突出思維過程的教學(xué) 促進(jìn)核心素養(yǎng)的提升

孫 磊 (江蘇省無錫市第三高級(jí)中學(xué) 214000) 錢 銘 (江蘇省無錫市第一中學(xué) 214031)

關(guān)注學(xué)生的長(zhǎng)效發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展，使學(xué)生形成終身受益的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，受到了人們的高度重視，成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要導(dǎo)向和熱門話題．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的．”要求通過數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[1]．在這里，把數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言看成是構(gòu)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三大支柱．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)既是高度抽象的思維產(chǎn)物，又是高于數(shù)學(xué)知識(shí)的思維方法．?dāng)?shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最重要的部分，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根基所在．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程．因此，突出數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會(huì)理性思維，實(shí)現(xiàn)學(xué)生在思維層面上的“深度學(xué)習(xí)”，是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)養(yǎng)成的有效途徑和重要抓手．

1 追溯專家的思維過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的意識(shí)

人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)，一般都是先在實(shí)踐中獲得了大量的數(shù)學(xué)事實(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，然后再根據(jù)這些事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)來總結(jié)、歸納和提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，再通過邏輯推理來加以證明、予以驗(yàn)證．在這個(gè)程中，數(shù)學(xué)的思維起著關(guān)鍵性的作用．[2]數(shù)學(xué)教學(xué)要根據(jù)課標(biāo)、教材和學(xué)情，充分利用現(xiàn)有的教學(xué)資源精心設(shè)計(jì)，引領(lǐng)學(xué)生追溯當(dāng)年數(shù)學(xué)家探究數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、提煉數(shù)學(xué)思想方法的心路歷程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念和用已有的知識(shí)去探索未知世界的思維活動(dòng)，使學(xué)生從專家們探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想和方法的思維活動(dòng)過程中感悟數(shù)學(xué)思維的魅力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的意識(shí)．

案例1“弧度制”一課的教學(xué)片斷．

師：前面一節(jié)課，我們將角的概念進(jìn)行了推廣，建立了任意角的概念，對(duì)“角”有了新的、進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)．

問題1角的大小是如何進(jìn)行度量的？

師：角度制是古巴比倫人對(duì)天文學(xué)和數(shù)學(xué)所作出的一個(gè)重大貢獻(xiàn)！古巴比倫人受“黃道12星座”和“春秋分日，太陽劃過半個(gè)周天的軌跡恰好等于180個(gè)太陽直徑”的啟發(fā)，把圓周等分為360份，將每一份所對(duì)的圓周角叫做1度的角，由此產(chǎn)生度量角的一種制度——角度制．

問題2用度作為度量角的單位是唯一的嗎？你覺得度量角的大小還能有其他方法嗎？

生：應(yīng)該有．例如長(zhǎng)度的度量，既可以用“尺”，也可以用“米”，度量重量可以用千克、磅等不同單位．

師：很好！角度制是60進(jìn)制，1度等于60分，1分等于60秒．但我們?cè)谶M(jìn)行計(jì)算時(shí)，很多時(shí)候運(yùn)用的都是10進(jìn)制．這就產(chǎn)生了進(jìn)位制不統(tǒng)一的問題．

問題3你覺得還可以選擇怎樣的單位來度量一個(gè)角的大小呢？

問題4如圖1，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上一點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O)的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對(duì)應(yīng)于圓心角α．記圓弧PP1的長(zhǎng)為l、圓弧的半徑OP=r,則l,r,α之間存在著怎樣的關(guān)系？

圖1 圖2

師：這就是說，圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值，隨圓心角α的確定而唯一確定．從而啟發(fā)我們，可以利用圓的弧長(zhǎng)與半徑的比值來度量角的大?。?/p>

