數(shù)學(xué)基本技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

案例1已知a=(3,4),b=(sinα,cosα)，a∥b,求sinαcosα的值.

教學(xué)片斷1

師：本題屬于向量與三角相結(jié)合的綜合應(yīng)用題，它考查了向量表示法、平行與垂直，三角函數(shù)的正余弦關(guān)系與符號(hào)判斷等.因此需要同學(xué)們正確理解運(yùn)算對(duì)象．那么如何去解答這個(gè)問題呢？

生1：由已知條件得3cosα-4sinα=0，再代入sin2α+cos2α=1中，分別求出sinα,cosα的值.

師：生1掌握了向量平行的定義、正余弦的平方關(guān)系以及符號(hào)判斷，理解問題比較到位.

教學(xué)思考 在理解運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，提倡一題多解，并且對(duì)比每一種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，從不同角度來理解運(yùn)算對(duì)象，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中帶來的樂趣.

1.2 掌握與應(yīng)用運(yùn)算法則是數(shù)學(xué)運(yùn)算的保障

經(jīng)過理解與分析運(yùn)算對(duì)象，明確運(yùn)算對(duì)象存在的條件以后，需要明確解決問題涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則，并且能夠熟練應(yīng)用這些數(shù)學(xué)運(yùn)算法則.

案例2化簡

教學(xué)片段2

這道題考查學(xué)生熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式的基本技能，也就是對(duì)于三角函數(shù)的六組誘導(dǎo)公式要爛熟于心，才能夠做到有的放矢.

師：請(qǐng)自主閱讀例題并思考，寫出本題中涉及到的一個(gè)誘導(dǎo)公式以及同一組中其他公式.

(學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，進(jìn)行小組交流，然后每組選擇一位同學(xué)代表本組發(fā)言)

生5：cos(2kπ+α)=cosα，sin(2kπ+α)=sinα，tan(kπ+α)=tanα.

師：生5給出了終邊相同角的正弦、余弦、正切函數(shù)值不變，以及正切函數(shù)以π為周期的三個(gè)公式.

生6：cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα.

生7：cos(π-α)=-cosα，sin(π-α)= sinα，tan(π-α)=-tanα.

生8：cos(π+α)=-cosα，sin(π+α)= -sinα，tan(π+α)=tanα.

師：三位同學(xué)給出了-α,π±α的正弦、余弦、正切函數(shù)值變化的九個(gè)公式.

教學(xué)思考 培養(yǎng)學(xué)生用類比方法找出同類型正弦、余弦或者正切函數(shù)的變化公式，目的是復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式中蘊(yùn)含的“奇變偶不變，符號(hào)看象限”規(guī)律.

教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提問：

-cosα.

生10：sin(-π-α)=sin(2π-π-α)=sin(π-α)=sinα或sin(-π-α)=sin[-(π+α)]=-sin(π+α)=sinα.

生11：cos(4π-α)=cos(-α)=cosα.

師：這三位同學(xué)給出的不同解法都應(yīng)用了兩個(gè)以上誘導(dǎo)公式，強(qiáng)化了知識(shí)之間的相互聯(lián)系.

教學(xué)思考 設(shè)計(jì)這個(gè)運(yùn)算問題，目的是利用高一學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從單純一個(gè)到幾個(gè)公式的綜合應(yīng)用，構(gòu)建公式之間的聯(lián)系，也進(jìn)一步強(qiáng)化“奇變偶不變，符號(hào)看象限”規(guī)律.

1.3 探究與選擇運(yùn)算思路是數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)鍵

在熟練掌握與應(yīng)用運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，問題解決的方法顯得尤為重要.所有的數(shù)學(xué)運(yùn)算思路都是開放的，基于學(xué)生已有的運(yùn)算素養(yǎng)基礎(chǔ)，選擇合適的運(yùn)算思路，有助于邏輯思維展開.

·復(fù)雜問題簡單化

運(yùn)算法則、運(yùn)算公式和運(yùn)算技能是培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)的基礎(chǔ)，在平時(shí)注意多積累一些一般問題的運(yùn)算方法和技巧，因?yàn)閺?fù)雜問題往往可以分解成為幾個(gè)一般問題.在探究與選擇運(yùn)算思路的時(shí)候，把這些復(fù)雜運(yùn)算進(jìn)行分解，幫助學(xué)生更好地理解運(yùn)算對(duì)象，找到合適的運(yùn)算方法.

