基于多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷狞c(diǎn)陣力學(xué)性能預(yù)測(cè)

龔 賽，戴 寧，程筱勝，任利民，張偉南

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是一種新型的輕質(zhì)高強(qiáng)結(jié)構(gòu)，由點(diǎn)陣單胞通過(guò)周期性陣列形成，具有超輕、高比強(qiáng)度、高比剛度、高能量吸收等一系列優(yōu)秀的力學(xué)性能以及減振、散熱、吸聲等特殊性能，因此被廣泛應(yīng)用于汽車、船舶、航空航天等領(lǐng)域的輕量化需求[1-2]。由于點(diǎn)陣在增材制造過(guò)程中需要大量的制造成本和時(shí)間成本，因此仿真模擬的方式被廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，從而加快設(shè)計(jì)過(guò)程、節(jié)約成本。均勻化法(homogenization，HM)和有限元方法(finite element method，F(xiàn)EM)是模擬點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的常用方法[3-4]。均勻化法涉及到代表體元法(representative volume element，RVE)的有限元分析和宏觀尺度上材料屬性對(duì)RVE的響應(yīng)[5]。朱健峰[6]使用代表體元法研究11種點(diǎn)陣的等效力學(xué)性能，但是所預(yù)測(cè)的結(jié)果會(huì)因?yàn)樗x取單胞個(gè)數(shù)的不同有著明顯的差異。Guedes等[7]使用均勻化法對(duì)點(diǎn)陣的等效屬性進(jìn)行預(yù)測(cè)，該方法要求點(diǎn)陣的尺寸遠(yuǎn)小于整體結(jié)構(gòu)的尺寸，在單胞數(shù)量足夠多的情況下可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)點(diǎn)陣的力學(xué)性能，但是實(shí)際工程應(yīng)用中的大多數(shù)點(diǎn)陣都不滿足這一要求。

有限元法通常通過(guò)3D實(shí)體單元精確建?；蛄?jiǎn)卧?jiǎn)化建模預(yù)測(cè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)尺寸小、胞元數(shù)量多，如果按照3D實(shí)體單元精確建模和分析則計(jì)算量巨大，嚴(yán)重限制了該方法在工程中的大規(guī)模應(yīng)用。采用梁?jiǎn)卧７治鍪禽^為常用的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析方法，雖然能夠快速求解，大大減少計(jì)算時(shí)間，但是梁?jiǎn)卧氖褂镁哂幸欢ǖ木窒扌?，這種方法適用于點(diǎn)陣桿的直徑較小、相對(duì)密度較低的情況。Ushijima等[8]采用梁?jiǎn)卧?D實(shí)體單元通過(guò)有限元分析研究了點(diǎn)陣在單向壓縮載荷作用下的力學(xué)性能并和實(shí)驗(yàn)做了比較，指出當(dāng)點(diǎn)陣桿徑長(zhǎng)比(d/L)小于等于0.1時(shí)梁?jiǎn)卧?D實(shí)體單元的有限元分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致性較好，當(dāng)點(diǎn)陣桿徑長(zhǎng)比大于0.1時(shí)，梁?jiǎn)卧A(yù)測(cè)的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)剛度遠(yuǎn)小于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而3D實(shí)體單元所預(yù)測(cè)的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果在大部分桿徑長(zhǎng)比范圍內(nèi)吻合，這表明梁?jiǎn)卧谟邢拊蠼庵械凸懒它c(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的剛度。

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)桿相交區(qū)域材料的聚集將增大桿的橫截面積，而梁?jiǎn)卧獮榈劝霃侥Ｐ?，并沒(méi)有考慮桿相交區(qū)域?qū)c(diǎn)陣結(jié)構(gòu)剛度的影響，因此低估了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的剛度。Luxner等[9]將梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)附近所分配材料屬性的楊氏模量增大1 000倍，Labeas等[10]使用梁?jiǎn)卧诠?jié)點(diǎn)附近取桿長(zhǎng)的1/10增大半徑40%，以補(bǔ)償對(duì)剛度的低估。Smith等[11]也采取相同的方法增加梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的剛度。

