基于狀態(tài)空間的輪系功率流分析方法研究

李勝甲，姜小蛟，馬雅麗，蒲大君，李燦燦

(大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024)

行星輪系因具有速比高、體積小、精度高、質量輕、效率高等優(yōu)點，在自動變速器等機械傳動領域得到了廣泛的應用[1]。而在行星齒輪傳動的方案設計中，行星輪系的功率流向直接影響著整個行星輪系傳遞效率的大小，因此在行星輪系的選用、設計以及分析過程中，要特別注意輪系中的功率流動問題。行星輪系的功率流根據流向的不同可分為兩類——分流型和回流型，其中回流型功率流因在輪系內部存在循環(huán)流動，功率就像被封閉一樣，也可稱為封閉功率流。封閉功率流的存在將會造成能量浪費，降低輪系性能，因此在輪系設計中避免產生封閉功率流是設計中要重點考慮的問題之一。Chen[2]引入虛功理論對復雜輪系的功率分流進行了研究，并推導了基于虛功原理的分析方法；Cui等[3]提出了多屬性拓撲圖的概念，用來表征單自由度平面直齒封閉行星輪系的結構和狀態(tài)特征，并在輪系的功率流分析上進行了應用，提供了一個圖形視圖用于顯示功率流；周新濤等[4]將信號流圖的理念引入到單自由度行星齒輪系統(tǒng)中，用以解決復雜行星齒輪傳動系統(tǒng)中的相關特性參數(shù)，為其運動參數(shù)的分析提供了一條新的思路；徐琳等[5]針對環(huán)路式復合行星齒輪系統(tǒng)中存在的多種功率流類型，提出了復合式杠桿分析法，實現(xiàn)了功率流類型的定性判斷。

國內外學者雖然提出了很多種分析方法，但是在計算簡易程度以及應用范圍上還存在一定的局限性，不利于用計算機編程實現(xiàn)通用化，因此在復雜輪系功率流的設計分析方面還有很大的研究空間。馬雅麗[6]提出了一種基于特征狀態(tài)空間的機械運動方案設計理論與方法，該方法實現(xiàn)了機械系統(tǒng)運動方案設計向特征狀態(tài)空間的數(shù)學模型轉化。本文在其基礎上，以狀態(tài)空間理論為引導，基于特征狀態(tài)方程以及輪系基本單元的連接約束方程中非零元素及其之間的制約關系，提出了一種分析行星輪系功率流的簡便方法，為利用計算機編程實現(xiàn)復雜結構輪系的功率流分析提供理論依據。

1 行星輪系功率流分析的理論基礎

對于包括輪系在內的機械系統(tǒng)而言，功率的輸入與輸出有著以下特點：輸入功率端的轉矩T與角速度ω兩者方向是相同的，而輸出功率端兩者方向則相反。故而，可以用轉矩T和角速度ω乘積的正負來判斷行星輪系中兩相鄰基本單元結合點的功率方向，以此來確定在該輪系中是否存在功率回流。這就要求在用此種方法進行功率流分析時需要將輸入功率端與輸出功率端的角速度與轉矩計算出來。但在進行復雜輪系結構方案設計過程中，由于存在輪系結構不確定性等諸多因素，因此該方法就顯得費時費力?；诖?，本文提出了一種基于狀態(tài)空間理論來判斷輪系功率流向的新方法，該方法利用復雜輪系的可拆分性及在功率傳遞中運動特征與動力特征的變換規(guī)律，來完成輪系功率流向的判別，可起到在行星輪系方案設計階段節(jié)省設計時間、加快設計進度的效果。

輪系基本單元[7]是復雜輪系的基本組成部分。任何復雜輪系在經過拆分之后，都可以看成是由兩個或兩個以上輪系基本單元按照一定的組合方式連接而成。輪系基本單元實現(xiàn)運動變換及動力變換的實質是實現(xiàn)運動特征和動力特征的變換。這里用向量e表示輪系中基本單元的特征矢量，e=(ωT)T,其中角速度ω=(ωx,ωy,ωz)T,描述輪系基本單元的運動特征，轉矩T=(Tx,Ty,Tz)T,描述輪系基本單元的動力特征。

1.1 輪系基本單元的狀態(tài)空間方程

基于輪系狀態(tài)空間理論的基本單元分析方法，其重點在于研究輪系中輸入端與輸出端之間的特征狀態(tài)變換關系，而對系統(tǒng)內部的狀態(tài)不做分析。輪系基本單元的狀態(tài)空間方程是描述復雜輪系中某一個基本單元的輸入端與輸出端的運動特征及動力特征的映射關系表達式。由于基本單元中輸入、輸出構件的運動特征及動力特征均存在一一對應的線性關系，且這一線性關系可以用一個二階矩陣At來表示，其中t表示輪系中的第t個基本單元，?t=1,2,…,n。因此，輪系基本單元的輸入狀態(tài)矢量空間ei與輸出狀態(tài)矢量空間eo之間的關系方程可表示為eo=At·ei，該方程稱為輪系基本單元的狀態(tài)空間方程[6]。