·常規(guī)問題常態(tài)化

學(xué)生所遇到的復(fù)雜問題都是由一些常規(guī)問題組合而成，而常規(guī)問題側(cè)重夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，這類問題也是日常教學(xué)的重點(diǎn).基于復(fù)雜問題簡單化的的解題原則，我們要做到常規(guī)問題常態(tài)化.

案例4已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.

這道題是2020年全國II卷理科數(shù)學(xué)第21題，看起來比較難，實(shí)際上從它考查的知識(shí)和技能來判斷，仍然屬于常規(guī)問題，只不過是由幾個(gè)常規(guī)問題組合成一個(gè)綜合性問題.

教學(xué)片斷3

師：第(1)問的運(yùn)算思路是什么？

生12：先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)大(小)于零，得出原函數(shù)單調(diào)區(qū)間．

師：第(1)問屬于一般運(yùn)算問題，這位同學(xué)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來求單調(diào)區(qū)間的思路是正確的.第(2)問看起來無從下手，第(1)問求得的單調(diào)區(qū)間對(duì)于第(2)問尋找解題思路是否有幫助呢？

生13：從第(1)問求出的單調(diào)區(qū)間，可以得到最大值.

師：第(2)問中的定義域?yàn)镽，而第(1)問是定義在區(qū)間(0,π)上，怎么辦？

生14：在(2)中，先判定原函數(shù)是周期函數(shù)，然后結(jié)合(1)的結(jié)論算出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的最大值，最后可得不等式證明.

師：借助周期性將區(qū)間(0,π)推廣到全體實(shí)數(shù)是關(guān)鍵，在區(qū)間(0,π)內(nèi)根據(jù)(1)的結(jié)果求最大值，利用前后運(yùn)算問題對(duì)比來尋找思路，考查的最值和周期性也屬于常規(guī)問題.

教學(xué)思考 本題涉及的是利用求導(dǎo)來確定單調(diào)性，然后再求出給定區(qū)間上的極值，最后利用周期性拓廣到R上的最值，仍然屬于常規(guī)問題.

·分析法為探究與選擇運(yùn)算思路打開一扇窗

分析法是從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，在前后問題對(duì)比中來尋找運(yùn)算思路，是探究運(yùn)算思路的常備方法.例如案例4第(3)問就可以利用分析法來探究解決問題的思路.

師：sin2xsin22xsin24x…sin22nx與已知條件中函數(shù)的解析式是否有關(guān)聯(lián)？

師：根據(jù)(2)的結(jié)果得到函數(shù)在R上的最大值，第(3)問再對(duì)解析式變形，結(jié)合三角函數(shù)的放縮，三個(gè)問環(huán)環(huán)緊扣，前一個(gè)問題的結(jié)論為后一個(gè)問題的解決提供思路，通過分析法找到了解決這個(gè)問題的突破口.

教學(xué)思考 對(duì)于由幾個(gè)問題組合而成的綜合問題，問題之間是相互聯(lián)系的，并不是孤立的．分析法實(shí)際上是“執(zhí)果索因”，采用邏輯推理中“若p則q”形式，從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件和前面已經(jīng)解決問題的結(jié)論，逐步推理來解決問題.

1.4 在格式規(guī)范化基礎(chǔ)上求得運(yùn)算結(jié)果

在深入探究運(yùn)算思路并能夠作出正確選擇之后，需要在格式規(guī)范化基礎(chǔ)上才能夠求得運(yùn)算結(jié)果.結(jié)果呈現(xiàn)是數(shù)學(xué)思維的展示過程，規(guī)范化的運(yùn)算結(jié)果能夠清晰地展示解決問題的方法，它具有可復(fù)制性和可操作性.格式規(guī)范化包括：推理過程的合理性，定理、公理使用是否準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)符號(hào)使用、表達(dá)方式的規(guī)范性等.

·邏輯推理的流暢化

在運(yùn)算格式的規(guī)范化訓(xùn)練中，要做到有理有據(jù)，避免思維跳躍性過大，這樣有助于邏輯思維的推進(jìn)，并能夠發(fā)現(xiàn)運(yùn)算盲點(diǎn).例如，在案例4的第(1)問中，首先把函數(shù)f(x)運(yùn)用降次公式或者二倍角公式進(jìn)行化簡，再求導(dǎo)，降低運(yùn)算的難度．對(duì)于這一類常規(guī)問題遵循“先化簡，再求導(dǎo)，后整理”的原則，做到思維過渡無障礙，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率.

·書寫表述的規(guī)范化

數(shù)學(xué)思維的展示中數(shù)學(xué)符號(hào)和表述方式都強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性.例如，在案例1中，向量a如果不加粗，表示的就不是向量，而是數(shù)量、線段、射線等.規(guī)范化表述也能夠提高學(xué)生的審題能力，推進(jìn)對(duì)涉及的定理、公理、公式的深度理解.