由于3D實(shí)體單元為點(diǎn)陣有限元求解的精確單元，能夠最大程度接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，因此本文以3D實(shí)體單元模型的結(jié)果為參考，在梁?jiǎn)卧幕A(chǔ)上進(jìn)行修正，提出了一種多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ?，以精確估計(jì)梁?jiǎn)卧獥U相交區(qū)域?qū)c(diǎn)陣結(jié)構(gòu)剛度的影響。

1 方法與原理

1.1 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)桿相交區(qū)域?qū)偠鹊挠绊?/h3>

如圖1所示，點(diǎn)陣桿的相交區(qū)域?qū)Y(jié)構(gòu)剛度的影響主要有兩方面的原因[12]：1)在設(shè)計(jì)的CAD模型中，桿相交區(qū)域的尺寸大于桿徑的尺寸；2)在增材制造點(diǎn)陣過(guò)程中，容易在桿相交區(qū)域發(fā)生材料聚集現(xiàn)象。本文只考慮設(shè)計(jì)的CAD模型引起剛度變化的影響，如圖1(a)所示，在點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)幾何建模中，需要通過(guò)布爾運(yùn)算將周圍桿連接，但是會(huì)導(dǎo)致桿相交區(qū)域的尺寸大于桿徑的尺寸。在梁?jiǎn)卧Ｐ椭?，桿徑是均勻的，如果用梁?jiǎn)卧A(yù)測(cè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，會(huì)低估結(jié)構(gòu)的剛度。

圖1 體心立方點(diǎn)陣桿的相交區(qū)域

1.2 數(shù)學(xué)模型

為了顧及點(diǎn)陣桿相交區(qū)域?qū)Y(jié)構(gòu)剛度的影響，本文提出一種多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ汀Ａ簡(jiǎn)卧Ｐ褪菍Ⅻc(diǎn)陣中每一根桿用長(zhǎng)度為L(zhǎng)、半徑為R的梁參數(shù)化替代[13]，多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ褪窃趥鹘y(tǒng)梁?jiǎn)卧Ｐ偷幕A(chǔ)上修正為3根長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1、L2、L3，半徑分別為R1、R2、R3的梁，如圖2所示。

本文將傳統(tǒng)梁?jiǎn)卧臄?shù)學(xué)模型Bc定義為：

Bc=f(L,R)

(1)

則多分辨率數(shù)學(xué)模型Bd定義為：

(2)

圖2 多分辨率梁?jiǎn)卧疽鈭D

1.3 組合剛度矩陣

點(diǎn)陣中的桿可視為平面梁?jiǎn)卧?，?jié)點(diǎn)載荷受軸向力、剪力和彎矩作用。將每根桿作為一個(gè)單元來(lái)進(jìn)行有限元分析，如圖3所示，每個(gè)單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2所受的軸向力分別為N1，N2，剪力分別為F1，F(xiàn)2，彎矩分別為M1，M2，節(jié)點(diǎn)位移分別為軸向位移f1，f2，橫向撓度分別為Δ1，Δ2，轉(zhuǎn)角分別為θ1，θ2。

圖3 受力分析示意圖

由此可得單元節(jié)點(diǎn)的位移δ′與節(jié)點(diǎn)力F′為：

(3)

根據(jù)材料力學(xué)和單元?jiǎng)偠染仃囋匚锢硪饬x的梁?jiǎn)卧匦?，在彈性、小變形前提下，單元保持平衡時(shí)節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移為線性關(guān)系：

F′=kδ′

(4)

式中：k為梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚒?/p>

每次令節(jié)點(diǎn)位移向量的一個(gè)不同分量被單位值擾動(dòng)，其他分量為0保持不變，可以求出剛度矩陣k的第一列，經(jīng)過(guò)6次求解就可求出剛度矩陣的全部元素。梁?jiǎn)卧膭偠染仃噆如式(5)所示，影響點(diǎn)陣中桿剛度的參數(shù)有梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度L和直徑D。

(5)

式中：E為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)材料的楊氏模量。

多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ腿鐖D4所示，首尾兩段表示點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)桿與桿的相交部分，中間段表示點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中桿的非相交部分，Li和Lj分別為相交部分和非相交部分的長(zhǎng)度，Di和Dj分別為相交部分的尺寸和桿的實(shí)際尺寸。

則相交部分梁?jiǎn)卧膭偠染仃噆i為：

ki=Cik

(6)

