從元認(rèn)知視角探究“數(shù)學(xué)寫作”*

鐘進(jìn)均 (廣東省廣州市鐵一中學(xué) 510440)

唐志威 (廣州大學(xué) 510006)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出，要重視學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力的培養(yǎng)[1]．“數(shù)學(xué)寫作”是數(shù)學(xué)交流活動(dòng)中的一種書面交流形式，正式將“數(shù)學(xué)寫作”納入新人教版高中數(shù)學(xué)教材，這突顯了“數(shù)學(xué)寫作”的重要性．本文將采用案例研究法，從元認(rèn)知視角對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作的一個(gè)案例進(jìn)行探究．

1 相關(guān)概念及界定

(1)元認(rèn)知的概念[2].1976年，弗拉維爾(Flavell,John H.)提出了“元認(rèn)知”這一術(shù)語．他指出，元認(rèn)知通常被廣泛地定義為任何以認(rèn)知過程與結(jié)果為對(duì)象的知識(shí)，或是任何調(diào)節(jié)認(rèn)知過程的認(rèn)知活動(dòng)．元認(rèn)知的核心意義是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知．即認(rèn)知是認(rèn)知主體對(duì)自我心理狀態(tài)、能力、任務(wù)目標(biāo)、認(rèn)知策略等方面的認(rèn)識(shí)，同時(shí)元認(rèn)知又是認(rèn)知主體對(duì)自身各種認(rèn)知活動(dòng)的計(jì)劃、監(jiān)控和調(diào)節(jié)．元認(rèn)知的關(guān)鍵概念是元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn)．認(rèn)知主體對(duì)各種認(rèn)知活動(dòng)的監(jiān)控正是通過元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)、目標(biāo)(或任務(wù))和行動(dòng)(或策略)這四個(gè)方面的相互作用來實(shí)現(xiàn)的．

元認(rèn)知成分包括元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控．元認(rèn)知知識(shí)是人們具有的關(guān)于認(rèn)知活動(dòng)的一般性認(rèn)識(shí)，是通過經(jīng)驗(yàn)積累起來的關(guān)于認(rèn)知的陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)．元認(rèn)知知識(shí)分為三部分：①關(guān)于認(rèn)知個(gè)體的知識(shí)．指?jìng)€(gè)體具有的有關(guān)自己和他人作為認(rèn)知加工者的所有知識(shí)，包括個(gè)體內(nèi)差異的認(rèn)識(shí)．②關(guān)于認(rèn)知任務(wù)的知識(shí)，即對(duì)在完成認(rèn)知任務(wù)或目標(biāo)中所涉及的各種有關(guān)信息的認(rèn)識(shí)．③關(guān)于認(rèn)知策略的知識(shí)，即對(duì)認(rèn)知過程中關(guān)于各種有關(guān)策略知識(shí)的認(rèn)識(shí)．元認(rèn)知體驗(yàn)是人們?cè)趶氖抡J(rèn)知活動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的認(rèn)知和情感體驗(yàn)．元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知知識(shí)相輔相成．弗拉維爾指出，元認(rèn)知知識(shí)與元認(rèn)知體驗(yàn)具有部分重疊，某些元認(rèn)知體驗(yàn)具有元認(rèn)知知識(shí)的成分，而某些元認(rèn)知知識(shí)可上升為意識(shí)并形成相應(yīng)的元認(rèn)知體驗(yàn)．持續(xù)而穩(wěn)定的元認(rèn)知體驗(yàn)可能成為元認(rèn)知知識(shí)，而元認(rèn)知知識(shí)又指導(dǎo)著元認(rèn)知體驗(yàn)，并在一定程度上成為元認(rèn)知體驗(yàn)的內(nèi)容．在完成認(rèn)知任務(wù)的過程中，元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn)相互作用，互為補(bǔ)充，逐漸完善，最終完成認(rèn)知過程．元認(rèn)知監(jiān)控指?jìng)€(gè)體在進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)的全過程中，對(duì)自我認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行積極、自覺的監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié)．元認(rèn)知監(jiān)控就是自我監(jiān)控，必須建立在個(gè)體具備一定的元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn)的基礎(chǔ)上才能進(jìn)行．元認(rèn)知知識(shí)和元認(rèn)知體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中的價(jià)值體現(xiàn)，必須通過元認(rèn)知監(jiān)控去實(shí)現(xiàn)．

