非線性多自由度系統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅動建模和響應預測

蔡君同 尹強 丁千

摘要：由于工程系統(tǒng)的復雜性和參數(shù)不確定性，利用力學原理建立的動力學控制方程常難以滿足精度需求?；跀?shù)據(jù)驅動的系統(tǒng)建模和響應預測，利用動力學狀態(tài)方程的數(shù)值解模擬實驗中測得的不同外激勵下的系統(tǒng)響應，并用于訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，構建包含訓練數(shù)據(jù)間已知關系的損失函數(shù)以提高模型精度，得到表達系統(tǒng)狀態(tài)關系的數(shù)據(jù)模型。將該神經(jīng)網(wǎng)絡模型納入常微分方程求解器，可預測系統(tǒng)在不同激勵下的響應，并獲得幅頻響應關系。將建模方法分別應用于含立方型和間隙型非線性的彈簧質量系統(tǒng)，計算結果表明，可根據(jù)響應數(shù)據(jù)建立準確的數(shù)據(jù)模型，并獲得非線性系統(tǒng)主共振時的滯后和跳躍響應。研究還表明，訓練數(shù)據(jù)越多、數(shù)據(jù)覆蓋狀態(tài)越完整，數(shù)據(jù)模型精度越好，且預測響應的誤差越小。

關鍵詞：非線性系統(tǒng)；數(shù)據(jù)驅動；系統(tǒng)建模；響應預測

中圖分類號： O322；O313.3??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1101-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.007

引言

隨著工程中研究對象的復雜化，建立準確的系統(tǒng)動力學控制方程越來越困難。利用力學原理，在各種假設條件基礎上建立的模型，常常難以反映真實動力學特性，響應預測精度也往往難以滿足要求[1]。大數(shù)據(jù)科學的快速發(fā)展為基于系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)的動力學系統(tǒng)建模和響應預測帶來了可能性[2]。

基于數(shù)據(jù)的系統(tǒng)分析方法分為參數(shù)方法和非參數(shù)方法。參數(shù)方法通常需要一個假設模型，并進行初始參數(shù)化。利用系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)，通過最小二乘和最大似然估計法來減小模型預測誤差，實現(xiàn)模型參數(shù)的更新[3?5]。在處理非線性動力學問題時，通常假設初始模型結構為雙線性結構、Duffing 結構或滯回結構[6?7]。非參數(shù)方法包括小波變換、Hilbert?Huang變換、神經(jīng)網(wǎng)絡方法等，不需要關于系統(tǒng)的先驗信息。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡[8]具有很強的非線性擬合能力，通過數(shù)據(jù)訓練可映射任意復雜的非線性關系，可直接建立輸入與輸出數(shù)據(jù)之間的映射關系，是最受關注的復雜系統(tǒng)動力學建模方法。Pei 等[9?10]利用神經(jīng)網(wǎng)絡擬合非線性回復力。Derkevorkian等[11]將神經(jīng)網(wǎng)絡與常微分方程（ODE）求解器相結合，模擬土體結構相互作用并預測系統(tǒng)響應。Witters等[12]建立神經(jīng)網(wǎng)絡的客車半主動阻尼器模型，該模型能夠準確、有效地描述阻尼器的動態(tài)特性?；跈C器學習算法的數(shù)據(jù)驅動建模，大都把狀態(tài)向量的時間導數(shù)數(shù)據(jù)看作已知。因為導數(shù)運算對采集數(shù)據(jù)中噪聲因素非常敏感，若不能準確獲得狀態(tài)向量的導數(shù)數(shù)據(jù)，就會產(chǎn)生較大誤差。Raissi等[13]采用線性多步法限制狀態(tài)向量與其導數(shù)之間的關系，減少了獲取數(shù)據(jù)過程產(chǎn)生的誤差。