式中：Ci為相交部分剛度系數(shù)。此時(shí)L=Li，D=Di。

非相交部分梁?jiǎn)卧膭偠染仃噆j為：

kj=Cjk

(7)

式中：Cj為非相交部分剛度系數(shù)。此時(shí)L=Lj，D=Dj。

圖4 多分辨率梁?jiǎn)卧疽鈭D

令梁?jiǎn)卧膭偠染仃噆為：

(8)

則多分辨率梁?jiǎn)卧M合剛度矩陣K為：

(9)

此時(shí)k1(i)～k4(i)分別為式(8)中當(dāng)L=Li、D=Di時(shí)k1～k4的值；k1(j)～k4(j)分別為式(8)中當(dāng)L=Lj、D=Dj時(shí)k1～k4的值。

1.4 多分辨率梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠扔绊懴禂?shù)計(jì)算方法

1.3節(jié)求出了多分辨率梁?jiǎn)卧膭偠染仃?，通過(guò)剛度矩陣可以看出影響點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)剛度的是點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)：楊氏模量、桿長(zhǎng)、桿徑。令CL=Li/L，CD=Di/Dj，其中CL為桿長(zhǎng)影響系數(shù)，CD為桿徑影響系數(shù)。因?yàn)樵?D實(shí)體單元和梁?jiǎn)卧卸x的材料屬性相同，所以通過(guò)優(yōu)化CL和CD就可以使多分辨率梁?jiǎn)卧姆抡娼Y(jié)果和3D實(shí)體單元的仿真結(jié)果相吻合。

為求出多分辨率梁?jiǎn)卧腃L和CD，對(duì)3D實(shí)體單元模型和多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ褪┘酉嗤妮d荷和邊界條件，以模擬點(diǎn)陣的軸向壓縮行為，如圖5所示。首先選擇一系列不同的CL和CD以生成多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ停缓髲亩喾直媛柿簡(jiǎn)卧Ｐ秃?D實(shí)體單元模型可以分別獲得一組結(jié)果。為了評(píng)估所選系數(shù)的準(zhǔn)確性，選取3種不同桿徑的體心立方(body center cubic, BCC)點(diǎn)陣，比較多分辨率梁?jiǎn)卧姆抡娼Y(jié)果和3D實(shí)體單元的仿真結(jié)果，結(jié)果吻合的系數(shù)為所選的最優(yōu)桿長(zhǎng)影響系數(shù)和桿徑影響系數(shù)。所選取的點(diǎn)陣幾何參數(shù)見(jiàn)表1，材料為T(mén)i6AlV4，楊氏模量為110 GPa，泊松比為0.34。

表1 點(diǎn)陣幾何參數(shù)

圖5 點(diǎn)陣載荷和邊界條件示意圖

給予多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷腃L和CD一定的取值范圍，其中CL的取值范圍為1/10～1/5,CD的取值范圍為1.1～2.0。將多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷玫降亩鄠€(gè)結(jié)果進(jìn)行擬合，如圖6所示，曲面為多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷臄M合結(jié)果，平面為3D實(shí)體單元的擬合結(jié)果，其相交曲線對(duì)應(yīng)的CL和CD為多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ退〉淖罴严禂?shù)。此外，從圖6可以看出，對(duì)于不同桿徑的點(diǎn)陣，多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ涂扇〉腃L和CD有多個(gè)。本文進(jìn)一步提出基于幾何方法確定多分辨率梁?jiǎn)卧腃L。如圖7所示，首先將點(diǎn)陣單元用一個(gè)平面在桿的相交處剖開(kāi)，得到一個(gè)不規(guī)則形狀截面；將桿的相交區(qū)域近似看成一個(gè)球體，取不規(guī)則截面的最大長(zhǎng)度的一半作為球體的半徑；此半徑作為多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷腃L，則CD也隨之確定。

