解題教學中促進高中生數(shù)學運算素養(yǎng)發(fā)展之探索

郭立祥 (廣東省中山市實驗中學 528400)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析這六大數(shù)學核心素養(yǎng)，其中數(shù)學運算素養(yǎng)是指“在明晰運算對象基礎上，依據(jù)運算法則解決實際問題的素養(yǎng)”[1]．關于數(shù)學運算，有的教師認為教學應該側(cè)重介紹方法和思路，運算是學生自己的事情．學生中也有一種普遍的說法，現(xiàn)在是智能時代，涉及的計算問題用計算器算就行了，不需要自己算．實際上提高運算能力并不能一蹴而就，而是需要一個長期訓練的過程，否則學生往往知道解題方法，但是一做就錯．良好的運算素養(yǎng)有利于將數(shù)學思維往縱深方向推進，并能夠促進其他五大核心素養(yǎng)的均衡發(fā)展．

1 解題教學中促進高中生數(shù)學運算素養(yǎng)發(fā)展的基本途徑

高中數(shù)學解題教學是指教師在一段時間內(nèi)，根據(jù)學生學習的內(nèi)容以及所具備的技能，采用試題訓練形式來進一步夯實基礎知識和基本技能的教學活動，其中包括典型試題的選擇、教學方法的采用、教學過程掌控與總結(jié)、教學效果的鞏固與提高等.良好的運算素養(yǎng)能夠促進學生邏輯思維發(fā)展，并能夠養(yǎng)成良好的運算習慣．學生在解題教學過程中通過問題解決來不斷積累數(shù)學運算經(jīng)驗，夯實運算方面的基本技能，增強學習數(shù)學的自信心，提高學習數(shù)學的興趣，學會用數(shù)學眼光來分析和處理問題.下面從解題教學的角度來探究如何提升和發(fā)展高中生的數(shù)學運算素養(yǎng)．

1.1 理解與分析運算對象是數(shù)學運算的基礎

運算對象的選擇是一個從數(shù)的運算到式的運算，再過渡到數(shù)據(jù)處理的發(fā)展過程.只有充分理解運算對象，才能夠深入分析運算對象，做到“知其然，知其所以然”.因此當我們面對涉及運算的數(shù)學問題時，首先要研究運算對象的背景，分析它所要考查的知識和技能，厘清運算對象所需知識間的邏輯關系.其次要引導學生根據(jù)自己所儲備的知識技能來開展對運算對象的理解與分析，通過探究運算對象所涉及的問題，進行數(shù)學問題解決，從而在數(shù)學運算的過程中夯實數(shù)學基本技能，培養(yǎng)數(shù)學綜合素養(yǎng).

案例1已知a=(3,4),b=(sinα,cosα)，a∥b,求sinαcosα的值.

教學片斷1

師：本題屬于向量與三角相結(jié)合的綜合應用題，它考查了向量表示法、平行與垂直，三角函數(shù)的正余弦關系與符號判斷等.因此需要同學們正確理解運算對象．那么如何去解答這個問題呢？

生1：由已知條件得3cosα-4sinα=0，再代入sin2α+cos2α=1中，分別求出sinα,cosα的值.

師：生1掌握了向量平行的定義、正余弦的平方關系以及符號判斷，理解問題比較到位.

教學思考 在理解運算對象的基礎上，充分發(fā)揮學生主觀能動性，提倡一題多解，并且對比每一種方法的優(yōu)缺點，從不同角度來理解運算對象，夯實學生的基礎知識和基本技能，同時感受學習數(shù)學過程中帶來的樂趣.

1.2 掌握與應用運算法則是數(shù)學運算的保障

經(jīng)過理解與分析運算對象，明確運算對象存在的條件以后，需要明確解決問題涉及的數(shù)學運算法則，并且能夠熟練應用這些數(shù)學運算法則.

案例2化簡

教學片段2

這道題考查學生熟練應用誘導公式的基本技能，也就是對于三角函數(shù)的六組誘導公式要爛熟于心，才能夠做到有的放矢.

師：請自主閱讀例題并思考，寫出本題中涉及到的一個誘導公式以及同一組中其他公式.

(學生在獨立思考的基礎上，進行小組交流，然后每組選擇一位同學代表本組發(fā)言)

生5：cos(2kπ+α)=cosα，sin(2kπ+α)=sinα，tan(kπ+α)=tanα.

師：生5給出了終邊相同角的正弦、余弦、正切函數(shù)值不變，以及正切函數(shù)以π為周期的三個公式.

生6：cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα，tan(-α)=-tanα.

生7：cos(π-α)=-cosα，sin(π-α)= sinα，tan(π-α)=-tanα.

生8：cos(π+α)=-cosα，sin(π+α)= -sinα，tan(π+α)=tanα.

師：三位同學給出了-α,π±α的正弦、余弦、正切函數(shù)值變化的九個公式.

教學思考 培養(yǎng)學生用類比方法找出同類型正弦、余弦或者正切函數(shù)的變化公式，目的是復習誘導公式中蘊含的“奇變偶不變，符號看象限”規(guī)律.

