機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃研究進(jìn)展

李 尉，鄧朝暉，葛吉民，劉 偉，李重陽

(1.湖南科技大學(xué)難加工材料高效精密加工湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201) (2.湖南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

智能制造技術(shù)的快速發(fā)展，使得越來越多的機(jī)器人被應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)中。起初機(jī)器人主要在汽車自動化生產(chǎn)線上使用，如今在眾多領(lǐng)域都可以看見它們的身影[1-4]，而且機(jī)器人等自動化設(shè)備的大量應(yīng)用也代表著國家的自動化水平在不斷提高[5]，工業(yè)機(jī)器人的研究也在朝著高精度、輕型化和智能化等方向快速發(fā)展[6]。

機(jī)器人軌跡規(guī)劃是指綜合考慮機(jī)器人的性能和工作環(huán)境后，在其工作空間內(nèi)規(guī)劃出末端執(zhí)行器從起點運(yùn)動到終點的軌跡。按工作空間不同，可分為笛卡兒空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃。實際應(yīng)用過程中，多在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃，以此避免奇異性問題[7]。一條性能優(yōu)良的軌跡，可以提高運(yùn)行效率，減小運(yùn)動過程中的沖擊，降低能耗，提高工件的加工質(zhì)量。除了機(jī)器人本身的運(yùn)動性能對加工質(zhì)量的影響外，運(yùn)行軌跡的合理性在很大程度上也影響著工件的加工質(zhì)量。機(jī)器人加工過程中的運(yùn)動參數(shù)(如速度、加速度等)發(fā)生突變，會產(chǎn)生機(jī)械沖擊，嚴(yán)重情況下會導(dǎo)致運(yùn)動系統(tǒng)發(fā)生振蕩，影響機(jī)器人的軌跡跟蹤精度，從而導(dǎo)致工件加工質(zhì)量不合格，甚至?xí)p壞工件[8]。

目前，一般將關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃分為兩種：一種是基本軌跡規(guī)劃，另一種是最優(yōu)軌跡規(guī)劃?；拒壽E規(guī)劃研究的是插值算法。最優(yōu)軌跡規(guī)劃研究的是如何設(shè)置合理的優(yōu)化目標(biāo)和如何利用算法將優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)化為約束條件，再運(yùn)用合適的插值方法對軌跡進(jìn)行規(guī)劃。機(jī)器人軌跡規(guī)劃技術(shù)的研究，對提高我國的高端制造水平，實現(xiàn)全面智能制造具有十分重要的意義[9]。為此，本文對機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的基本軌跡規(guī)劃和最優(yōu)軌跡規(guī)劃進(jìn)行了綜述，系統(tǒng)地分析了這兩種軌跡規(guī)劃方法的特點、優(yōu)勢與不足，并指出了未來軌跡規(guī)劃技術(shù)的發(fā)展趨勢。

1 基本軌跡規(guī)劃

在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃，就是要將機(jī)器人運(yùn)動過程中的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度等用關(guān)于時間的函數(shù)表示出來，通過控制各個關(guān)節(jié)的力和力矩[10]，從而達(dá)到控制各個關(guān)節(jié)的角速度和角加速度的目的。目前，一般都是先使用示教或者離線編程[11]的方式，得到各個關(guān)節(jié)的始末位置，然后通過插值算法規(guī)劃運(yùn)動軌跡?；拒壽E規(guī)劃方法分類如圖1所示。

圖1 基本軌跡規(guī)劃方法分類

1.1 多項式插值的軌跡規(guī)劃

多項式插值的軌跡規(guī)劃是在點對點運(yùn)動的基礎(chǔ)上，通過多項式對這些關(guān)鍵點進(jìn)行曲線擬合，形成一條平滑的曲線。

Kim和Lin等[12-13]用3次多項式對經(jīng)過空間中多個關(guān)鍵點的軌跡進(jìn)行規(guī)劃，當(dāng)經(jīng)過的關(guān)鍵點數(shù)目較多時，計算量十分巨大，且無法保證加速度曲線連續(xù)。為了解決這個問題，Boryga等[14]先后利用5次、7次和9次多項式對運(yùn)動軌跡進(jìn)行擬合，并通過增加中間節(jié)點和利用設(shè)定的最大加速度值求解多項式，降低了求解系數(shù)的難度，但求解過程仍較復(fù)雜。李小為等[15]采用3-5-3多項式混合插值，得到平滑優(yōu)越的運(yùn)動軌跡，但在其起始點和終止點處，加速度仍存在突變。陳偉華等[16]用5次多項式對曲線拐角處進(jìn)行光滑過渡，得到了一條運(yùn)動性能較好的軌跡，其位移、速度和加速度曲線平滑。

由此可知：3次多項式插值一般應(yīng)用于運(yùn)動始末位置關(guān)節(jié)角度和角速度已知，且對軌跡精度要求不高的場合。5次多項式插值對角加速度增加了約束，適用于對沖擊有一定約束要求的場合。而7次及以上多項式能提高擬合精度，但是計算復(fù)雜且軌跡局部不可控，難以廣泛應(yīng)用。多項式組合插值能減小計算量，但連接處曲線過渡不夠平滑，仍存在沖擊。

1.2 樣條曲線插值的軌跡規(guī)劃

樣條曲線具有導(dǎo)數(shù)連續(xù)性、局部支撐性和幾何不變性等[17]優(yōu)良特性，經(jīng)常用于連接多段軌跡的過渡區(qū)域，能提高整條曲線的平滑性[18]。根據(jù)控制點的間隔分布的不同，一般將B樣條曲線分為均勻和非均勻B樣條(non-uniform rational B-splines，NURBS)曲線。