利用神經(jīng)網(wǎng)絡求解常/偏微分運動方程也是近年來研究熱點之一。將神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出作為方程的一個候選解，通過訓練來更新網(wǎng)絡權重參數(shù)從而降低控制方程的不平衡，繼而使候選解不斷接近真解。例如，Chen 等[14]利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡求解常微分方程，采用常規(guī)算法驗證結果的準確性。Raissi等[15] 利用神經(jīng)網(wǎng)絡對時間離散和時間連續(xù)的兩類偏微分方程模型進行求解及辨識。Wei 等[16]基于深度強化學習理論對范德波方程及經(jīng)典偏微分方程求解，結果表明對穩(wěn)定周期解求解精度高、速度快。但相較于偏微分方程，常微分方程計算問題中所得的神經(jīng)網(wǎng)絡大多只對當前數(shù)據(jù)集有效，主要原因是損失函數(shù)對模型訓練過程的約束較弱，導致訓練后的神經(jīng)網(wǎng)絡不能很好地逼近理論模型。因此，進行數(shù)據(jù)驅動的動力學研究，不能僅僅著眼于數(shù)據(jù)本身，更要關注其代表的物理含義，借用力學特征從數(shù)據(jù)間挖掘潛在的動力學規(guī)律。

研究動力學問題時，很多工程系統(tǒng)都可以簡化成單自由度或多自由度彈簧質量系統(tǒng)，同時也考慮阻尼、間隙等因素的影響。考慮到工程系統(tǒng)的復雜性和參數(shù)不確定性，基于力學原理常難以建立滿足需求的模型，因此本文研究數(shù)據(jù)驅動的非線性動力學系統(tǒng)建模，并基于數(shù)據(jù)模型的響應預測結果，驗證數(shù)據(jù)模型的有效性。本文研究非自治動力學系統(tǒng)，其狀態(tài)方程形式下外激勵項與響應項不存在耦合關系。首先給出建模流程，即由已知動力學狀態(tài)方程獲得若干外激勵下的響應數(shù)據(jù)，并作為神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練數(shù)據(jù)，用來使神經(jīng)網(wǎng)絡代替狀態(tài)方程中含有響應項的部分。同時利用訓練數(shù)據(jù)間已知關系構建損失函數(shù)，從而提高數(shù)據(jù)模型精度。然后將該方法應用于單自由度和三自由度彈簧質量系統(tǒng)，通過 ODE 求解器獲得訓練后的系統(tǒng)幅頻響應曲線，討論訓練數(shù)據(jù)噪聲和訓練數(shù)據(jù)特征對數(shù)據(jù)模型精度的影響。

1? 問題描述

考慮一個非自治動力學系統(tǒng)：

式中? u （ t ）=[ u1（ t ） u2（ t ）… un （ t ）]T ∈ Rn 為位移向量；M 為質量矩陣；G（ u（ t ），u? （ t ））為廣義回復力；F （ t ）為外激勵力。

將方程（1）寫成以下狀態(tài)方程形式：

式中 v （ t ）=[ v1（ t ） v2（ t ）…vn （ t ）]T ∈ Rn 為速度向量。為簡便起見，進一步將方程（2）表示為：

式中? X （ t ）=[ uT （ t ） vT （ t ）]T ∈ R 2n 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f （X （ t ））∈ R 2n，fˉ（t ）=[01× n （ M -1 F （ t ））T ]T ∈R 2n。

本文研究 G（ u，u? ） 為未知時的數(shù)據(jù)建模，因其包含在f（ X ）中，將利用已知的輸入輸出數(shù)據(jù)訓練一個神經(jīng)網(wǎng)絡f?（ X ）來代替f（ X ），從而得到可用于動力學計算的數(shù)據(jù)模型?；咀龇ㄊ牵呵蠼庖阎獱顟B(tài)方程（模擬實際測量），得到對應于外激勵fˉ（ t ）的狀態(tài)向量響應數(shù)據(jù) X（ t ），用于訓練神經(jīng)網(wǎng)絡f?（ X ），使其反映從 X 到f（ X ）的映射關系。將訓練后的神經(jīng)網(wǎng)絡代入式（3），便可獲得用于響應預測的狀態(tài)方程：

