隔板拓展法在高中數(shù)學(xué)排列組合問題中的應(yīng)用

周霞

在高中數(shù)學(xué)排列組合問題的教學(xué)中，讓學(xué)生掌握正確的解題方法和技巧非常重要，隔板法就是一種很好的典范.隔板法針對不相鄰組合問題和追加排列問題在解析上可以發(fā)揮很好的輔助效果.隨著排列組合問題教學(xué)的不斷深入，傳統(tǒng)隔板法在使用上已經(jīng)慢慢體現(xiàn)出其局限，因此隔板拓展法逐漸產(chǎn)生.這種在原有隔板法上的變化和延伸能夠解決類型更為多樣化的排列組合問題，不僅解析的效率更高，解題的準確度也可以得到很好的保障.

一、傳統(tǒng)隔板法的應(yīng)用

隔板法是專門針對一類排列組合問題而產(chǎn)生的解析思路，學(xué)生在剛剛接觸了解一些具體的排列組合問題時會相應(yīng)學(xué)習(xí)這種解題方法，并且會將這種解析思維融入到自己的頭腦中.總體來說，傳統(tǒng)的隔板法會把隔板“當(dāng)成”元素插入元素的空隙間，每一種插法對應(yīng)一種排列組合的方式，以此得到解題結(jié)果.傳統(tǒng)隔板法在很多排列組合問題中都會用到，能夠讓問題的解析更加簡單高效.

例1：將5個相同的球放入三個盒子，每個盒子均不能為空，共有多少種不同的分配方案？

分析：這是一個典型的不相鄰組合問題，可以有效利用隔板法加以解答.教師可以引導(dǎo)學(xué)生將問題看成把5個球分成三份，且每份非空，可以用兩個隔板達到這個目的.具體來看就是先將5個球并成一排，因為每個盒子非空，故將兩個隔板插入4個空，每一種插法對應(yīng)一種分配方案，故有C24種方案.

上面的范例是傳統(tǒng)隔板法的直觀應(yīng)用，這一方法在解析一些簡單直觀的不相鄰排列組合問題時起到的效果非常直接.在學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)這部分知識，接觸到一些典型的不相鄰問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用這種方法解答問題.只有學(xué)生對于隔板法的使用越來越熟練，對于這種思維方式的原理有良好掌握，才能夠在問題解答上更為輕松準確.

二、隔板拓展法的應(yīng)用

上面的范例簡單直觀，解析上也沒有太大難度.隨著教學(xué)過程的慢慢深入，學(xué)生會碰到更多更為復(fù)雜的排列組合問題.這類問題往往難以用簡單的隔板法加以化解，需要學(xué)生的思維有所發(fā)散及延伸，能夠探尋出有效的解答方案.這樣的背景下，拓展隔板法隨之產(chǎn)生.當(dāng)遇到的實際問題可能有多種情況時，教師首先應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生做理性分析，讓學(xué)生將各種不同情況做分類討論，然后結(jié)合每一種情況形成相應(yīng)的解析思路，再利用傳統(tǒng)隔板法逐一加以解答.這類問題相對復(fù)雜，對于學(xué)生邏輯思維的嚴密性和解題時思維的清晰性都有要求.

例2：將5個相同的球放入三個盒子，共有多少種不同的分配方案？

分析：與例1相比，不同的是此題允許盒子為空.這樣的背景下可以分兩種情形來考慮：一種是兩隔板相鄰，另一種是兩隔板不相鄰.教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論，分別求出隔板相鄰與隔板不相鄰時的排列組合方式，兩者的和就是最后的答案.如果更深入地探析這個問題就不難發(fā)現(xiàn)，此方法可推廣到n個球的情形，并且可以得出相應(yīng)的求和公式.這是很典型的在傳統(tǒng)隔板法背景下做出的延伸，是需要學(xué)生有效掌握的問題化解思路.

三、隔板法再拓展的應(yīng)用

隨著問題的進一步變換，教師可以引導(dǎo)學(xué)生基于原有的問題進行拓展延伸，相應(yīng)的解題思路也可以進行拓展，隔板法再拓展也隨之產(chǎn)生.值得注意的是，無論基本的隔板法如何拓展，教師始終要讓學(xué)生保持思路的清晰.只有學(xué)生對于最基本的模型結(jié)構(gòu)十分熟悉，才會讓拓展的過程良好實現(xiàn)，才能層層深入的探析實際問題.此外，教師要訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性，要讓學(xué)生隨著問題的變化而調(diào)整思路，找到合適的問題分析模型，這樣才會讓解析過程的針對性更強，問題的解答也更加高效準確.

例3：將5個相同的球放入四個盒子，共有多少種不同的分配方案？

分析：與例2相比，不同的是此題多了一個盒子.結(jié)合這個問題便可以進行隔板法再拓展的應(yīng)用.具體來說，可以先將3個隔板看成是球，與原有的5個球并成一排，再在8個球中任取三個變?yōu)楦舭寮纯?，而每一種變法就對應(yīng)一種分配方案.引導(dǎo)學(xué)生以這種思路來解析這個問題，解答過程會變得相對清晰，也不會存在漏解的問題.從這個范例中可以看出，雖然在很多不相鄰排列組合問題中都可以用到隔板法，但是隨著問題形式和考查要點的不斷變化，傳統(tǒng)的隔板法往往難以適應(yīng).這就需要學(xué)生具備很好的思維延伸與發(fā)散能力，懂得如何進行隔板法的各種拓展與變式，這樣才能夠讓問題解答起來更加方便，能夠讓學(xué)生對各類問題都有較好的處理應(yīng)對能力.