空間分數(shù)階Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式

劉佳奇， 蔡耀雄， 翟術英

(華僑大學 數(shù)學科學學院， 福建 泉州 362021)

Allen-Cahn方程是一類非齊次半線性泊松方程[1]，是材料科學中描述相位變遷和樣品形成的重要方程.在研究圖像修復[2]、晶體生長[3]等問題時，Allen-Cahn方程發(fā)揮著至關重要的作用.

考慮分數(shù)階Allen-Cahn方程，即

(1)

分數(shù)階Allen-Cahn方程可以看作是Lyapunov能量泛函的L2梯度流[1]，即

(2)

E(u)對時間t求導，可得

(3)

由式(3)可知，能量泛函E(u)隨時間的推移而逐漸減小.

近年來，由于分數(shù)階Allen-Cahn方程在實際問題中應用較多，故引起了許多學者研究的興趣.Chen等[4]提出求解空間分數(shù)階Allen-Cahn方程的指數(shù)時間差分格式，并證明該格式滿足極大值原理.文獻[5-6]使用降階有限元方法求解空間分數(shù)階Allen-Cahn方程.吳龍淵等[7]提出二階和四階兩種交替方向隱(ADI)格式，并用傅里葉分析法驗證兩種格式是能量穩(wěn)定的，且滿足極大值原理.Zhai等[8]給出一種線性化高階緊致差分方法，并運用ADI格式減少運算量.Chen等[9]在時間上用修正的Crank-Nicolson格式，空間上用Legendre譜方法建立了一種全離散格式，并嚴格證明了全離散格式的穩(wěn)定性和收斂性.Khalid等[10]重新定義三次b樣條插值函數(shù)，并用其求解時間分數(shù)階Allen-Cahn方程.此外，重心插值配點法[11]、有限體積法[12]、有限元[13-14]等方法均可用于求解時間分數(shù)階Allen-Cahn方程.

文獻[15-16]利用算子分裂方法求解二維Allen-Cahn方程.此方法基于模型各部分的性質(zhì)構造相應的求解策略，快速有效且便于實施，廣泛應用于數(shù)值求解各種復雜模型[17].本文結合算子分裂方法和生成函數(shù)有限差分方法，構造求解空間分數(shù)階Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式.

1 空間分數(shù)階Allen-Cahn方程的求解

1.1 預備知識

引理1[18]對分數(shù)階Laplace算子(-Δ)α/2構造離散形式，即

(4)

根據(jù)引理1，有以下2個結論.

1) 若u∈Wγ+α，1(Rd)，則有

(5)

2) 若u∈Wδ+α，1(Rd)，則有

(6)

由引理1知，在一維情況下，分數(shù)階Laplace算子離散形式為

(7)

式(7)中:

(8)

通過快速傅里葉(FFT)變換算法可以得到系數(shù)序列，即

(9)

由式(7)可建立(-Δ)α/2u的離散格式，即

(10)

1.2 算子分裂法求解分數(shù)階Allen-Cahn方程

(11)

SB：ut=(-Δ)α/2u.

(12)

(13)

非線性方程問題SA可利用解析形式求解，即

(14)

對于分數(shù)階熱傳導方程問題SB，用Crank-Nicolson格式進行離散.有

(15)

整理可得

(16)

將式(16)改寫為矩陣形式，即

(17)

結合式(13)～(17)，可得出求解問題(1)的差分格式，即

(18)

2 穩(wěn)定性分析和誤差估計

定理1對任意的空間步長h和時間步長τ，差分格式(17)是無條件能量穩(wěn)定的.

證明:由式(18)中第1個等式，可得

證明:由式(18)中第2個等式，可得

由定理1可知第2個不等號成立.證明完畢.

證明:由引理2，3，可得

T為最終的時間.證明完畢.

定義映射Fh:HD→Πh，有Fh(u)=U，其中，HD={u∈H|u(a)=0，u(b)=0}.

證明:由式(5)和Crank-Nicolson格式可知，不等式成立.證明完畢.

由引理3，可得

再次應用引理2，4，有

綜上，可得

3 數(shù)值算例

3.1 算例1

空間收斂階的驗證.將時間剖分固定為M=5 000，取ε=0.1，T=2，計算α=1.3，1.5，1.8時的數(shù)值結果.空間收斂階，如表1所示.表1中：η為收斂階.由表1可知:隨著網(wǎng)格剖分變細，Err2與Err∞變得越來越小，在空間上可達到二階精度；隨著α的增加，Err2與Err∞也變得越來越小.

表1 空間收斂階

時間收斂階的驗證.將空間剖分固定為N=1 000，取ε=0.1，T=2，計算α=1.3，1.5，1.8時的數(shù)值結果.時間收斂階，如表2所示.由表2可知：隨著網(wǎng)格剖分變細，Err2與Err∞變得越來越小，在時間上也可達到二階精度.

表2 時間收斂階

3.2 算例2

現(xiàn)將能量函數(shù)E(u)進行離散，可得

考慮初值問題

取Dirichlet邊界條件，參數(shù)為ε=0.1，T=40，N=1 600，M=105，得到α為1.3，1.5，1.8的數(shù)值解和能量變化圖像，分別如圖1～6所示.

圖1 算例2的數(shù)值解圖像(α=1.3) 圖2 算例2的能量變化圖像(α=1.3)

圖3 算例2的數(shù)值解圖像(α=1.5) 圖4 算例2的能量變化圖像(α=1.5)

圖5 算例2的數(shù)值解圖像(α=1.8) 圖6 算例2的能量變化圖像(α=1.8)

由圖1～6可知:能量函數(shù)E(t)隨著時間t的增加而減小，即能量泛函E(t)滿足能量遞減；α越大，分數(shù)階Allen-Cahn方程的能量衰減越快.由此驗證了此算法的有效性.

4 結束語

提出了求解分數(shù)階Allen-Cahn方程的生成函數(shù)法.首先，利用算子分裂法將原方程分解為非線性問題和分數(shù)階熱傳導問題，非線性問題可求出精確解，分數(shù)階熱傳導問題則利用生成函數(shù)法結合Crank-Nicolson格式建立二階差分格式求解；其次，給出了穩(wěn)定性和收斂性分析；最后，通過兩組數(shù)值算例驗證了差分格式的有效性.