給定方程外激勵fˉ（ t ）及狀態(tài)初始值 X（ t0），即可利用 ODE 求解器求解、分析動力學系統(tǒng)（4）的響應 X （ t ）。

2? 求解方法

2.1? 線性多步法

用線性多步法求解常微分方程初值問題，是利用已知的前 k 個時刻的狀態(tài)向量表示下一時刻的狀態(tài)向量，其優(yōu)勢是既保證計算精度，又不會增加太多計算量[17]。

為求解ti +1時刻的狀態(tài)向量 X（ ti +1），k 步線性多步法計算格式為：

式中i = k -1，…，N -1，αp 與βq 為常數(shù)，h 為數(shù)據(jù)采樣時間間隔，N 為數(shù)據(jù)采樣點數(shù)。當β-1= 0時，上式是顯性線性多步格式；當β-1≠ 0時，上式是隱性線性多步格式。公式（5）給出了 k+1個時刻的狀態(tài)向量 X 及方向場 X? 之間滿足的定量關系。將方程（3）代入式（5），可得：

由于提供了狀態(tài)向量與狀態(tài)方程（3）右端項之間的約束關系，方程（6）將用于神經(jīng)網(wǎng)絡中損失函數(shù)的構建。

2.2? 數(shù)據(jù)驅動的動力學系統(tǒng)建模流程

已知若干外激勵和相應的系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)，進行系統(tǒng)數(shù)據(jù)驅動的動力學建模流程如圖1所示。

1）獲取神經(jīng)網(wǎng)絡訓練數(shù)據(jù)。給定 M 個不同頻率和幅值外激勵的時間序列數(shù)據(jù)fl（-）（ tj ），l=1，…， M；j=0，1，…，N，利用 ODE 求解器對已知的狀態(tài)方程直接求解，獲得相應的系統(tǒng)狀態(tài)向量的時間序列Xfl（-）（tj ），用其模擬工程中實際測量數(shù)據(jù)。

2）訓練神經(jīng)網(wǎng)絡f?（ X ）。將以上狀態(tài)向量數(shù)據(jù) X （tj ）作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入數(shù)據(jù)，神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出數(shù)

據(jù) Y （tj ）應滿足 Y （tj ）=f?（ X （tj ））。

根據(jù)線性多步法，公式（6）給出了神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入與輸出數(shù)據(jù)應該滿足的定量關系，即：

為提高神經(jīng)網(wǎng)絡的模型精度，根據(jù)狀態(tài)向量中位移變量和速度變量的已知關系，構建網(wǎng)絡訓練的損失函數(shù)。損失函數(shù)是衡量神經(jīng)網(wǎng)絡輸出數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)之間差距大小的指標，網(wǎng)絡訓練的本質正是最小化損失函數(shù)的過程。定義 X（tj ）中前 n 維數(shù)據(jù)為 X1（tj ），后 n 維數(shù)據(jù)為 X2（tj ）；同理，定義輸出數(shù)據(jù) Y （tj ）中前 n 維數(shù)據(jù)為 Y1（tj ），后 n 維數(shù)據(jù)為 Y2（tj ）。

根據(jù)方程（2），（3）可得

根據(jù)線性多步法給定的神經(jīng)網(wǎng)絡輸入輸出數(shù)據(jù)之間關系（7）及由訓練數(shù)據(jù)間的已知關系確定的部分神經(jīng)網(wǎng)絡映射信息（8），給出了神經(jīng)網(wǎng)絡訓練過程的損失函數(shù) L 為：

式中γ為一常數(shù)，且：

利用神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入與輸出數(shù)據(jù)構建損失函數(shù) L 后，以最小化損失函數(shù)為目標，用 Adam 方法[18]優(yōu)化、更新神經(jīng)網(wǎng)絡的權重參數(shù)。當損失函數(shù)數(shù)值下降到所需精度ξ時，認為神經(jīng)網(wǎng)絡已完成訓練并停止迭代。

激活函數(shù)也是神經(jīng)網(wǎng)絡的重要組成部分之一。考慮到訓練數(shù)據(jù)及其導數(shù)的連續(xù)性，激活函數(shù)選為 tanh 函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡設定為一個隱藏層，每層256個神經(jīng)元。綜上，通過訓練得到狀態(tài)方程（4）中的神經(jīng)網(wǎng)絡f?（ X ）。

