PID控制在溫度控制系統(tǒng)中的應(yīng)用研究

苗麗娟

（太原學(xué)院 山西省太原市 030000）

溫度是一個比較常見的物理量，在生產(chǎn)和生活中隨處可見。在工業(yè)生產(chǎn)的過程中，溫度與產(chǎn)品的質(zhì)量有著密切的關(guān)聯(lián)，比如在塑料制品的生產(chǎn)過程中，對料筒的溫度有著比較高的要求，不同的塑料顆粒需要料筒提供不同溫度制成。在大部分應(yīng)用中，溫度的變化過程是非線性的，但是使用PID來控制溫度卻可以取得比較好的效果,本文分析了在這類系統(tǒng)中，PID是如何能夠適應(yīng)這種工況的。

1 使用電加熱圈加熱物體時的數(shù)學(xué)模型

在使用電加熱圈時，通常使用PWM波控制在每一個控制周期里加熱圈的通電時間，通過不同的占空比（占空比為μ），就可以輸出不用的加熱功率。加熱圈的阻值會隨著溫度的增加而增加，這樣在相同占空比下，加熱圈的輸出功率就會發(fā)生變化。假設(shè)加熱圈電阻隨著溫度的變化滿足下式：

式中，y為加熱圈的溫度，R(y)為溫度為y時加熱圈的電阻，R0為溫度為0時加熱圈的電阻，k為電阻阻值隨溫度線性變化時的比例系數(shù)。

當(dāng)某個物體的溫度高于所處的環(huán)境溫度時，溫度會逐漸下降，假設(shè)溫度下降的速度滿足牛頓冷卻定律：

式中，vy為物體溫度的下降速度，k1為溫度下降時比例系數(shù)，T0為環(huán)境溫度。

加熱圈的加熱功率和占空比滿足下面的公式：

式中，U為電加熱圈通電時的電壓。

被加熱物體的溫度變化率就等于加熱功率減去散熱功率。

在溫度控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)都會有滯后，這里假設(shè)系統(tǒng)的滯后很小，可以忽略（在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，可以將較小的滯后等效為一個慣性時間常數(shù)比較小的慣性環(huán)節(jié)）。

2 溫度控制系統(tǒng)中的工作點(diǎn)

在生產(chǎn)過程中，有的工藝要求溫度隨著一個設(shè)定曲線隨時間變化，有的要求溫度保持在一個設(shè)定值。在溫度控制系統(tǒng)中，當(dāng)控制加熱圈的占空比為一個固定值u0時，被加熱物體的溫度最終會穩(wěn)定在一個值y0。這個穩(wěn)態(tài)的點(diǎn)(u0,y0)便是一個工作點(diǎn)，在非線性系統(tǒng)中，只有u在u0附近做小范圍變化，同時y在y0附近做小范圍變化時，ud=u-u0和yd=y-y0才近似滿足線性關(guān)系。

假設(shè)溫度變化過程的非線性動態(tài)模型為：

通過泰勒級數(shù)展開并截?cái)嘁浑A以上的項(xiàng)，可獲得該方程的線性近似。

令yd=y-y0, ud=u-u0，可以得到：

針對公式（4），使用公式（5），（6），（7）得到：

對公式（8）取Laplace變換，得到：

式中s為Laplace算子，ys是y的Laplace變換后的值，us是u的Laplace變換后的值。

從公式（9）中可以看出，在工作點(diǎn)附近，yd和ud的關(guān)系近似一階慣性環(huán)節(jié)。但是在不同的工作點(diǎn)，這個一階慣性環(huán)節(jié)的系數(shù)是不同的。

根據(jù)公式（4），使用Simulink搭建仿真模型。在模型中，R0取值為1，T0為20，k1取值為1，k取值為10，U取值為220，積分環(huán)節(jié)輸出為20。并將下面的模塊分裝為子系統(tǒng)。被控對象模型如圖1所示。

圖1：被控對象模型

在0s的時候，系統(tǒng)的輸入為0，系統(tǒng)的輸出為20。在第1s的時候，系統(tǒng)輸入由0變?yōu)?.5。在5s左右的時候，系統(tǒng)輸出趨于穩(wěn)定，輸出值為46.2。在第7s的時候系統(tǒng)的輸入由0.5變?yōu)?.0。系統(tǒng)輸出跟著輸入發(fā)生變化，在第10s的時候趨于穩(wěn)定，系統(tǒng)的輸出為80.2。不滿足疊加原理，可見系統(tǒng)是非線性的。在階躍信號下系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2：在階躍信號下系統(tǒng)響應(yīng)曲線

3 使用PID控制

PID控制是一種比較常見的控制方式。PID控制在比例的基礎(chǔ)上引入積分，可以消除誤差，再加入微分環(huán)節(jié)，又能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性[1]。PID控制器本身是一個線性的控制器[2]。

