讓抽象的符號(hào)承載起數(shù)學(xué)思維的綻放

池紅梅

［摘 要］符號(hào)意識(shí)是指能主動(dòng)地去感知和理解符號(hào)，積極運(yùn)用各類符號(hào)來幫助自己理解、表達(dá)、分析和解決問題，并且讓這樣一種能力內(nèi)化為骨子里的意識(shí)。每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都是人類智慧的結(jié)晶。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)的再創(chuàng)造過程，讓抽象的符號(hào)承載起意義的理解、規(guī)律的表達(dá)、文化的浸潤，是培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的有效途徑。

［關(guān)鍵詞］符號(hào)意識(shí)；意義理解；規(guī)律表達(dá)；文化浸潤

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）26-0004-04

數(shù)學(xué)符號(hào)具有準(zhǔn)確性、抽象性、形式化等特征。常見的數(shù)學(xué)符號(hào)從作用上可分為元素符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、結(jié)合符號(hào)、性質(zhì)符號(hào)、標(biāo)識(shí)符號(hào)和單位符號(hào)七大類，每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都經(jīng)歷了“萌芽創(chuàng)生—使用優(yōu)化—推廣應(yīng)用”的發(fā)展過程。從某種程度上來講，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程便是和數(shù)學(xué)符號(hào)打交道的過程。數(shù)學(xué)符號(hào)本身所具備的簡潔性、代表性、準(zhǔn)確性使其具有極大的推廣性與實(shí)用性，但數(shù)學(xué)符號(hào)的高度抽象性與形式化的特征，也給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了困難。因此，只有讓抽象的符號(hào)承載起數(shù)學(xué)思維的綻放，方能達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)要求。

一、符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵解讀

符號(hào)，指代表事物的標(biāo)記、記號(hào)，從廣義上來看，聲音、語言、文字、動(dòng)作、圖表、圖畫、圖像等均屬于符號(hào)的范疇。意識(shí)，即為覺察，如看見樹枝發(fā)綠就意識(shí)到已經(jīng)是春天了；又指人的頭腦對客觀物質(zhì)世界的反映，是感覺、思維等各種心理過程的總和，其中的思維是人類特有的反映現(xiàn)實(shí)的高級(jí)形式?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將符號(hào)意識(shí)解讀為“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性”。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。由此可見，符號(hào)是一種靜態(tài)的存在，記住符號(hào)本身并不是最重要的，最重要的是能主動(dòng)地去感知和理解符號(hào)，積極運(yùn)用各類符號(hào)來幫助理解、表達(dá)、分析和解決問題，并且讓這樣一種能力內(nèi)化為骨子里的意識(shí)：不需要任何外界的提示，大腦便會(huì)主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)去進(jìn)行思維，就如人的潛意識(shí)一般。

生理學(xué)上有一個(gè)現(xiàn)象叫“肌肉記憶”，即人體的肌肉是具有記憶效應(yīng)的，同一種動(dòng)作重復(fù)多次之后，肌肉就會(huì)形成條件反射。由此說明，加強(qiáng)訓(xùn)練，不僅大腦，連肌肉也能形成記憶。當(dāng)然，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)并不是說要進(jìn)行大量、機(jī)械的重復(fù)練習(xí)，相反，符號(hào)意識(shí)的形成并非一日之功，唯有持之以恒。

二、培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)的教學(xué)實(shí)踐

對于北師大版教材四年級(jí)上冊第五單元“認(rèn)識(shí)方程”中的“用字母表示數(shù)”，很多教師都認(rèn)為這是培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的第一節(jié)課。其實(shí)不然，學(xué)生從學(xué)前教育開始，甚至從呱呱墜地開始，就已無意識(shí)地接受各種與數(shù)學(xué)符號(hào)有關(guān)的教育。因此，教師要從一年級(jí)開始強(qiáng)化學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)。

1.讓符號(hào)承載起意義的理解

【案例1】從計(jì)數(shù)到記數(shù)，完成對抽象數(shù)字符號(hào)的意義建構(gòu)

計(jì)數(shù)，即把數(shù)量數(shù)出來；記數(shù)，即把數(shù)出來的數(shù)表示出來。現(xiàn)在使用的阿拉伯?dāng)?shù)字0～9，便是將數(shù)出來的數(shù)表示出來，其數(shù)字符號(hào)本身并不具備相應(yīng)的數(shù)量意義。比如數(shù)字3，和它所表示的數(shù)量3是沒有任何關(guān)系的。在人類的記數(shù)發(fā)展中，先是采用刻痕、結(jié)繩等方式進(jìn)行一一對應(yīng)的實(shí)物記數(shù)，再用小棒、圓圈等進(jìn)行半抽象記數(shù)，最后發(fā)展到用全抽象的符號(hào)記數(shù)。以教材圖（如圖1）為例，對于3個(gè)皮球，先是畫3個(gè)圓圈表示，感受到自然數(shù)一個(gè)一個(gè)累加的屬性，再約定俗成：凡是像這樣具有3個(gè)屬性的物體，都用符號(hào)“3”來表示，其他數(shù)字符號(hào)也是如此。也就是說，如果一開始，用符號(hào)“4”來記錄數(shù)量3，那現(xiàn)在的數(shù)字3就是數(shù)字4的模樣。抽象的數(shù)字符號(hào)，是人類在歷史長河中通過優(yōu)化而流傳下來的約定俗成。

