基于直觀想象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培育*
——向量題幾何背景挖掘與構(gòu)造

734500 甘肅省民樂縣第一中學(xué) 趙思博

向量本身兼具“形”與“數(shù)”的雙重特性，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，加上其本身的內(nèi)容十分豐富，命題形式靈活多變，自然成為高考命題的熱點.近年來，高考對向量的綜合運用的考查多與平面幾何、解析幾何、不等式等相結(jié)合進行交匯命題，綜合性強，難度較大，學(xué)生在這類問題上得分也不理想.筆者認為，向量教學(xué)要逐步讓學(xué)生體會“從形到向量—借助向量運算解決問題—從向量到形”的“三部曲”，更要培養(yǎng)學(xué)生逆向思考，體會“從向量到形—借助幾何直觀優(yōu)化運算—從形到向量”的“三部曲”.根據(jù)教學(xué)實踐和解題研究，筆者闡述解決具有一定幾何背景的向量問題的有效策略.

1 直觀建模，以數(shù)思形解三角形最值問題

評注：此題以向量減法為背景巧妙命題，利用向量的幾何意義把符號表示形式轉(zhuǎn)化為圖形表達形式，使問題求解變得直觀.在向量的意義及運算體系建立后，要注意強化向量的幾何直觀表示，引導(dǎo)學(xué)生體會通過建立向量符號運算與幾何圖形之間的關(guān)系，形成解決向量題的背景支持.

評注：此題考查平面向量基本定理、平面向量的幾何意義及向量的運算.通過向量加法運算構(gòu)建三角形，使題目形象鮮明，直觀具體，思路豁然開朗.

構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，將向量“圖形化”，借助圖形把問題的本質(zhì)凸顯出來，通過幾何直觀感知數(shù)學(xué)抽象，理解運算對象，使問題變得簡明、形象.

2 構(gòu)圖建系，巧用矩形性質(zhì)以形解數(shù)

圖1

評注：此題以平面向量加法的平行四邊形法則和矩形為幾何背景命題，在易于建立坐標系的情況下，優(yōu)先考慮坐標運算，向量的坐標表示為實現(xiàn)向量運算到數(shù)的運算打下了基礎(chǔ)，建立起了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，在向量問題解決中突出坐標法，是要讓學(xué)生感悟用坐標法研究幾何問題的程序性和普適性.解法2結(jié)合圖形特征應(yīng)用矩形的性質(zhì)大大簡化了運算，數(shù)形結(jié)合是幾何圖形的代數(shù)表達，也是代數(shù)表達式的幾何直觀，作為數(shù)形結(jié)合的兩個方面，兩者都不可或缺.向量教學(xué)中既要重視幾何圖形的代數(shù)表達，也要關(guān)注代數(shù)表達式的幾何直觀，利用幾何直觀，發(fā)揮圖形的功能，有助于向量問題的解決.

3 直觀顯化，巧用圓的性質(zhì)避繁就簡

A.1

C.r≤1

評注：此題以平面向量加法的平行四邊形法則和圓為幾何背景命題，解題的關(guān)鍵是能正確分析出曲線C和區(qū)域Ω是什么樣的圖形.面對如此之多的抽象數(shù)學(xué)符號，很多學(xué)生束手無策，若能認真分析集合內(nèi)元素的本質(zhì)特征，細心挖掘其具體意義和幾何背景，將抽象的符號語言直觀顯化，并能數(shù)形結(jié)合分析其數(shù)量關(guān)系，即可順利完成解答.有些數(shù)學(xué)表達式是有明顯幾何意義的，從幾何圖形的直觀認識問題的實質(zhì)，進而解決問題往往運算較簡便，但這種方法構(gòu)造性強，需要較高的思維水平和對向量的深入認識及理解.

圖2

圖3

評注：本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積與向量的模、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力.對條件進行化簡變形，易得出△ABC是正三角形，動點P的軌跡是圓，動點M的軌跡也是圓，解法1運用坐標法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求法，使學(xué)生對向量運算的認識逐步深化，進一步體會向量的主要作用要通過運算來實現(xiàn).

解法2利用圓的性質(zhì)得出最值，則更能體現(xiàn)向量運算的幾何解釋.

4 以形助數(shù)，妙用圓的性質(zhì)化動為定

評注：此題以平面向量的坐標運算和解析幾何中兩點間的距離為幾何背景命題，巧妙地把向量的坐標形式轉(zhuǎn)化為圖形形式，使解題事半功倍，優(yōu)化了解題過程.研究向量問題要樹立數(shù)形結(jié)合思想和坐標法統(tǒng)領(lǐng)全局的意識，解決問題時要善于用坐標法運算，用幾何眼光觀察與思考，用代數(shù)表達式的幾何直觀解決問題，從而促進學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、直觀想象等素養(yǎng)的發(fā)展.

5 深度理解，利用幾何直觀化繁為簡

評注：解法1從坐標的角度考慮，先建立平面直角坐標系，利用題設(shè)條件得點P的坐標x,y與λ，μ之間的關(guān)系，利用|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R得到關(guān)于x,y的不等式組，將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題解答，這是典型的坐標法，是研究解析幾何問題最基礎(chǔ)、最常用的方法，完全通過代數(shù)運算，運算量較大，得到最終結(jié)果需要較強的數(shù)學(xué)運算能力，這對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是有利的.解法2從平面向量基本定理入手，結(jié)合三點共線的充要條件去思考構(gòu)成平面點集的區(qū)域圖形的形狀，巧妙地避開了繁雜的運算，不失為一種優(yōu)美解法，但這種方法體現(xiàn)較強的構(gòu)造性，對學(xué)生的思維水平要求較高，要求學(xué)生對向量知識有系統(tǒng)的認識和深入的理解.

數(shù)學(xué)問題求解的基本思維方法是從題設(shè)條件出發(fā)尋找解題的方向.在決斷解題方法時，對題設(shè)條件的思維切入點不同，解題的方法也將不盡相同.對于一類有幾何背景的向量題，在尋找解題思路時，應(yīng)牢牢把握向量的兩個基本特征：利用“數(shù)”的特征，可以從向量的線性運算、數(shù)量級、基底分解與坐標運算等方面切入，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算來解決；利用“形”的特征，通過向量的幾何意義及向量的運算將其轉(zhuǎn)化為平面幾何中的問題，直接利用平面幾何中的相關(guān)結(jié)論得到結(jié)果.教師在教學(xué)中，要注重直觀想象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)，這樣學(xué)生才能熟練地實現(xiàn)向量的符號表示形式向圖形表達形式、坐標表示形式的轉(zhuǎn)化，優(yōu)化向量問題解法.