式中，e(k)代表在時刻k,設(shè)定值ys與時刻k反饋值y(k)的差，u(k)代表時刻k，PID控制器的輸出，kp為比例系數(shù)，ki為積分系數(shù)，kd為微分系數(shù)。

PID控制結(jié)構(gòu)圖見圖3。

圖3：PID控制結(jié)構(gòu)圖

因?yàn)橄到y(tǒng)是非線性的，PID是線性的，按照前述分析，PID控制器的使用應(yīng)該使用工作點(diǎn)附近的相對值（ud, yd），而不應(yīng)該使用絕對值。但是在實(shí)際使用的過程中，并未做這種處理，而是直接使用絕對值，PID仍然可以正常的工作。下面為PID控制器控制非線性系統(tǒng)的分析過程。

如果嚴(yán)格按照在工作點(diǎn)附近線性化的約束。首先應(yīng)該將系統(tǒng)的設(shè)定值，反饋值都轉(zhuǎn)換為相對于工作點(diǎn)y0的相對值，即設(shè)定值轉(zhuǎn)換為ysd=ys-y0，反饋值轉(zhuǎn)為yd=y-y0。使用ed(k)=ysd(k)-yd(k)作為PID控制器的輸入?yún)⑴c運(yùn)算。在PID完成計(jì)算后，輸出控制量應(yīng)該為PID控制器計(jì)算出的ud(k)加上u0以后的值。

通過計(jì)算可以看出，PID控制器的輸入由于是使用設(shè)定值和反饋值的差值。使用絕對值的差值和轉(zhuǎn)為相對工作點(diǎn)的相對值的差值是沒有區(qū)別的，但輸出值應(yīng)加上u0，應(yīng)為下式。

在實(shí)際使用PID時，并未做這樣的處理，而是把PID計(jì)算的值直接加到被控對象上面，這是因?yàn)镻ID控制器中有積分環(huán)節(jié)，這個常量被隱藏在了積分環(huán)節(jié)之中，PID控制器的積分環(huán)節(jié)，將系統(tǒng)過去的每個控制周期的誤差都保留在里面，這樣一個偏置值的存在使得在使用PID的時候，不需要關(guān)注工作點(diǎn)，這也是PID的一個優(yōu)勢。在設(shè)定值等于y0時，當(dāng)e(k)逐漸趨近0的時候，積分環(huán)節(jié)的值會逐漸趨近于u0。當(dāng)設(shè)定值發(fā)生變化時，積分環(huán)節(jié)的存在，使得PID控制器能夠找到新的工作點(diǎn)的u0，然后會使得控制器再次工作在局部線性化的線性范圍里。正是由于PID使用的設(shè)定值和反饋值的差值和引入了積分環(huán)節(jié)，使得PID具有適應(yīng)非線性系統(tǒng)的能力。

4 仿真

在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，被控對象的模型幾乎很難使用解析的方法計(jì)算出來，在實(shí)際應(yīng)用中，比較多的是通過測量響應(yīng)曲線上幾個點(diǎn)的值來擬合一個已知的模型或者使用模型辨識的方法，如通過給被控對象施加激勵（M序列，高斯白噪聲等，見圖4），記錄被控對象的輸出，采集最小二乘法估計(jì)被控對象的參數(shù)模型。

圖4：幾種用于模型辨識的激勵信號

在本文中由于是使用數(shù)學(xué)建模的方法獲得的模型，可以直接計(jì)算出系統(tǒng)的模型。

在matlab中使用Simulink搭建公式（10）描述的位置式PID控制器[3]。在u0=0.5, y0=46.2處可以使用公式（9）計(jì)算出這個工作點(diǎn)模型為使用臨界比例度法計(jì)算出kp和ki，kp設(shè)置為0.1，ki設(shè)置為0.01，kd設(shè)置為0，不使用微分環(huán)節(jié)，控制器的采樣時間設(shè)置為0.05s，由于控制量u為占空比，變化范圍為[0,1],所以PID控制器的輸出采用限幅環(huán)節(jié)，將PID控制器的輸出限制在[0,1]的范圍內(nèi)。

使用圖5中的控制器控制圖1中的被控對象。在0s的時候，系統(tǒng)的設(shè)定值為20，系統(tǒng)的輸出也是20。在第1s的時候，系統(tǒng)的設(shè)定值變?yōu)?0。在第5s的時候，系統(tǒng)的設(shè)定值變?yōu)?0。在兩次設(shè)定值變化以后，在PID控制器的作用下，系統(tǒng)的輸出達(dá)到了設(shè)定值。