在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生先深度理解一一對應(yīng)的計(jì)數(shù)，再過渡到抽象的記數(shù)，最后形成符號(hào)意識(shí)：3個(gè)蘋果、3筐蘋果、3棵蘋果樹、3頭牛、3座房子……不管物體的形狀、大小、屬性如何，均可以用符號(hào)“3”來表示，也就是它們的數(shù)量都是3。

【案例2】從數(shù)位到數(shù)值，完成對位值制的意義建構(gòu)

學(xué)生經(jīng)歷了對0～9的數(shù)字符號(hào)的意義建構(gòu)后，學(xué)習(xí)數(shù)字符號(hào)10，11……是一個(gè)記數(shù)意義的重要跨越，即位值制。北師大版教材一年級(jí)上冊第七單元“加與減（二）”的第一課時(shí)為“古人計(jì)數(shù)”，教學(xué)內(nèi)容為讓學(xué)生認(rèn)、讀、寫11～20各數(shù)。對此，部分教師理解不夠，認(rèn)為學(xué)生早就會(huì)認(rèn)、讀、寫100以內(nèi)的數(shù)，不明白為什么還要專門安排課時(shí)來學(xué)習(xí)。本課教學(xué)的核心目標(biāo)是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到位值制的意義，像符號(hào)“10”，明明就是一個(gè)數(shù)字符號(hào)“1”和一個(gè)數(shù)字符號(hào)“0”的組合，怎么就能表示數(shù)量10的意義呢？同樣的，11明明就是兩個(gè)數(shù)字符號(hào)“1”的組合，怎么就能表示數(shù)量11的意義呢？

“古人計(jì)數(shù)”（如圖2）這一課是學(xué)生第一次正式學(xué)習(xí)個(gè)位、十位，也就是數(shù)位的相關(guān)知識(shí)。按照0～9的抽象記數(shù)法則，是不是每一個(gè)不同的數(shù)都要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)與之對應(yīng)的抽象的數(shù)字符號(hào)呢？數(shù)的個(gè)數(shù)是無限多的，要?jiǎng)?chuàng)造無限多個(gè)數(shù)字符號(hào)來表示不同的數(shù)，只會(huì)極大地加重人類的記數(shù)與運(yùn)算等負(fù)擔(dān)，于是隨著社會(huì)的發(fā)展，人類最終選擇用位值制來作為通用的記數(shù)法則。本課的教學(xué)重點(diǎn)便是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，不同的數(shù)字符號(hào)在不同的位置可以表示不同的意義及大小?！俺橄蟮臄?shù)字符號(hào)+不同的位置”是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)更大的數(shù)與更小的數(shù)（小數(shù)）的意義的根基。比如，在教學(xué)小數(shù)的意義時(shí)，為什么小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)會(huì)改變小數(shù)的大?。科涓驹蚴切?shù)點(diǎn)所處的位置不同，各個(gè)數(shù)字所在的數(shù)位便不同，其表示的大小與意義自然也就不同。

2.讓符號(hào)承載起規(guī)律的表達(dá)

【案例3】“一下打一串”，促進(jìn)代數(shù)思維的萌芽

在教學(xué)“20以內(nèi)的加法”后，筆者團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了一節(jié)練習(xí)課“數(shù)學(xué)好玩之打地鼠——20以內(nèi)的加法練習(xí)”，其中有這樣一個(gè)情境（如圖3）：

對于零星出現(xiàn)的幾只地鼠，能說出地鼠所代表的算式和結(jié)果，便算作打地鼠成功。在學(xué)生熟悉游戲規(guī)則后，教師出示一串地鼠，問：“你能用一個(gè)算式，便打掉這一串地鼠嗎？”學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這一串地鼠對應(yīng)的算式都是相同加數(shù)相加，于是給出了各種各樣的答案：（）+（）、○+○、△+△、☆+☆……甚至有學(xué)生寫出“A+A”的算式。在這里，教師當(dāng)然不需要教學(xué)用字母表示數(shù)，但是學(xué)生已經(jīng)能夠初步意識(shí)到相同的符號(hào)可以代表相同的數(shù)，并且能用這樣一個(gè)高度抽象的算式概括這一串算式，甚至還能超越表格，想到11+11、12+12、100+100……

教師出示一串地鼠（如圖4-1），學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)地鼠所代表的算式的和都為12。哪如何用一個(gè)算式表示呢？學(xué)生能很快想到用符號(hào)來代替（如圖4-2），找出這一組算式的算式之王——10+2與2+10，并發(fā)現(xiàn)其他算式看起來雖然不是10+2，但在計(jì)算的時(shí)候都能轉(zhuǎn)化成10+2。最后，教師再給出幾串有規(guī)律的地鼠，以對角線為對稱軸形成對稱圖形（如圖4-3）。這樣，即使在一年級(jí)時(shí)不教學(xué)對稱的含義，也可以讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)的對稱之美。

