平面帶形區(qū)域上一類解析函數(shù)的Bohr現(xiàn)象

林珍連， 曾旭暾

(1. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021；2. 泉州師范學(xué)院 外國語學(xué)院， 福建 泉州 362000)

1 預(yù)備知識(shí)

2010年，文獻(xiàn)[5]考慮了區(qū)域Ω為一類移動(dòng)圓盤，當(dāng)

時(shí)，解析函數(shù)族B(Ωγ)的Bohr不等式，可得定理A.

2021年，文獻(xiàn)[6]改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[5]的結(jié)果，結(jié)果之一為定理B.

關(guān)于經(jīng)典Bohr不等式的更多改進(jìn)和推廣，可參見文獻(xiàn)[7-16].

文中考慮當(dāng)區(qū)域Ω是帶形區(qū)域S={z=x+iy∈C:-1

2 主要結(jié)果及其證明

證明以下引理.

由于f(z)∈B(S)，故|f(z)|≤1，由Schwarz-Pick引理，有

|f′(z)|≤λS(z)(1-|f(z)|2)，z∈D.

特別地，當(dāng)z=0時(shí)，上式化為

(1)

當(dāng)n≥2時(shí)，對任何給定的正整數(shù)n，令

N為任一正整數(shù)，則有

g(z)=a0+anzn+a2nz2n+a3nz3n+…∈B(S)，

再令

綜上所述，引理得證.

利用引理1探討B(tài)(S)函數(shù)族的Bohr現(xiàn)象，得到了這類函數(shù)的Bohr半徑和兩個(gè)Bohr不等式. 證明B(S)解析函數(shù)族的Bohr半徑.

證明：由引理1，可得

(2)

對定理1進(jìn)行一些改進(jìn)和推廣，首先，證明其中一個(gè)改進(jìn)版(定理2).

證明：因?yàn)閒(z)∈B(S)，由引理1，可得

由于|a0|≤1，所以B1(r)≤1.當(dāng)B1(r)=1時(shí)，有f(z)=c，|c|=1.證畢.

證明：不失一般性，記|a0|=a∈[0，1]，由引理1，可得

記

g(a)=a+A(1-a2)+B(1-a)(1-a2)+C(1-a2)2，a∈[0，1].

g′(a)=1-2Aa+B(3a2-2a-1)+4C(a3-a)，

g″(a)=-2A+2B(3a-1)+4C(3a2-1).

因?yàn)锽和C都是非負(fù)數(shù)，所以g″(a)關(guān)于a的函數(shù)在(0，1)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，從而有

經(jīng)計(jì)算可得a≥1，由題設(shè)可知a≤1，從而|a0|=1，由最大模原理可知，f(z)=c，|c|=1.

由引理1可知，Ω?D為一般的單連通區(qū)域時(shí)，有類似的結(jié)論成立.換而言之，帶形區(qū)域可以推廣到一般單連通區(qū)域.