圖6 不同桿徑的3D實(shí)體單元和多分辨率梁?jiǎn)卧臄M合結(jié)果

2 多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷挠行?/h2>

2.1 不同桿徑點(diǎn)陣剛度影響系數(shù)計(jì)算

根據(jù)1.4節(jié)提出的CL和CD的計(jì)算方法，計(jì)算3種不同桿徑點(diǎn)陣多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷淖顑?yōu)參數(shù)。首先按照?qǐng)D7所示桿長(zhǎng)影響系數(shù)的計(jì)算方法，得出對(duì)于桿徑分別為0.50 mm、0.75 mm、1.00 mm，單胞尺寸為5 mm的BCC點(diǎn)陣，其相交區(qū)域球體的半徑分別為0.433 mm、0.645 mm、0.864 mm，然后根據(jù)相交區(qū)域球體的半徑除以桿長(zhǎng)計(jì)算出CL；最后根據(jù)圖6查詢、計(jì)算CD，3種桿徑點(diǎn)陣的CL和CD最終取值見(jiàn)表2。

圖7 桿長(zhǎng)影響系數(shù)的確定方法

表2 多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷淖顑?yōu)參數(shù)

2.2 驗(yàn)證多分辨率梁?jiǎn)卧行?/h3>

為驗(yàn)證多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷挠行?，?D實(shí)體單元的有限元分析結(jié)果作為參考結(jié)果驗(yàn)證多分辨率梁?jiǎn)卧念A(yù)測(cè)精度。梁?jiǎn)卧Ｐ汀⒍喾直媛柿簡(jiǎn)卧Ｐ秃?D實(shí)體單元模型采用ABAQUS/Explicit進(jìn)行有限元分析[14]，如圖8所示，上下兩個(gè)剛體分別代表壓板和基面，下端參考點(diǎn)固定，上端參考點(diǎn)施加位移載荷，參考點(diǎn)被用來(lái)記錄點(diǎn)陣的反作用力和變形，通過(guò)點(diǎn)陣的尺寸可以轉(zhuǎn)換成點(diǎn)陣的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，如圖9所示。

圖8 多分辨率梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ?/p>

圖9 梁?jiǎn)卧?、多分辨率梁?jiǎn)卧?D實(shí)體單元的應(yīng)力-應(yīng)變圖

2.3 結(jié)果與討論

對(duì)于3種桿徑的點(diǎn)陣，梁?jiǎn)卧膽?yīng)力-應(yīng)變曲線相比3D實(shí)體單元的應(yīng)力-應(yīng)變曲線相差很大，無(wú)論剛度還是抗壓強(qiáng)度都存在很大誤差；而在梁?jiǎn)卧幕A(chǔ)上進(jìn)行修正過(guò)的多分辨率梁?jiǎn)卧跅U徑為0.50 mm和0.75 mm時(shí)，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線和3D實(shí)體單元的應(yīng)力-應(yīng)變曲線比較吻合；在桿徑為1.00 mm時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變曲線在線彈性階段一致性較好，而在強(qiáng)化階段多分辨率梁?jiǎn)卧啾?D實(shí)體單元有著更大的抗壓強(qiáng)度。

3種桿徑的BCC點(diǎn)陣等效彈性模量見(jiàn)表3，在桿徑為0.50 mm、0.75 mm、1.00 mm時(shí)，多分辨率梁?jiǎn)卧啾?D實(shí)體單元的誤差分別為3.06%、4.86%、8.77%，隨著桿徑的增大，誤差逐漸增大，但因點(diǎn)陣在實(shí)際工程應(yīng)用中的桿徑通常在0.50 mm和1.00 mm之間，因此本文所提出的多分辨率梁?jiǎn)卧梢源?D實(shí)體單元較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)點(diǎn)陣的力學(xué)性能。

此外，本文選取的BCC點(diǎn)陣在X，Y，Z3個(gè)方向的數(shù)量分別為8，8，6，共有384個(gè)單胞。以桿徑為0.75 mm的BCC點(diǎn)陣為例，3D實(shí)體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格數(shù)量為2 243 473個(gè)，求解時(shí)間為16.5 h；而多分辨率梁?jiǎn)卧W(wǎng)格數(shù)量為9 216個(gè)，求解時(shí)間為3 min22 s，求解速度提高約280倍。

這表明相比于3D實(shí)體單元，經(jīng)過(guò)修正的多分辨率梁?jiǎn)卧谶M(jìn)行有限元分析時(shí)不僅能夠節(jié)省大量的計(jì)算時(shí)間，而且能夠在較大的桿徑范圍內(nèi)保證點(diǎn)陣力學(xué)性能的預(yù)測(cè)精度，驗(yàn)證了多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷挠行浴?/p>