(2)“數(shù)學(xué)寫作”的界定.數(shù)學(xué)交流活動(dòng)是指在數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中學(xué)生之間、教師與學(xué)生之間以提高數(shù)學(xué)交流能力為目的的活動(dòng)，包括口頭交流和書面交流兩種形式．“數(shù)學(xué)寫作”是以提高核心素養(yǎng)為目標(biāo)，將自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的認(rèn)識(shí)與理解、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感想與體會(huì)用文字表達(dá)出來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是數(shù)學(xué)交流活動(dòng)的書面交流形式．[3]

2 基于元認(rèn)知視角的“數(shù)學(xué)寫作”案例探究

為了體現(xiàn)本研究的真實(shí)性和科學(xué)性，本文將理論與實(shí)踐相結(jié)合，完整如實(shí)地呈現(xiàn)一篇高一學(xué)生的數(shù)學(xué)寫作作品，從元認(rèn)知視角來探究數(shù)學(xué)寫作．

2.1 學(xué)生數(shù)學(xué)寫作的案例展示

第一個(gè)寫下數(shù)學(xué)日記，想想都會(huì)有些小興奮．從數(shù)學(xué)日記中，相信我能夠靜下心好好思考平時(shí)疏忽的東西，不僅對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有極大幫助，甚至對(duì)未來的學(xué)習(xí)、工作都有所裨益．盡管所學(xué)知識(shí)點(diǎn)不多，所做習(xí)題也較少，但我仍找到了一些有價(jià)值的東西．

問題1已知f(x)為一次函數(shù)，且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)．

剛看到這種題，我明明知道一次函數(shù)是一個(gè)很重要的條件，卻感到無從下手，甚至用參考書上一些復(fù)雜的方法求解都無法完成，但沒想到這道題沿用的卻是初中的y=kx+b的式子．

盡管想到初中的方法之后，問題顯得簡(jiǎn)單明了，但仍要注意不要混淆括號(hào)中的字母運(yùn)算順序，同樣運(yùn)用轉(zhuǎn)換的思想，如代入時(shí)x的變化．當(dāng)然，光是一道題無法引起深度的思考．

問題2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=0，且對(duì)任意x∈R有f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)．

出現(xiàn)在不同試卷的類似題，往往需要引起注意：重復(fù)出這一類型的題目意義何在？

這道題并不算難題，只要熟悉了便不成問題，但我卻從中發(fā)現(xiàn)了一些值得注意的地方．

(1)往往題目給的條件不多，這時(shí)需要我們將所涉及的知識(shí)點(diǎn)仔細(xì)思考，確保不遺漏易錯(cuò)點(diǎn)，也不要去將關(guān)系不大的地方挖深，既浪費(fèi)時(shí)間，又難有成效．

(2)一些題目需要化簡(jiǎn)為繁，再由繁入簡(jiǎn)，最簡(jiǎn)單的如解方程，便是自己創(chuàng)造條件，再由已知得出結(jié)論，比如函數(shù)f(x)=x2-2x+10，可化為f(x)=x2-2x+1+ 9=(x-1)2+9．

(3)由以上二例可以看出，進(jìn)入高中階段，對(duì)初中的一些知識(shí)也就有了更好更全面的理解，高一的方法想必多與初中相近，應(yīng)多思考．如函數(shù)的單調(diào)性就是“對(duì)y隨著x增大而增大”更好的詮釋，揣摩一下，也會(huì)受益良多．

對(duì)于數(shù)學(xué)寫作這種記錄的形式是知識(shí)的再一次梳理與加深，往往難題只是源于我們目光太過狹隘，多思考，想法更全面，把握題目前后的關(guān)聯(lián)是學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅，也是以后生活、工作的一大準(zhǔn)則．

2.2 基于元認(rèn)知視角的案例探究

(1)數(shù)學(xué)寫作有助于拓展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知知識(shí).元認(rèn)知知識(shí)作為元認(rèn)知結(jié)構(gòu)中重要的成分之一，是通過經(jīng)驗(yàn)積累起來的關(guān)于認(rèn)知的陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)．該案例中，學(xué)生在解決問題1時(shí)表述“明知道一次函數(shù)是一個(gè)很重要的條件，仍感到無從下手，甚至用參考書上一些復(fù)雜的方法求解都無法完成”，說明他能明晰“一次函數(shù)”的重要性，卻不知如何用該條件.從元認(rèn)知視角分析，即“一次函數(shù)”條件未能激發(fā)學(xué)生元認(rèn)知策略知識(shí)，學(xué)生缺少對(duì)一次函數(shù)使用策略的有關(guān)認(rèn)知，從而導(dǎo)致解題失?。?dāng)該生頓悟后，寫出了問題解決所需的“一次函數(shù)解析式”數(shù)學(xué)知識(shí)、“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想方法以及解題中每個(gè)過程的目的，這一過程暴露了學(xué)生的思考過程，其中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)所積累的，屬于陳述性知識(shí)，而展示的解題過程實(shí)際上為該生如何解決問題的思維過程，屬于程序性知識(shí)．因此，數(shù)學(xué)寫作能將學(xué)生元認(rèn)知知識(shí)完整呈現(xiàn)出來，并暴露該學(xué)生所處的元認(rèn)知知識(shí)水平，還有助于鞏固和拓展學(xué)生的元認(rèn)知知識(shí)．