問題6你能類比角度制，給出弧度制的有關(guān)概念嗎？

在學(xué)習(xí)弧度制之前，學(xué)生對(duì)角度制已經(jīng)有了一定的了解，如果在此基礎(chǔ)上直接給出弧度制的定義，建立起弧度制與角度制之間的聯(lián)系，學(xué)生也能接受，并能運(yùn)用弧度制的知識(shí)來解決一些相應(yīng)的問題．但是，度量角的大小既然有了角度制，為什么還要研究弧度制？怎么想到用弧度來表示角的？弧度制的優(yōu)越性何在？對(duì)這些問題，學(xué)生會(huì)十分困惑，有一種強(qiáng)行灌輸?shù)母杏X，無法激起學(xué)習(xí)的熱情和興趣．本案例中，針對(duì)學(xué)生的問題，適時(shí)地融入數(shù)學(xué)史，介紹弧度制產(chǎn)生的背景，引領(lǐng)學(xué)生追溯數(shù)學(xué)家的思維軌跡，像數(shù)學(xué)家那樣圍繞著面對(duì)的問題與困惑，運(yùn)用類比角度制的研究方法展開探究活動(dòng)，經(jīng)歷“1弧度角”和“弧度制”概念的發(fā)生和發(fā)展的過程，達(dá)成“將弧長(zhǎng)與角的度量單位統(tǒng)一起來”的共識(shí)，不但自然而然地得出“1弧度角”和“弧度制”概念，揭示出弧度制與角度制之間的聯(lián)系，破解了學(xué)習(xí)的障礙，而且充分地體驗(yàn)了數(shù)學(xué)家在進(jìn)行科學(xué)探究、解決疑難問題、建立數(shù)學(xué)理論時(shí)的思維方法，使學(xué)生感受了類比推理和演繹推理的價(jià)值，學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的思維去分析和解決問題，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，匡扶了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為．

2 展示教師的思維過程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的方法

一般來講，學(xué)生的思維往往是在教師思維的引領(lǐng)之下，通過模仿教師的思維而逐漸形成的，所以教師在組織教學(xué)活動(dòng)時(shí)必須高度地關(guān)注思維形式的“顯化”．現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，因?yàn)槠年P(guān)系和章節(jié)結(jié)構(gòu)的因素，許多內(nèi)容都省略了知識(shí)的發(fā)展、探索和思路的發(fā)現(xiàn)、形成的過程，一些定理和性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的，解決問題的方法是如何構(gòu)想的和研究的，學(xué)生對(duì)它們存在著一種必然的神秘感和疑惑感．因此，在課堂教學(xué)中，對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式的發(fā)現(xiàn)，例題與習(xí)題的求解，都應(yīng)將教師自己真實(shí)的思維活動(dòng)過程完完全全地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，讓學(xué)生不僅能看到教師獲得成功的思維過程，還要能看到教師受困、碰壁、試誤、失敗和掙脫困境的思維過程．要設(shè)法使學(xué)生看到，面對(duì)一個(gè)新問題時(shí)教師自己是怎樣尋求解決思路的、其依據(jù)是什么、特別是在思路受阻后如何調(diào)整思路、為什么這樣調(diào)整等等[3]．這樣，學(xué)生看到了教師探求數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題的完整的思維過程，并從這個(gè)思維過程中感悟研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象、解決數(shù)學(xué)問題的思維方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題，從而有效地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)．

案例2“函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用”一課的教學(xué)片斷

師：前面，我們研究過函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，這是函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)，在解決函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用．今天這節(jié)課，我們通過一些具體的問題，進(jìn)一步地來感受一下．請(qǐng)大家先看下面的問題(投影顯示)．

師：怎樣求出不等式(*)的解集呢？

生：先將不等式用x具體地表示出來．

生：？

師：要解這個(gè)不等式，脫去f的符號(hào)是關(guān)鍵，除了上面的方法外，有其他脫去f的方法嗎？

生：容易發(fā)現(xiàn)，f(x)是定義在R上的增函數(shù)，如果能將不等式轉(zhuǎn)化為f(a)>f(b)的形式，就可以利用f(x)的單調(diào)性脫去f的符號(hào)了．