3）將神經(jīng)網(wǎng)絡f?（ X ）代入狀態(tài)方程（4），并利用 ODE 求解器求解和預測外激勵fˉ（ t ）變化情況下系統(tǒng)狀態(tài)向量的響應 X（ t ）。

為直觀表現(xiàn)建立的數(shù)據(jù)模型在外激勵變化情況下的響應預測效果，改變方程（4）中外激勵fˉ（ t ），利用 ODE 求解器多次求解，得到系統(tǒng)在不同激勵力下的狀態(tài)響應 X（ t ），取穩(wěn)定狀態(tài)下 X（ t ）中的位移幅值。通過正向和反向掃頻計算，得到幅頻響應曲線以檢驗數(shù)據(jù)驅動建模能否反映共振幅值跳躍的非線性現(xiàn)象。

3 數(shù)值算例

針對單自由度及三自由度非線性振動系統(tǒng)，研究上述數(shù)據(jù)驅動的系統(tǒng)建模和響應預測能力。為保證工程應用情況下的有效性，著重探究訓練數(shù)據(jù)中噪聲和訓練數(shù)據(jù)特征對數(shù)據(jù)模型精度的影響。

3.1? 立方非線性的單自由度彈簧質量系統(tǒng)

考慮帶有立方非線性的單自由度彈簧質量系統(tǒng)，如圖2所示。

動力學狀態(tài)方程為：

其中：

考慮系統(tǒng)維度較低，將線性多步法公式（7）簡化為以下隱性單步形式：

對應的損失函數(shù)為：

其中：

根據(jù)圖1的流程，利用已知的外激勵及響應數(shù)據(jù)訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，代替狀態(tài)方程中的f（ u1，v1）。

假設 m 1=1 kg，c1=0.5 N·s/m，k1=36 N/m， k2=150 N/m3，即無阻尼固有圓頻率為6 rad/s 。通過 ODE 求解器計算動力學狀態(tài)方程（11），并利用方程數(shù)值解來模擬系統(tǒng)在外激勵幅值 A=3 N 、外激勵頻率ω=6，7，8 rad/s 時的時域響應數(shù)據(jù)，采樣時長0～30 s，采樣頻率100 Hz 。將訓練后的神經(jīng)網(wǎng)絡作為方程（4）的廣義回復力，利用 ODE 求解器計算外激勵為3cos（10t ）時的時域響應數(shù)據(jù)，預測的質量塊位移曲線如圖3所示。

圖3中實線表示求解已知動力學狀態(tài)方程（11）的數(shù)值解，星號是基于數(shù)據(jù)模型的計算解，兩者差距極小。圖 4（ a ）為幅頻響應曲線的對比。激勵幅值提高到5 N，也能得到較好的預測結果，如圖4（b）所示。但當 A=8 N 時，由于預測工況與訓練工況的激勵幅值相差過大，數(shù)據(jù)模型的共振區(qū)響應預測精度相對變差，如圖4（ c ）所示。

響應預測結果存在誤差的本質是：構建的數(shù)據(jù)模型與理論模型之間存在差異，兩者不能完全等效替換。究其原因，一是本文側重利用神經(jīng)網(wǎng)絡進行系統(tǒng)建模和響應預測的流程，神經(jīng)網(wǎng)絡用了單個隱藏層，網(wǎng)絡結構較簡單，若采用更為復雜的神經(jīng)網(wǎng)絡結構，有可能提高對理論模型的逼近能力；二是上述算例中選用單一外激勵幅值情況下的響應數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡訓練數(shù)據(jù)，訓練數(shù)據(jù)使用不同激勵幅值下的響應數(shù)據(jù)，將減小這類響應預測誤差。為驗證響應預測能力與訓練數(shù)據(jù)對應外激勵幅值的關系，使用外激勵頻率和幅值均變化時的多幅值響應數(shù)據(jù)，即采集外激勵幅值 A 分別為3，5 N，外激勵頻率ω分別為7，8 rad/s 時的系統(tǒng)時域響應數(shù)據(jù)。圖 5是訓練數(shù)據(jù)選用單幅值和多幅值兩種響應數(shù)據(jù)時的幅頻響應曲線（A=8 N）。結果表明，選用多幅值響應數(shù)據(jù)進行訓練可以有效提高神經(jīng)網(wǎng)絡在激勵變化情況時的響應預測能力。