(2)數(shù)學(xué)寫作能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知體驗(yàn).從元認(rèn)知體驗(yàn)視角來看，學(xué)生在數(shù)學(xué)寫作過程中產(chǎn)生了多次認(rèn)知和情感體驗(yàn)變化．從案例中可知該生在數(shù)學(xué)寫作時(shí)非常激動(dòng)，因?yàn)樗前鄡?nèi)首位進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作的學(xué)生，他的作品還可以供后續(xù)的同學(xué)參考和學(xué)習(xí)，這在心靈上給予了他一定的成就感和幸福感，但同時(shí)也給他帶來了一定的壓力，迫使他要追求數(shù)學(xué)寫作的質(zhì)量．學(xué)生最初對(duì)問題1“無從下手”，不難分析出此刻他內(nèi)心會(huì)產(chǎn)生一些困惑和焦慮；而當(dāng)學(xué)生頓悟后，從他陳述的“沒想到這道題沿用的卻是初中的y=kx+b的式子”這句話易知，學(xué)生此時(shí)非常驚訝；再當(dāng)其確認(rèn)自己能成功解決同一類型的題后，順勢(shì)總結(jié)出對(duì)該類型問題的思考以及“學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅，生活、工作的一大準(zhǔn)則”的感想，從中可看出他內(nèi)心此時(shí)此刻的喜悅之情．由此可知，學(xué)生在整個(gè)數(shù)學(xué)問題解決過程中，經(jīng)歷了由最初的焦慮感到問題解決后的成就感和幸福感．因此，數(shù)學(xué)寫作給學(xué)生搭建了一個(gè)抒發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感體驗(yàn)的平臺(tái)，讓他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功和幸福，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知體驗(yàn)．

(3)數(shù)學(xué)寫作能提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知監(jiān)控能力[4].元認(rèn)知監(jiān)控伴隨著整個(gè)數(shù)學(xué)寫作過程，通過元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)的交互作用來實(shí)現(xiàn)，同時(shí)它也是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程．首先，學(xué)生會(huì)制定詳細(xì)的寫作計(jì)劃，保證寫作內(nèi)容從始至終不會(huì)偏離數(shù)學(xué)這個(gè)大主題，這其實(shí)就是學(xué)生自我監(jiān)控的過程，時(shí)刻監(jiān)控著寫作任務(wù)和目的．其次，該生在解決問題1后又找了一道同類型題，繼續(xù)沿用問題1的解題策略進(jìn)行求解，最后確認(rèn)自己已成功突破此類題．由此可知，該生能自我判斷策略知識(shí)的有效性，并通過舉一反三來正確評(píng)估自己對(duì)策略知識(shí)的掌握程度，體現(xiàn)出他在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有較好的監(jiān)控能力．除此之外，口頭交流往往會(huì)自帶一定的情景，即使口頭說得不是很清楚，聽者往往也會(huì)明晰其含義，而書面表達(dá)則需要把前因后果表達(dá)清楚才能使閱讀者看懂，因此書面表達(dá)一般要比口頭交流更困難．?dāng)?shù)學(xué)寫作是一種書面表達(dá)形式，這表明學(xué)生需要時(shí)刻監(jiān)控文字、數(shù)學(xué)語言表達(dá)是否規(guī)范、是否有誤、是否嚴(yán)謹(jǐn)、是否通俗易懂、前后邏輯是否清晰等等．該案例中呈現(xiàn)的寫作思路清晰，書寫規(guī)范，書面表述也通俗易懂，由此體現(xiàn)了該學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控能力較好，具備良好的元認(rèn)知策略，也說明了數(shù)學(xué)寫作對(duì)學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控能力的培養(yǎng)具有促進(jìn)作用，能提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知監(jiān)控能力．