本課用“怎樣才能做到一下打一串”的任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生感受相同的符號(hào)可以代表相同的數(shù)，學(xué)生的代數(shù)思維由此萌芽了。本節(jié)課作為一節(jié)練習(xí)課，卻通過這樣游戲化的情境，達(dá)到了寓教于樂的教學(xué)目的。

3.讓符號(hào)承載起文化的浸潤

【案例4】除法豎式為什么與眾不同？基于算理深化對運(yùn)算符號(hào)的認(rèn)識(shí)

“+、-、×、÷”作為現(xiàn)在常用的四種運(yùn)算符號(hào)，也有著深厚的歷史淵源：“+”號(hào)是由拉丁文“et”（“和”的意思）演變而來的；“-”號(hào)是從拉文“minus”（“減”的意思）演變而來的;“÷”的使用，可以追溯到1630年英國人約翰·比爾的著作，人們推測他是將阿拉伯人的除號(hào)“-”與比的記號(hào)“∶”合并轉(zhuǎn)化而成的；18世紀(jì)，美國數(shù)學(xué)家歐德萊把“×”作為乘號(hào)，他認(rèn)為“×”是“+”斜起來的另一種表示增加的符號(hào)。如此可見，每一個(gè)看似簡單的數(shù)學(xué)符號(hào)都承載著深厚的數(shù)學(xué)文化。同理，對于加、減、乘、除的豎式計(jì)算，只有“÷”演變?yōu)榱恕癧]”，這是為什么？對此，筆者團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了一節(jié)課——“除法豎式的變遷”，以幫助學(xué)生基于算理來認(rèn)識(shí)與理解除法豎式里的符號(hào)變遷。

課前出示任務(wù)（如圖5）：完成四道豎式計(jì)算，想一想，哪一道算式最特別，為什么？

絕大部分學(xué)生認(rèn)為除法豎式最特別：一是書寫格式不同，加、減、乘法都是從上往下計(jì)算并記錄，而除法是先里后外，一會(huì)兒上一會(huì)兒下；二是除法的運(yùn)算順序不同，加、減、乘法都是從低位開始計(jì)算，而除法是從高位開始計(jì)算。正因?yàn)槌ǖ呐c眾不同，也因?yàn)槌ǖ挠?jì)算里還包括了乘法和減法的計(jì)算，因此在四種運(yùn)算中，學(xué)生計(jì)算除法的出錯(cuò)率是最高的。如何更好地幫助學(xué)生基于算理的理解來提高除法運(yùn)算的正確率？研究除法豎式里的符號(hào)變遷，是一條可行之路。

通過研究18世紀(jì)歐洲的除法豎式（如圖6），學(xué)生就能感受到計(jì)算除法實(shí)際上就是在做減法，每次減去相同的減數(shù)；初步感知到，為了計(jì)算方便，就要先減去更多的部分，也就是為什么除法會(huì)從高位開始計(jì)算。正如我們在生活中進(jìn)行估算時(shí)也是先從高位開始估。

如圖7所示，通過觀察“174÷6”的除法豎式的演變，學(xué)生感受到“÷”在豎式里演變成“[]”是為了更好地記錄除法計(jì)算的過程；變的是記錄的格式，不變的是除法就是減法的計(jì)算本質(zhì)。而除法豎式與眾不同之處，是除法豎式需要記錄除法的5件事：分誰？怎么分？分了多少？分的結(jié)果是什么？還有剩嗎？（如圖8）

因?yàn)槌ㄘQ式需要記錄5件事，所以才會(huì)有與眾不同的記錄方式。這節(jié)課面向四年級(jí)學(xué)生時(shí)就做到“除到有余數(shù)為止”；到了五年級(jí)的小數(shù)除法，就是將剩余的數(shù)細(xì)化計(jì)數(shù)單位后進(jìn)行再分再減，基于算理的理解便將整數(shù)除法與小數(shù)除法打通了。

這樣一節(jié)數(shù)學(xué)文化課，表面上是探究除法豎式中的符號(hào)變遷，實(shí)質(zhì)卻是基于算理的理解強(qiáng)化學(xué)生符號(hào)意識(shí)與運(yùn)算能力的培養(yǎng)。

再看以上幾個(gè)教學(xué)案例，每一個(gè)看似冰冷而抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，都經(jīng)歷了數(shù)學(xué)家與整個(gè)人類的火熱思考。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先要了解每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的來龍去脈，再帶領(lǐng)學(xué)生去經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)的再創(chuàng)造，只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。因?yàn)橹挥凶屆恳粋€(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都綻放出數(shù)學(xué)思維的光芒，學(xué)生的符號(hào)意識(shí)才能根植于心。

（責(zé)編 金 鈴）