數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

賀啟飛

(云南紅河州第一中學(xué)，云南紅河，661100)

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的思想方法，特別在解決各類數(shù)學(xué)題目中發(fā)揮著重要的作用.

本文將詳細(xì)介紹幾種數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，以便培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力.

1 通過函數(shù)圖象實現(xiàn)對解答函數(shù)、方程、不等式問題的“數(shù)形結(jié)合”

對于函數(shù)、方程和不等式問題均是高中數(shù)學(xué)的?？碱}型.例如證明不等式成立、求解函數(shù)的值域和最值等問題，常以選擇題和填空題，甚至是解答題的形式出現(xiàn)，綜合性強(qiáng)且十分抽象.利用數(shù)形結(jié)合思想表示出各自對應(yīng)的圖象，再結(jié)合圖象的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析，有助于快速解題，化抽象性為具體.總的來說，一般解答這類型問題的基本思路為根據(jù)題意表示出對應(yīng)的圖象，通過“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”分析所求問題即可.

例1若關(guān)于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和3之間，求實數(shù)k的取值范圍.

思考：本題需要利用等價轉(zhuǎn)化思想，將關(guān)于x的方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，分析這個函數(shù)圖象與橫坐標(biāo)的交點個數(shù)，上述交點即為方程的解，通過分析在-1和3之間的兩個根的情況求出k的取值.

解：令f(x)=x2+2kx+3k，圖象如圖所示：

圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)等價于方程f(x)=0的解，

∵方程的兩個根位于在-1和3之間，

綜上所述，實數(shù)k的取值范圍為(-1，0).

變式訓(xùn)練1若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0，3)內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍.

思考：一般來說，對于方程的解、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時，可以借助函數(shù)的圖象直觀解決，簡單明了，根據(jù)方程只有一個解可得兩個方程的圖象只有一個公共點，依次作為解題突破口.

解：原方程可轉(zhuǎn)化為-(x-2)2+1=m，此時x∈(0，3)，

設(shè)y1=-(x-2)2+1，x∈(0，3)，y2=m，

如圖所示，在同一坐標(biāo)系中表示出它的圖象，

∵方程在x∈(0，3)內(nèi)有唯一解，

∴y1與y2的圖象只有一個公共點，

∴m的取值范圍是-3

2 通過曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系實現(xiàn)對問題的“數(shù)形結(jié)合”

曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系多見于圓錐曲線問題中，考查學(xué)生對圓錐曲線和方程知識的綜合運(yùn)用，難度較大，通常在填空題和解答題中較為常見，需要同學(xué)們能夠根據(jù)已知的數(shù)據(jù)或等式轉(zhuǎn)化圖象，根據(jù)圖象和直線的交點個數(shù)求解.一般來說這類型問題的本質(zhì)就是“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的有機(jī)融合，通過代數(shù)式等表示出圖象，以圓錐曲線的性質(zhì)為依據(jù)進(jìn)行解答.

思考：本題M這個集合很明顯是圓在x軸上半部分的圖象，而集合N就是一條斜率等于1的直線，將兩個集合轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圖象表示出來，則M∩N≠?等價于半圓與直線存在公共點，求出其最值即可得到取值范圍.

∴M表示以點(0，0)為圓心，半徑為3的圓，且在x軸的上半部分，

而N表示斜率k=1，縱截距等于b的直線，如圖所示，

∵M(jìn)∩N≠?，

∴直線y=x+b和半圓有公共點，

變式訓(xùn)練2求y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2的最值.

思考：本題就是典型的距離問題，可以將上述函數(shù)視為兩個動點之間的距離，求其最遠(yuǎn)和最近時的大小即可，表示出其圖象為兩個圓，結(jié)合圓的相關(guān)知識可得兩動點之間的距離的最值.

解：∵y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2，

∴等價于兩個動點P(cosθ，sinθ)和Q(cosα-3，sinα+2)，

∴這兩個動點的軌跡方程分別為：x2+y2=1和(x+3)2+(y-2)2=1，

∴兩條曲線上兩點之間距離的最值即為所求函數(shù)的最值問題，

3 通過所給等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)的幾何意義實現(xiàn)對問題的“數(shù)形結(jié)合”

通過挖掘所給等式或代數(shù)的結(jié)構(gòu)反應(yīng)的幾何意義表示圖象，通過圖象性質(zhì)進(jìn)行解題.解答這類型問題的關(guān)鍵是要根據(jù)所給的代數(shù)式挖掘出其中的幾何意義，并能夠根據(jù)相應(yīng)的圖象性質(zhì)解題.對于這類型問題綜合性很強(qiáng)，一般出現(xiàn)在填空題和解答題中.

根據(jù)圖象可得：當(dāng)∠A在第一象限且與圓相切時，OA的斜率有最大值，

此時OA與x軸的夾角等于60°，

解：令f(x)=x2+ax+2b=0，

∴這個二元一次不等式組的解是△ABC內(nèi)的點(a，b)的集合，

4 在不等式及線性規(guī)劃中的應(yīng)用.

不等式問題是高中數(shù)學(xué)中的重要題型，常見的題型，例如解決含參不等式問題，確定參數(shù)的范圍，證明不等式成立等.解答這類型問題通過會涉及分類討論，過程較為繁瑣.將題設(shè)條件與幾何圖形相結(jié)合，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想就能理清解題思路，快速解答.而線性規(guī)劃問題也是高中數(shù)學(xué)的?？純?nèi)容之一，大多數(shù)以選擇題的形式出現(xiàn)，占有的分值不高，屬于基礎(chǔ)題型，但這類型問題的求解也離不開數(shù)形結(jié)合.利用數(shù)形結(jié)合表示出相應(yīng)的圖象以后，分析相應(yīng)的條件確定其取值范圍，有助于減小題目難度，節(jié)約解題時間.

解：(1)作與x+2y=0平行的直線l，

當(dāng)直線l經(jīng)過點C時，z有最大值，

故zmax=3+2×5-4=9；

( )

思考：本題涉及的函數(shù)是一個抽象函數(shù)，因此可以根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解，由題意構(gòu)造一個符合條件的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象性質(zhì)和三角形內(nèi)角范圍求解.

∴f(x)的圖象如圖所示，

由圖象可得：當(dāng)f(cosA)<0時，

又∵A是△ABC的內(nèi)角，∴A∈(0，π)，

通過上述四種“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用可以知道，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對解題能夠起到事半功倍的效果.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能夠避免復(fù)雜的運(yùn)算和推理過程，還能直觀形象地發(fā)現(xiàn)解題技巧，得到解題思路，簡化解題過程.