教師在學生回答的基礎上，進一步提問：

-cosα.

生10：sin(-π-α)=sin(2π-π-α)=sin(π-α)=sinα或sin(-π-α)=sin[-(π+α)]=-sin(π+α)=sinα.

生11：cos(4π-α)=cos(-α)=cosα.

師：這三位同學給出的不同解法都應用了兩個以上誘導公式，強化了知識之間的相互聯(lián)系.

教學思考 設計這個運算問題，目的是利用高一學生的認知結(jié)構(gòu)特點，從單純一個到幾個公式的綜合應用，構(gòu)建公式之間的聯(lián)系，也進一步強化“奇變偶不變，符號看象限”規(guī)律.

1.3 探究與選擇運算思路是數(shù)學運算的關鍵

在熟練掌握與應用運算法則的基礎上，問題解決的方法顯得尤為重要.所有的數(shù)學運算思路都是開放的，基于學生已有的運算素養(yǎng)基礎，選擇合適的運算思路，有助于邏輯思維展開.

·復雜問題簡單化

運算法則、運算公式和運算技能是培養(yǎng)運算素養(yǎng)的基礎，在平時注意多積累一些一般問題的運算方法和技巧，因為復雜問題往往可以分解成為幾個一般問題.在探究與選擇運算思路的時候，把這些復雜運算進行分解，幫助學生更好地理解運算對象，找到合適的運算方法.

·常規(guī)問題常態(tài)化

學生所遇到的復雜問題都是由一些常規(guī)問題組合而成，而常規(guī)問題側(cè)重夯實學生的基礎知識和基本技能，這類問題也是日常教學的重點.基于復雜問題簡單化的的解題原則，我們要做到常規(guī)問題常態(tài)化.

案例4已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.

這道題是2020年全國II卷理科數(shù)學第21題，看起來比較難，實際上從它考查的知識和技能來判斷，仍然屬于常規(guī)問題，只不過是由幾個常規(guī)問題組合成一個綜合性問題.

教學片斷3

師：第(1)問的運算思路是什么？

生12：先對原函數(shù)求導，由導函數(shù)大(小)于零，得出原函數(shù)單調(diào)區(qū)間．

師：第(1)問屬于一般運算問題，這位同學應用導數(shù)來求單調(diào)區(qū)間的思路是正確的.第(2)問看起來無從下手，第(1)問求得的單調(diào)區(qū)間對于第(2)問尋找解題思路是否有幫助呢？

生13：從第(1)問求出的單調(diào)區(qū)間，可以得到最大值.

師：第(2)問中的定義域為R，而第(1)問是定義在區(qū)間(0,π)上，怎么辦？

生14：在(2)中，先判定原函數(shù)是周期函數(shù)，然后結(jié)合(1)的結(jié)論算出函數(shù)在一個周期內(nèi)的最大值，最后可得不等式證明.

師：借助周期性將區(qū)間(0,π)推廣到全體實數(shù)是關鍵，在區(qū)間(0,π)內(nèi)根據(jù)(1)的結(jié)果求最大值，利用前后運算問題對比來尋找思路，考查的最值和周期性也屬于常規(guī)問題.

教學思考 本題涉及的是利用求導來確定單調(diào)性，然后再求出給定區(qū)間上的極值，最后利用周期性拓廣到R上的最值，仍然屬于常規(guī)問題.

·分析法為探究與選擇運算思路打開一扇窗

分析法是從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，在前后問題對比中來尋找運算思路，是探究運算思路的常備方法.例如案例4第(3)問就可以利用分析法來探究解決問題的思路.

師：sin2xsin22xsin24x…sin22nx與已知條件中函數(shù)的解析式是否有關聯(lián)？

師：根據(jù)(2)的結(jié)果得到函數(shù)在R上的最大值，第(3)問再對解析式變形，結(jié)合三角函數(shù)的放縮，三個問環(huán)環(huán)緊扣，前一個問題的結(jié)論為后一個問題的解決提供思路，通過分析法找到了解決這個問題的突破口.

教學思考 對于由幾個問題組合而成的綜合問題，問題之間是相互聯(lián)系的，并不是孤立的．分析法實際上是“執(zhí)果索因”，采用邏輯推理中“若p則q”形式，從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件和前面已經(jīng)解決問題的結(jié)論，逐步推理來解決問題.

1.4 在格式規(guī)范化基礎上求得運算結(jié)果

在深入探究運算思路并能夠作出正確選擇之后，需要在格式規(guī)范化基礎上才能夠求得運算結(jié)果.結(jié)果呈現(xiàn)是數(shù)學思維的展示過程，規(guī)范化的運算結(jié)果能夠清晰地展示解決問題的方法，它具有可復制性和可操作性.格式規(guī)范化包括：推理過程的合理性，定理、公理使用是否準確，數(shù)學符號使用、表達方式的規(guī)范性等.

·邏輯推理的流暢化

在運算格式的規(guī)范化訓練中，要做到有理有據(jù)，避免思維跳躍性過大，這樣有助于邏輯思維的推進，并能夠發(fā)現(xiàn)運算盲點.例如，在案例4的第(1)問中，首先把函數(shù)f(x)運用降次公式或者二倍角公式進行化簡，再求導，降低運算的難度．對于這一類常規(guī)問題遵循“先化簡，再求導，后整理”的原則，做到思維過渡無障礙，提高運算的準確率.