案例5在某校高一的一次月考中有以下三道填空題：

1.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9,3)，則函數(shù)f(x)的解析式是.

教師在閱卷時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤解答，歸納如下：

(2)審題不清：{0,4}，以及寫成0/4，沒有搞清楚需要解決的問題，以及結(jié)果如何呈現(xiàn).正確的表述方式應(yīng)該為：0或4.這些貌似正確的答案，由于書寫格式不規(guī)范或者表述不規(guī)范，造成前功盡棄.

教學(xué)思考 對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)書寫和邏輯思維呈現(xiàn)方式中易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)易錯(cuò)本，用以記錄和整理平時(shí)在學(xué)習(xí)過程中遇到的錯(cuò)誤.持之以恒的書寫規(guī)范化訓(xùn)練，有助于提高運(yùn)算素養(yǎng)，以及邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2 解題教學(xué)中促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展的思考

“重記憶輕理解”是常見的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)誤區(qū)，特別是運(yùn)算較多的習(xí)題課教學(xué)，奉行“計(jì)算題記住公式就可以了”，不探究公式產(chǎn)生的背景、適用范圍，也就是我們通常所說的“讀不懂公式”“想當(dāng)然地計(jì)算”，導(dǎo)致運(yùn)算能力較弱，影響邏輯思維的發(fā)展.結(jié)合前面解題教學(xué)中促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展的途徑分析，培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)還應(yīng)關(guān)注下面幾個(gè)方面.

2.1 尋找運(yùn)算盲點(diǎn)，夯實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算基本技能

學(xué)生具有良好的運(yùn)算素養(yǎng)表現(xiàn)在能夠應(yīng)用原有的知識(shí)和技能解決實(shí)際運(yùn)算問題.在解題教學(xué)過程中教師應(yīng)能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的運(yùn)算盲點(diǎn)，重視這些盲點(diǎn)，并探究盲點(diǎn)形成的原因，并把它作為提高運(yùn)算素養(yǎng)的著眼點(diǎn).另一方面，對(duì)于涉及的定理、公理、公式，并不是簡單記憶，而去探究它們的背景和來源，達(dá)到溯本求源，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算盲點(diǎn).當(dāng)一個(gè)運(yùn)算盲點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)候，學(xué)生要思考是公式記憶錯(cuò)誤、公式應(yīng)用錯(cuò)誤，還是運(yùn)算技能不足.舉一反三，在熟能生巧中逐步促進(jìn)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展.例如，在案例1中所涉及的a∥b和sinαcosα，學(xué)生的運(yùn)算盲點(diǎn)可能是：分不清向量平行、垂直滿足的條件，或者對(duì)sinα,cosα,tanα的相互關(guān)系不清楚和不會(huì)利用“化弦為切”方法，這些都需要在不斷運(yùn)算中尋找自己的盲點(diǎn)并加以糾正.再如，由案例2中f(α)的解析式聯(lián)想到六組誘導(dǎo)公式的“奇變偶不變，符號(hào)看象限”規(guī)律，以及相互之間關(guān)系，并在歸納總結(jié)過程中審視哪個(gè)公式自己還掌握不牢，再對(duì)盲點(diǎn)進(jìn)行針對(duì)性糾正.

2.2 動(dòng)靜結(jié)合，在歸納總結(jié)中促進(jìn)邏輯推理思維發(fā)展

2.3 在挫折和成就中培養(yǎng)學(xué)生百折不饒的意志品質(zhì)

數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中能夠逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣、堅(jiān)強(qiáng)的毅力、持之以恒的探求精神，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、百折不饒的剛強(qiáng)意志.新課程標(biāo)準(zhǔn)注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)通過數(shù)學(xué)運(yùn)算引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深方向發(fā)展，使得學(xué)生具備分類與整合、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般思想，能夠促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看待世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維去指導(dǎo)自己的生活.日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾經(jīng)說：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.”[2]

總之，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)拓廣了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍，它也是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，但是學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)仍然是一個(gè)長期的過程.正如《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》中提出：“學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是指學(xué)生應(yīng)具備能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.”[3]良好數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有利于學(xué)生形成良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，提升對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解程度，它也是提高學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要抓手.與此同時(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)過程體現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”特點(diǎn)，它重視知識(shí)的形成過程，通過挖掘教材中對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的元認(rèn)知，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回歸數(shù)學(xué)教育本質(zhì).