考慮到訓練數(shù)據(jù)是不同外激勵情況下的系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)，因此外激勵情況將影響訓練數(shù)據(jù)特征，進而影響網(wǎng)絡的訓練。為探究數(shù)據(jù)模型精度與訓練數(shù)據(jù)對應的外激勵頻率的關系，采集外激勵幅值 A=3 N 、激勵頻率ω分別等于6，7，8 rad/s 和5，6，8 rad/ s 的兩組系統(tǒng)時域響應數(shù)據(jù)，采樣時長0～30 s，采樣頻率100 Hz 。圖6為訓練數(shù)據(jù)選用不同激勵頻率下的響應數(shù)據(jù)時的幅頻響應曲線（A=3 N），兩組訓練數(shù)據(jù)對應的計算值與準確值均基本吻合，且可有效得到系統(tǒng)幅值跳躍時的激勵頻率；同時訓練數(shù)據(jù)對應的激勵頻率越靠近共振頻率，數(shù)據(jù)模型的響應預測結果越好。

采集系統(tǒng)狀態(tài)響應數(shù)據(jù)時，數(shù)據(jù)的采樣頻率大小是必要的考慮因素。探究采樣頻率對預測精度的影響，將作為數(shù)據(jù)獲取時采樣頻率設定的依據(jù)。采集外激勵幅值 A=3 N，外激勵頻率ω=6，7，8 rad/s 時的系統(tǒng)時域響應數(shù)據(jù)，采樣頻率由100 Hz 變?yōu)?00 Hz 。圖7為由采樣頻率變化前后的訓練數(shù)據(jù)預測的幅頻響應曲線（A=8 N）。結果表明，采樣頻率滿足采樣定理后，改變采樣頻率對激勵幅值變化時的響應預測能力并沒有明顯增強效果。原因是當改變采樣頻率時，損失函數(shù)中數(shù)據(jù)之間應遵循的動力學規(guī)律并沒有很大變化。

為探究構建損失函數(shù)指標 e2j 對提高響應預測能力的有效性，采集外激勵幅值 A=3 N 、外激勵頻率ω=6，7，8 rad/s 的系統(tǒng)時域響應數(shù)據(jù)，采樣時長0～30 s，采樣頻率100 Hz 。圖8為選取不同損失函數(shù)指標時對應的幅頻響應曲線（A=3 N），紅色曲線為損失函數(shù) L 只包含指標 e1i 時的幅頻響應曲線，藍色曲線為 L 包含指標 e1i 和 e2j 時的幅頻響應曲線，前后兩者選用相同的網(wǎng)絡訓練時間。結果表明，在損失函數(shù)中補充指標 e2j 能有效地提高數(shù)據(jù)模型的響應預測能力。

將獨立、同分布的高斯噪聲加到求解方程（11）得到的原始響應數(shù)據(jù)中，模擬包含環(huán)境噪聲的響應數(shù)據(jù)。噪聲平均幅值為零，標準差分別等于原始響應數(shù)據(jù)標準差的2%和5%。圖 9考慮了訓練數(shù)據(jù)中噪聲對響應預測的影響（A=3 N），可以看出預測精度較好，說明所建立的數(shù)據(jù)模型對噪聲數(shù)據(jù)有較好魯棒性。

3.2? 間隙非線性的三自由度彈簧質量系統(tǒng)