1.2 輪系基本單元的連接約束方程

輪系由基本單元連接組合而成，這一理念是輪系基本單元分析法的核心。而基本單元的組合過程則是方程中引入特征約束的過程。輪系基本單元的連接約束方程[6]是描述輪系中相鄰接的兩個單元之間連接關系的式子。相鄰兩基本單元的結合位置稱為單元結合點。假設前置輪系單元j的輸出與后置輪系單元(j+1)的輸入相連接，約定上標i和o分別代表單元的輸入和輸出，則有：

(1)

式中：Cj(j+1)為單元之間的連接約束矩陣。

2)聯(lián)接構件軸向位置不同。兩構件軸向位置不同時，分析其動力特征，并列出動力平衡方程，可得到動力特征的約束矩陣為：

(2)

2 行星輪系的功率流分析方法

輪系的功率流向由表征能量狀態(tài)特征空間的動力特征T和運動特征ω來確定，利用前述基本單元的狀態(tài)模型來研究輪系的功率流向問題，是簡化輪系功率流分析方法的有效途徑。因此，對復雜輪系功率流問題的分析就是根據連接約束模型確定單元結合點的連接形式，并根據前置單元與后置單元的特征狀態(tài)模型描述單元結合點的運動狀態(tài)及動力狀態(tài)，進一步分析、判斷單元結合點的功率流向，進而對整個輪系進行功率流向描述。

基于輪系基本單元的狀態(tài)空間理論，利用輪系基本單元中狀態(tài)方程與基本單元組合的連接約束方程中的非零元素所表征的單元及單元之間運動特征和動力特征之間的關系，以及前置和后置單元中已知的運動特征與動力特征去描述輪系基本單元結合點的能量狀態(tài)特征，形成特征矢量，然后根據該特征矢量空間去判斷輪系中單元結合點的功率流流向，最終得到輪系的功率流流向。用數(shù)學語言對其描述如下。

(3)

式中：ωQ和TQ分別為Q點的運動特征和動力特征。

當ωQ×TQ>0時，結合點處為輸入功率，說明輪系中出現(xiàn)功率回流；當ωQ×TQ<0時，結合點處為輸出功率，即輪系中沒有出現(xiàn)功率回流。

3 輪系功率流分析實例

以圖1所示的某風機減速器為例，用該方法對其輪系的功率流進行分析。如圖所示，輸入構件為齒輪1，輸出構件為行星架H。

1)拆分輪系。

將圖1所示的復雜輪系從電機到風葉拆分為4個輪系基本單元，如圖2所示。

圖1 某風機減速器

圖2 拆分后的基本單元

2)建立模型。

依據輪系基本單元庫[8],可寫出4個單元的狀態(tài)空間方程分別為：

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：zi(i=1,2,…,7)為圖1中各個齒輪的齒數(shù)。

則單元1、2，單元2、3，單元3、4之間的連接約束方程分別為：

(8)

(9)

(10)

3)結合點特征狀態(tài)向量疊加。

單元1、2和單元2、3之間均是前置單元的輸出直接與后置單元的輸入相連接的情況，不存在功率回流，所以只需要考慮單元3、4之間的結合點。單元3、4中，結合點Q的特征狀態(tài)向量表述形式分別為：

(11)

(12)

式中：ωj_i為第j單元構件i的角速度;Tj_i為第j單元構件i的轉矩。

由連接約束方程可知，ω3_H=ω4_H，T3_H=-T4_H。將式(11)、式(12)疊加整合，則有：

(13)

(14)

4)結合點的功率流向分析。

若z1=24、z2=30、z3=22、z4=34、z5=20、z6=17、z7=72，設輪系輸入轉速ω1=15 r/min，轉矩T為100 N·m。經過計算，可得到：ωQ<0，TQ<0，故有ωQ·TQ>0，據此即可分析得出該輪系在結合點Q處出現(xiàn)功率回流，所繪制的功率流如圖3所示。

圖3 輪系功率流圖

4 結論

本文基于狀態(tài)空間理論，建立了對復雜行星輪系功率流分析的完整流程和方法，并以某風機減速器為例，實現(xiàn)了輪系功率流流向的判斷，結果表明：

1)將復雜輪系拆分為輪系基本單元，對輪系基本單元進行分析，從而實現(xiàn)對復雜輪系的分析，證明了單元分析方法是進行輪系功率流分析的有效方法；

2)建立相應輪系單元的特征狀態(tài)方程與基本單元之間的連接約束方程，進行向量疊加可以獲得單元結合點狀態(tài)向量中各元素的理論值；

3)根據各輪系基本單元的內部功率流向和單元結合點處的功率流向，可以有效判斷出復雜輪系的功率流情況。此方法可為輪系運動方案設計提供模型支撐，并為輪系的數(shù)字化分析與綜合評價提供理論依據。