·書寫表述的規(guī)范化

數(shù)學思維的展示中數(shù)學符號和表述方式都強調(diào)嚴謹性.例如，在案例1中，向量a如果不加粗，表示的就不是向量，而是數(shù)量、線段、射線等.規(guī)范化表述也能夠提高學生的審題能力，推進對涉及的定理、公理、公式的深度理解.

案例5在某校高一的一次月考中有以下三道填空題：

1.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(9,3)，則函數(shù)f(x)的解析式是.

教師在閱卷時候，發(fā)現(xiàn)了學生出現(xiàn)的一些典型錯誤解答，歸納如下：

(2)審題不清：{0,4}，以及寫成0/4，沒有搞清楚需要解決的問題，以及結(jié)果如何呈現(xiàn).正確的表述方式應該為：0或4.這些貌似正確的答案，由于書寫格式不規(guī)范或者表述不規(guī)范，造成前功盡棄.

教學思考 對于數(shù)學符號書寫和邏輯思維呈現(xiàn)方式中易錯的知識點，引導學生準備一個易錯本，用以記錄和整理平時在學習過程中遇到的錯誤.持之以恒的書寫規(guī)范化訓練，有助于提高運算素養(yǎng)，以及邏輯思維的嚴謹性.

2 解題教學中促進高中生數(shù)學運算素養(yǎng)發(fā)展的思考

“重記憶輕理解”是常見的數(shù)學運算能力培養(yǎng)誤區(qū)，特別是運算較多的習題課教學，奉行“計算題記住公式就可以了”，不探究公式產(chǎn)生的背景、適用范圍，也就是我們通常所說的“讀不懂公式”“想當然地計算”，導致運算能力較弱，影響邏輯思維的發(fā)展.結(jié)合前面解題教學中促進高中生數(shù)學運算素養(yǎng)發(fā)展的途徑分析，培養(yǎng)高中生數(shù)學運算素養(yǎng)還應關注下面幾個方面.

2.1 尋找運算盲點，夯實數(shù)學運算基本技能

學生具有良好的運算素養(yǎng)表現(xiàn)在能夠應用原有的知識和技能解決實際運算問題.在解題教學過程中教師應能發(fā)現(xiàn)學生的運算盲點，重視這些盲點，并探究盲點形成的原因，并把它作為提高運算素養(yǎng)的著眼點.另一方面，對于涉及的定理、公理、公式，并不是簡單記憶，而去探究它們的背景和來源，達到溯本求源，減少數(shù)學運算盲點.當一個運算盲點出現(xiàn)的時候，學生要思考是公式記憶錯誤、公式應用錯誤，還是運算技能不足.舉一反三，在熟能生巧中逐步促進運算素養(yǎng)的發(fā)展.例如，在案例1中所涉及的a∥b和sinαcosα，學生的運算盲點可能是：分不清向量平行、垂直滿足的條件，或者對sinα,cosα,tanα的相互關系不清楚和不會利用“化弦為切”方法，這些都需要在不斷運算中尋找自己的盲點并加以糾正.再如，由案例2中f(α)的解析式聯(lián)想到六組誘導公式的“奇變偶不變，符號看象限”規(guī)律，以及相互之間關系，并在歸納總結(jié)過程中審視哪個公式自己還掌握不牢，再對盲點進行針對性糾正.

2.2 動靜結(jié)合，在歸納總結(jié)中促進邏輯推理思維發(fā)展

2.3 在挫折和成就中培養(yǎng)學生百折不饒的意志品質(zhì)

數(shù)學運算過程中能夠逐步培養(yǎng)學生良好的思維習慣、堅強的毅力、持之以恒的探求精神，以及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度、百折不饒的剛強意志.新課程標準注重考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，強調(diào)通過數(shù)學運算引導學生的思維向縱深方向發(fā)展，使得學生具備分類與整合、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般思想，能夠促進學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)發(fā)展，引導學生會用數(shù)學眼光看待世界，會用數(shù)學思維去指導自己的生活.日本著名數(shù)學教育家米山國藏曾經(jīng)說：“在學校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學精神、數(shù)學思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.”[2]

總之，數(shù)學運算素養(yǎng)拓廣了數(shù)學的應用范圍，它也是解決數(shù)學問題的基本手段，但是學生數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)仍然是一個長期的過程.正如《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》中提出：“學生發(fā)展核心素養(yǎng)是指學生應具備能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力.”[3]良好數(shù)學運算素養(yǎng)有利于學生形成良好數(shù)學思維習慣，提升對于數(shù)學基礎知識和基本技能的理解程度，它也是提高學生綜合素養(yǎng)的重要抓手.與此同時，數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)過程體現(xiàn)“數(shù)學育人”特點，它重視知識的形成過程，通過挖掘教材中對于知識點的元認知，讓數(shù)學學習回歸數(shù)學教育本質(zhì).