師：非常好！這是想到了一種已有的解題經(jīng)驗(yàn)，前面曾經(jīng)解過類似的問題．問題是，怎樣才能將不等式化為f(a)>f(b)的形式呢？

師：不錯(cuò)的想法，不妨沿著這個(gè)思路試試看．

師生一起嘗試，發(fā)現(xiàn)此路不通，思路受阻．

師：這個(gè)思路行不通了，還有其他方法嗎？

生：？

在本案例中，教師運(yùn)用師生對(duì)話的形式，引領(lǐng) 學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析和探索，尋求突破解題障礙的方法和策略，將教師解決這一問題的思維活動(dòng)完完整整地展示在學(xué)生的面前，學(xué)生看到的不再單純是教師順利完成解題的神來之筆，而是教師分析和解決這一問題的整個(gè)思考過程，有對(duì)問題條件和結(jié)論的分析，有對(duì)解題思路的探索，也有在一種思路受阻時(shí)怎樣借助已有的解題經(jīng)驗(yàn)聯(lián)想已經(jīng)解決過的類似問題的處理方法，通過對(duì)問題化歸、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造，沖出解題困境的策略，使學(xué)生不僅理解和掌握了一類問題的解題方法，而且體驗(yàn)了數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)了理性思考，優(yōu)化了思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了在對(duì)比中求得簡(jiǎn)捷，在運(yùn)用中變得靈活，在活動(dòng)中獲得經(jīng)驗(yàn)，在疏漏后學(xué)得縝密，有效地提高了分析問題和解決問題的能力．

3 暴露學(xué)生的思維過程，提升數(shù)學(xué)思維的能力

教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)(思維活動(dòng))的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)．”這就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要反映數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果，而且還要善于暴露得到這些結(jié)果的思維活動(dòng)的過程．?dāng)?shù)學(xué)專家和數(shù)學(xué)教師解決數(shù)學(xué)問題的思維活動(dòng)與學(xué)生的思維活動(dòng)存在著明顯的差異，無法代替也不應(yīng)該代替學(xué)生的思維過程．只有讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索的曲折情節(jié)，使思維帶有懸念色彩，才能增添學(xué)習(xí)的情趣，從而讓學(xué)習(xí)變得更“有意義”．[4]課堂教學(xué)中，教師應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)貼切的問題情境，巧妙地設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生積極地參與到探索數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)解題方法的思維活動(dòng)中來，給學(xué)生提供廣闊的思考空間和參與平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生暢所欲言、各抒己見，評(píng)判各種思路和方法的優(yōu)劣，要能耐心地傾聽學(xué)生的意見，讓學(xué)生充分暴露自己的思維過程，及時(shí)地對(duì)學(xué)生思維過程加以歸納、概括，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)思維的“閃光點(diǎn)”和存在的問題，總結(jié)思維的規(guī)律、方法和技巧，有意識(shí)地指出學(xué)生思維活動(dòng)的優(yōu)劣，以此來激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，發(fā)展學(xué)生的思維能力．

案例3“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”一課的教學(xué)片斷．

在研究了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值之間的關(guān)系后，筆者給出了如下的一個(gè)問題給學(xué)生探究(投影展示)：

問題已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)ex-x2，是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x=0處取得極小值？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

師：請(qǐng)思考，如何來解決這一問題，說出你們的想法．

生1：為使函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，必須使得f′(0)=0．對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)=(2x-a)ex+(x2-ax+a)ex-2x=[x2+(2-a)x]ex-2x．可知f′(0)=0恒成立，故存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x=0處取得極小值，a的取值范圍是R．

師：生1的解法怎么樣？有沒有什么問題？

生2：上面的解法存在漏洞，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，不僅需要f′(0)=0，還要滿足條件：x<0時(shí)f′(x)<0，并且x>0時(shí)f′(x)>0．

師：你上黑板來解解看．

師：生2得出了與生1截然相反的結(jié)論．根據(jù)極小值的定義，生1的解法顯然欠妥，結(jié)論是不正確的．那么生2的解法正確嗎？有沒有什么值得推敲的地方？請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎妓伎?，不妨相互討論一下?/p>