3 從“學(xué)”與“教”的角度窺探數(shù)學(xué)寫作

史寧中教授曾說：“學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界．”[5]從一定程度上來講，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不只學(xué)數(shù)學(xué)中的陳述性知識(shí)和機(jī)械的數(shù)學(xué)解題策略，而更應(yīng)該學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題，提高數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力．教學(xué)是“教”與“學(xué)”的兩個(gè)過程，相輔相成．而數(shù)學(xué)寫作作為一種教學(xué)交往的工具，既可以促進(jìn)學(xué)生的“學(xué)”，同時(shí)也能進(jìn)一步優(yōu)化教師的“教”．

(1)數(shù)學(xué)寫作是展示學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和情感抒發(fā)的平臺(tái)[6].在上述案例中，學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作時(shí)，他會(huì)搜索記憶中與“一次函數(shù)”和“二次函數(shù)”相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)思想方法，接著進(jìn)行知識(shí)提取，這個(gè)過程就包含著數(shù)學(xué)知識(shí)的回憶和推理，這種推理的過程會(huì)進(jìn)一步鞏固和拓展學(xué)生的元認(rèn)知知識(shí)．另外，數(shù)學(xué)寫作還給學(xué)生提供了一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感抒發(fā)的平臺(tái)．學(xué)生可通過數(shù)學(xué)寫作宣泄不良情緒和學(xué)習(xí)壓力，對(duì)自己的缺陷與情感經(jīng)歷會(huì)有一種新的、正確的認(rèn)知，這樣可以讓學(xué)生能以一種積極的態(tài)度來面對(duì)接下來的學(xué)習(xí)；同時(shí)，數(shù)學(xué)寫作也可以是一個(gè)分享學(xué)習(xí)喜悅的渠道．學(xué)生通過數(shù)學(xué)寫作表達(dá)其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的愉悅感與成就感，從而進(jìn)一步激發(fā)其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．因此，數(shù)學(xué)寫作暴露了該學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)部思維過程以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的情感體驗(yàn)，而這恰好對(duì)學(xué)生元認(rèn)知水平的提高具有很好的促進(jìn)作用．

(2)數(shù)學(xué)寫作能優(yōu)化教師的教學(xué)策略，提升教學(xué)質(zhì)量.對(duì)教師而言，選擇教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容的重要依據(jù)就是對(duì)學(xué)生的了解，而數(shù)學(xué)寫作可以為教師提供及時(shí)和充足的反饋信息，并有助于教師進(jìn)行更好的教學(xué)決策，還可以幫助教師去評(píng)估一些其他評(píng)價(jià)方法和評(píng)價(jià)工具難以評(píng)量或不予關(guān)注的東西．比如在上述案例中，學(xué)生在解決問題1時(shí)明知道“一次函數(shù)”非常重要，但就是不知道怎么用，此時(shí)教師可以分析出這位學(xué)生數(shù)學(xué)基本功還不夠扎實(shí)，同時(shí)還可推測(cè)出還有其他學(xué)生可能與該學(xué)生有類似的情況，那么教師在講課時(shí)需注意復(fù)習(xí)與本題相關(guān)的初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓這部分學(xué)生能夠及時(shí)鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．除此之外，從上述案例分析中可知，該生在進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作和數(shù)學(xué)問題解決過程中由困惑感、焦慮感，到最終問題解決的喜悅感，并且還自行總結(jié)出了“以后生活、工作的一大準(zhǔn)則”，呈現(xiàn)了一種積極向上的學(xué)習(xí)態(tài)度，且超越了學(xué)科知識(shí)，上升到了人生哲理的層面，而這些內(nèi)容是平時(shí)的數(shù)學(xué)作業(yè)和考試中看不到的．因此，數(shù)學(xué)教師要及時(shí)對(duì)該生的行為進(jìn)行積極的評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，讓學(xué)生繼續(xù)保持努力向上的態(tài)度，與此同時(shí)，也能促進(jìn)教師的教學(xué)反思，讓教師明晰教學(xué)生不但要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是教學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去思考人生．

4 小結(jié)與展望

本研究從元認(rèn)知視角探究數(shù)學(xué)寫作，可知數(shù)學(xué)寫作有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知水平，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗(yàn)，并有助于教師教學(xué)策略的優(yōu)化，推動(dòng)教師的專業(yè)成長(zhǎng)，為實(shí)現(xiàn)“教與學(xué)”的雙贏提供了一條新的途徑．目前，很多研究者在數(shù)學(xué)寫作領(lǐng)域發(fā)表了很多優(yōu)秀的成果，但就如何更有效地利用和發(fā)揮中學(xué)數(shù)學(xué)寫作的作用，還有待進(jìn)一步探究．