圖5：PID控制器

在系統(tǒng)的輸出值由20變化到40的過程中，比例環(huán)節(jié)的輸出，隨著設(shè)定值和系統(tǒng)輸出的誤差減小而減小，在系統(tǒng)輸出達(dá)到設(shè)定值的時候，比例環(huán)節(jié)的輸出變?yōu)?，積分環(huán)節(jié)則緩慢增加，在最后系統(tǒng)輸出達(dá)到設(shè)定值的時候，PID控制器的輸出就等于積分環(huán)節(jié)的輸出，沒有出現(xiàn)超調(diào)，積分環(huán)節(jié)的輸出一直在[0,1]的范圍內(nèi)。

在系統(tǒng)的輸出值由40變化到70的過程中，比例環(huán)節(jié)的輸出，隨著設(shè)定值和系統(tǒng)輸出的誤差減小而減小，由于系統(tǒng)有超調(diào)，在系統(tǒng)輸出大于設(shè)定值的時候，比例環(huán)節(jié)的計(jì)算結(jié)果變成了負(fù)數(shù)，在系統(tǒng)輸出達(dá)到設(shè)定值的時候，比例環(huán)節(jié)的輸出變?yōu)榱?。積分環(huán)節(jié)在剛開始的時候增加，由于設(shè)定值變化范圍比較大，誤差積分的時間比較長，在系統(tǒng)輸出第一次到達(dá)設(shè)定值70的時候，積分環(huán)節(jié)的輸出值已經(jīng)超過被控對象輸出在70所需要的值，積分環(huán)節(jié)的運(yùn)算特性使得只有系統(tǒng)的輸出值大于設(shè)定值，才能減小積分環(huán)節(jié)的輸出值，最終的結(jié)果是導(dǎo)致超調(diào)的出現(xiàn)。超調(diào)出現(xiàn)以后，積分環(huán)節(jié)的輸出慢慢減小，在最后系統(tǒng)輸出達(dá)到設(shè)定值的時候，PID控制器的輸出就等于積分環(huán)節(jié)的輸出，積分環(huán)節(jié)的輸出超出[0,1]的范圍。具體圖形見圖6。

圖6：PID控制下的系統(tǒng)響應(yīng)

在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，由于控制器的輸出往往是有限的，在設(shè)定值出現(xiàn)較大范圍的變化時，積分環(huán)節(jié)會因?yàn)檎{(diào)節(jié)時間過長而產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象，這是使用帶有積分環(huán)節(jié)的控制器的一個很大的弊端。為了解決這個問題，在工程中可以使用積分分離的控制器，在設(shè)定值變化范圍較大的時候，在系統(tǒng)輸出值與系統(tǒng)的設(shè)定值差值比較大的時候，削減積分環(huán)節(jié)的系數(shù)或者直接將積分環(huán)節(jié)的輸入設(shè)置為0。

針對這個被控對象使用圖7的PID控制器，在設(shè)定值與系統(tǒng)輸出的誤差大于10的時候，積分環(huán)節(jié)的輸入為0。

圖7：積分分離PID控制器

圖8是使用積分分離的PID控制下的系統(tǒng)的響應(yīng)，在系統(tǒng)的輸出值由40變化到70的過程中，積分環(huán)節(jié)的輸出一直保持在[0,1]的范圍，沒有出現(xiàn)超調(diào)，但是因?yàn)榉e分環(huán)節(jié)的削弱，導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出需要較長的時間才能達(dá)到設(shè)定值。

圖8：積分分離PID控制下的系統(tǒng)響應(yīng)

5 結(jié)束語

本文使用一個仿真模型說明了PID控制器是如何通過線性的運(yùn)算來控制非線性系統(tǒng)的，由于PID的特性，人們經(jīng)常會忽略PID控制器是一個線性的控制器，在工作點(diǎn)做模型估計(jì)和控制的時候會使用測量的絕對值而不是基于工作點(diǎn)的相對值做運(yùn)算，這樣得到的模型離實(shí)際的模型會有較大誤差。在進(jìn)行PID參數(shù)整定的時候，需要使用工作點(diǎn)附近的相對值做運(yùn)算，在得到PID的參數(shù)以后，如果控制系統(tǒng)的設(shè)定值有較大的變化，導(dǎo)致PID控制器殘生積分飽和的時候，需要采取一定的措施來避免積分飽和的產(chǎn)生，在文獻(xiàn)[4]中比較詳細(xì)的介紹了PID控制的各種改進(jìn)，也詳細(xì)介紹了PID使用過程中各種問題是如何產(chǎn)生和如何去解決的。有的系統(tǒng)無法通過數(shù)學(xué)建模的方法來獲取控制系統(tǒng)的參數(shù)模型，這就需要使用模型辨識的方法，在文獻(xiàn)[5]中有關(guān)于模型辨識的詳細(xì)描述。使用在線實(shí)時整定PID參數(shù)的方法可以使PID取得的更好的控制效果，文獻(xiàn)[6]實(shí)時整定PID控制參數(shù)用于無人機(jī)的控制。