生3：生2的解法也是錯(cuò)誤的．函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，除了必須具備f′(0)=0的條件外，不一定還要使得x<0時(shí)f′(x)<0，并且x>0時(shí)f′(x)>0．根據(jù)極小值的定義，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，應(yīng)該具備的條件是：f′(0)=0，并且在x=0的左右兩側(cè)的區(qū)間內(nèi)，左側(cè)的導(dǎo)數(shù)f′(x)<0，右側(cè)的導(dǎo)數(shù)f′(x)>0，即在x=0的左側(cè)小區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，右側(cè)小區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．

師：很好！生3對(duì)函數(shù)極值概念的理解就到位了．在解決已知函數(shù)的極值，求參數(shù)的值或取值范圍的一類問題時(shí)，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是生1和生2兩位同學(xué)那樣的解法，大家必須引起高度的關(guān)注．哪一位同學(xué)上黑板來完善一下這道題的解法？

生4：同上，得f′(x)=x[(x-a+2)ex-2]．假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x=0處取得極小值，則必有f′(0)=0，并且在x=0的左側(cè)附近f′(x)<0，在x=0的右側(cè)附近f′(x)>0．顯然f′(0)=0恒成立，令g(x)=(x-a+2)ex-2，則必須且只需g(x)在x=0的左右兩側(cè)的附近，均有g(shù)(x)>0．由g′(x)=ex+(x-a+ 2)ex=0得x=a-3．而x≠0，所以a≠3．易得：當(dāng)xa-3時(shí)，g′(x)>0，即g(x)在(-∞,a-3)上是減函數(shù)，在(a-3,+∞)上是增函數(shù)．從而g(x)在x=a-3處取得極小值，并且g(a-3)= -ea-3-2<0．為使g(x)在x=0的左右兩側(cè)的附近均有g(shù)(x)>0，必須且只須g(0)>0，即-a>0，亦即a<0．故存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x=0處取得極小值，a的取值范圍是(-∞,0)．

師：非常好！請(qǐng)同學(xué)們對(duì)這個(gè)問題的探究過程作一個(gè)反思，看看有哪些收獲！

在解決有關(guān)函數(shù)極值的問題時(shí)，學(xué)生常常會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤．怎樣有的放矢地幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤、深化理解，這是我們必須下功夫去解決的問題．本案例中，教師沒有滔滔不絕地講授，將解決問題的正確方法灌輸給學(xué)生，而是留給學(xué)生充足的時(shí)間和空間，組織學(xué)生進(jìn)行探索，靈活地采取多種方法，有意識(shí)地點(diǎn)撥、誘導(dǎo)和啟發(fā)，讓學(xué)生思考，讓學(xué)生交流，讓學(xué)生板書，在這個(gè)過程中將學(xué)生的思維活動(dòng)過程完全地暴露了出來．然后循著學(xué)生的思維軌跡，針對(duì)學(xué)生解題中的思維缺陷，組織學(xué)生進(jìn)行對(duì)話、合作和交流，及時(shí)捕捉學(xué)生思維的困惑點(diǎn)和障礙點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生多方面、多角度、多層次地開展探索活動(dòng)，幫助學(xué)生尋找錯(cuò)因，糾正錯(cuò)誤，形成對(duì)問題的正確認(rèn)識(shí)，使思路越探越清，問題越探越明，知識(shí)越探越透，在潛移默化中優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使課堂真正地成為激情蕩漾場(chǎng)所和智慧飛揚(yáng)的天地．

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)教給學(xué)生的不應(yīng)只是冰冷的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要是要使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待問題、用數(shù)學(xué)的思維去思考問題，獲得超越書本知識(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)是思維的體操，教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式去思維，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)知識(shí)本身的教學(xué)更有意義．實(shí)施新課程教學(xué)，要求學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”，即掌握知識(shí)，發(fā)展思維，形成能力，提升素養(yǎng)．要使學(xué)生“會(huì)學(xué)”最根本的一條就是要在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，突出數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程，使數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)、數(shù)學(xué)定理(公式和法則)的發(fā)現(xiàn)、解題思路探索活動(dòng)中，引領(lǐng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維的方法，學(xué)會(huì)理性思考，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，形成分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)技能，使教材中的知識(shí)、思想和方法，通過教師精心設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)化為學(xué)生的智慧，使“培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的目標(biāo)在課堂上落地生根．