2.4 實(shí)驗(yàn)

點(diǎn)陣通過(guò)Renishaw AM 250選擇性激光熔融技術(shù)(selective laser melting, SLM)制造，如圖10所示。本文參考ASTM E9-2009(2018)室溫下金屬材料壓縮試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)方法，采用萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)對(duì)點(diǎn)陣進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)，通過(guò)壓頭傳感器測(cè)量施加在點(diǎn)陣上的力，使用引伸計(jì)測(cè)量點(diǎn)陣的變形，壓頭的速度設(shè)置為1 mm/min，當(dāng)觀察到壓力傳感器上的力在很短時(shí)間內(nèi)迅速下降到接近0時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)束。

表3 3種桿徑的點(diǎn)陣等效彈性模量

以桿徑為0.75 mm的BCC點(diǎn)陣為例，對(duì)在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮試驗(yàn)下獲得的等效彈性模量與3D實(shí)體單元、梁?jiǎn)卧约岸喾直媛柿簡(jiǎn)卧跍?zhǔn)靜態(tài)壓縮仿真中獲得的等效彈性模量進(jìn)行比較，見(jiàn)表4。

Bai[15]在單胞尺寸為4 mm、桿徑為0.8 mm時(shí)計(jì)算得到BCC點(diǎn)陣3D實(shí)體單元等效彈性模量約為500 MPa，而實(shí)驗(yàn)?zāi)Ａ考s為1 600 MPa，誤差為68.75%。他將3D實(shí)體單元仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的偏差歸因于在SLM工藝中，部分熔化的粉末黏附在點(diǎn)陣表面，使得制造的點(diǎn)陣桿徑與設(shè)計(jì)桿徑有差異，以及粉末的快速熔化和冷卻會(huì)在結(jié)構(gòu)中造成殘余應(yīng)力。由于加工技術(shù)的影響，制造出來(lái)的點(diǎn)陣桿徑和設(shè)計(jì)桿徑之間存在差異，這導(dǎo)致已加工樣品的孔徑、桿徑和孔隙率與3D模型出現(xiàn)偏差，嚴(yán)重影響3D實(shí)體單元的預(yù)測(cè)精度。

表4 不同單元等效彈性模量

圖10 SLM制造的點(diǎn)陣

點(diǎn)陣在金屬SLM制造中受金屬粉末質(zhì)量、打印參數(shù)、打印角度等多種因素耦合作用，打印出來(lái)的點(diǎn)陣表面粗糙度不均，導(dǎo)致3D實(shí)體單元的預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定偏差，而本文以3D實(shí)體單元的預(yù)測(cè)結(jié)果為參考，這也導(dǎo)致了多分辨梁?jiǎn)卧Ｐ偷念A(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果必然存在一定偏差。

3 結(jié)論

本文考慮了點(diǎn)陣中桿的相交區(qū)域?qū)Y(jié)構(gòu)剛度的影響，以3D實(shí)體單元的預(yù)測(cè)結(jié)果為參考，在梁?jiǎn)卧幕A(chǔ)上進(jìn)行修正，提出了一種多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ鸵匝a(bǔ)償?shù)凸赖膭偠?，并給出了CL和CD的確定方法。通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)壓縮有限元仿真分析，以3D實(shí)體單元模型的結(jié)果作為參考，驗(yàn)證了多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ偷挠行浴ＴO(shè)計(jì)并制造了3種不同桿徑的BCC點(diǎn)陣，研究其準(zhǔn)靜態(tài)壓縮特性，結(jié)論如下：

1)影響梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠鹊膮?shù)有桿長(zhǎng)L、桿徑D以及材料的楊氏模量；

2) 所提出的多分辨率梁?jiǎn)卧Ｐ徒鉀Q了3D實(shí)體單元計(jì)算成本高、梁?jiǎn)卧?jì)算精度低的問(wèn)題，在保證計(jì)算精度的同時(shí)大大降低了計(jì)算成本，因此可以用于大規(guī)模點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能分析；

3) 由于金屬SLM工藝因素的影響，設(shè)計(jì)的點(diǎn)陣桿徑和制造的點(diǎn)陣桿徑之間存在差異，這導(dǎo)致3D實(shí)體單元的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定差異。