考慮具有間隙非線性的三自由度彈簧質量系統(tǒng)，如圖10所示。

圖10中，k4為立方非線性彈簧，系統(tǒng)動力學方程表示為：

方程（16）中非線性項為：

式中δ表示間隙，大小為2 mm 。假設 m 1= m2= m3=1 kg，c1= c2= c3=1 N·s/m，k1= k2= k3=600 N/m，k4=6000 N/m3，第一階無阻尼固有圓頻率為10.9 rad/s 。通過求解動力學方程（16）來模擬外激勵幅值 A=1 N 、外激勵頻率ω=10，11，12rad/s 時的系統(tǒng)時域響應數(shù)據(jù)的采集，采樣時長0～30 s，采樣頻率100 Hz 。圖11（ a ）為基于數(shù)據(jù)模型預測的最右側質量塊的幅頻響應曲線（A=1 N）。增大激勵幅值，預測結果仍與準確值基本吻合（圖11（b）為 A=1.5 N 時最右側質量塊的幅頻響應曲線）。結果表明，針對具有間隙非線性的三自由度彈簧質量系統(tǒng)，建立的數(shù)據(jù)模型能夠有效地計算幅頻響應曲線。

圖12為考慮響應數(shù)據(jù)中包含噪聲時的幅頻響應曲線（A=1N），可以發(fā)現(xiàn)計算值與準確值基本吻合，說明該方法對不同等級噪聲影響下的間隙非線性三自由彈簧質量系統(tǒng)同樣具有較強的魯棒性。

4 結論

本文研究數(shù)據(jù)驅動的非線性多自由度動力學系統(tǒng)建模和響應預測。通過求解已知狀態(tài)方程模擬系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)，并用于訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，然后利用 ODE 求解器進行系統(tǒng)響應預測。依據(jù)訓練數(shù)據(jù)間已知關系構建損失函數(shù)，提高了數(shù)據(jù)模型精度。針對包含立方非線性及間隙非線性的彈簧質量系統(tǒng)進行數(shù)值驗證，結果表明：

（1）所提出的方法可根據(jù)系統(tǒng)若干外激勵與系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)進行外激勵幅值和頻率變化時的非線性彈簧質量系統(tǒng)響應預測，并進一步獲得系統(tǒng)幅頻響應，同時對訓練數(shù)據(jù)中的噪聲具有魯棒性。

（2）訓練數(shù)據(jù)特征對數(shù)據(jù)模型精度存在影響。訓練數(shù)據(jù)對應的外激勵頻率越靠近系統(tǒng)共振頻率，數(shù)據(jù)模型精度越好；使用外激勵幅值不單一的多幅值響應數(shù)據(jù)進行訓練，可以有效提高數(shù)據(jù)模型在外激勵幅值變化時的響應預測精度；改變訓練數(shù)據(jù)的采樣頻率對數(shù)據(jù)模型精度影響不大。

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Data ?driven modeling and response prediction of nonlinear multi?degree?of?freedom systems

CAI Jun?tong1，2，YIN Qiang1，2，DING Qian1，2

（1.Department of Mechanics，School of Mechanical Engineeing，Tianjin University，Tianjin 300350，China；

2.Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Control，Tianjin 300350，China）

Abstract： Due to the complexity of the engineering system and the uncertainty of the parameters，the dynamic control equations es? tablished by the principles of mechanics are often difficult to meet the requirements of precision . This paper studies data-driven sys? tem modeling and response prediction . First，the numerical solution of the dynamic state equation is used to simulate the system re? sponse under different external excitations measured in the experiment，and the neural network model is trained with the response data . The loss function containing the known relationship between the training data is constructed to improve the accuracy of the neural network，and the data model expressing state relationship is obtained . Then，the neural network model is incorporated into the ordinary differential equation solver to predict the response of the system under different excitations and obtain the amplitude - frequency response relationship . The modeling method is applied to the spring mass system with cubic and gap nonlinearity respec? tively . The calculation results show that an accurate data model can be established based on the response data and the hysteresis and jump responses of the nonlinear system at the main resonance can be obtained . The study also shows that the more the training data has and the more complete the data is，the better the accuracy of the data model and the smaller the error of the predicted re? sponse will be .

Key words ： nonlinear system；data?driven；system modeling；response prediction

作者簡介：蔡君同（1996—），男，碩士研究生。電話：17702299785；E ?mail：cccjuntong@126.com。

通訊作者：丁千（1963—），男，教授。電話：13502119753；E ?mail：qding@tju .edu .cn。