B樣條曲線不經(jīng)過軌跡控制頂點，而對機(jī)器人運(yùn)動軌跡進(jìn)行規(guī)劃時，一般希望軌跡盡可能多地通過給定的控制頂點(型值點)[19]，這就需要對控制頂點進(jìn)行處理。常用的處理方法有兩種：1)利用經(jīng)過的節(jié)點反求出控制頂點[20]，再利用反求得到的控制頂點去構(gòu)造生成B樣條曲線(如圖2[21]所示)；2)利用幾何關(guān)系，通過增加控制頂點的數(shù)目，使B樣條曲線順利經(jīng)過需要的節(jié)點(如圖3[22]所示)。

圖2 未知控制頂點求解并構(gòu)造目標(biāo)曲線

圖3 B樣條函數(shù)的虛節(jié)點

Meike等[21]在關(guān)節(jié)空間中利用B樣條曲線對點到點的運(yùn)動軌跡進(jìn)行擬合，在軌跡連接處使用3次B樣條曲線進(jìn)行平滑處理，得到的軌跡滿足設(shè)定的邊界條件。Wang等[22]利用虛擬節(jié)點控制擬合軌跡，使得軌跡順利經(jīng)過每一個中間節(jié)點。在此基礎(chǔ)上，Gasparetto等[23]對3次和5次B樣條曲線的插值效果進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)3次曲線插值能得到平滑的速度曲線，而5次曲線插值可得到平滑的加速度曲線。秦鋒等[24]提出在軌跡的起點處和終點處的小段距離使用3次樣條曲線來擬合、中間部分用5次樣條曲線來擬合的新方法，適用于對軌跡中間點速度和加速度有特別要求的情況。朱世強(qiáng)等[25]采用7次B樣條曲線，對機(jī)器人關(guān)節(jié)位置序列進(jìn)行插值，確保了起點和終點的速度、加速度和脈動曲線的平滑。隨著使用的B樣條曲線次數(shù)的增高，曲線求解過程會變得越來越復(fù)雜，甚至?xí)霈F(xiàn)失真現(xiàn)象[26-27]。

使用均勻B樣條曲線進(jìn)行軌跡規(guī)劃，起止點的導(dǎo)數(shù)值存在突變，會造成機(jī)器人啟停時發(fā)生振動[28]。Saravanan等[29]使用NURBS曲線，不僅消除了振動，還提高了軌跡的精度和穩(wěn)定性。王昕等[30]提出了一種NURBS曲線插補(bǔ)算法，該算法能夠根據(jù)設(shè)計的最大輪廓誤差、加速度和加加速度自適應(yīng)地調(diào)整插補(bǔ)速度，從而確保速度曲線平滑。樂英等[31]在最短路徑的要求下，分別采用3次多項式、3次B樣條和3次NURBS曲線對軌跡進(jìn)行規(guī)劃，結(jié)果表明3次NURBS曲線規(guī)劃出來的軌跡性能較好。胡嘉陽等[32]采用5次NURBS曲線使軌跡更加平滑。樣條曲線的“次數(shù)”越高，它所能滿足的約束條件也越多，但并非次數(shù)越高越好。高階NURBS曲線結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求解速度慢，而且目前對高階NURBS曲線的軌跡規(guī)劃的研究也較少。

綜合來看，多項式插值及樣條曲線插值的特點及應(yīng)用場合見表1[33-37]。

表1 關(guān)節(jié)空間曲線插值算法比較

基本軌跡規(guī)劃側(cè)重于運(yùn)動軌跡的連續(xù)性和平滑性，但在實際作業(yè)中，效率、能量和沖擊等問題是不可忽視的，因此需要對這些方面進(jìn)行深入研究，進(jìn)一步優(yōu)化軌跡，從而提高運(yùn)動軌跡的性能。

2 最優(yōu)軌跡規(guī)劃

實際作業(yè)任務(wù)的限制和追求更大的效益，勢必會促使軌跡規(guī)劃技術(shù)往提高機(jī)器人的運(yùn)行效率、減少軌跡運(yùn)行過程中的能量消耗和降低關(guān)節(jié)沖擊等方向發(fā)展，這就使研究者開始研究如何優(yōu)化機(jī)器人的運(yùn)行軌跡。一般將軌跡優(yōu)化稱為最優(yōu)軌跡規(guī)劃，如今研究者主要從時間、能耗和沖擊這3個方面展開研究，具體分類如圖4所示。

圖4 最優(yōu)軌跡規(guī)劃分類

2.1 單目標(biāo)最優(yōu)的軌跡規(guī)劃

2.1.1時間最優(yōu)的軌跡規(guī)劃

將機(jī)器人引入工業(yè)生產(chǎn)，不僅是為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，也是為了提高生產(chǎn)率，機(jī)器人可以不間斷地工作，減少空閑或浪費時間[38]。在保證加工質(zhì)量的前提下，如何使機(jī)器人以最短時間到達(dá)指定位置完成工作任務(wù)，是減少運(yùn)行時間的關(guān)鍵。

目前，實現(xiàn)時間最優(yōu)的軌跡規(guī)劃的方法主要分為3種：1)通過優(yōu)化算法尋找出時間最優(yōu)的軌跡[39]；2)根據(jù)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的約束[40]，分別求解出機(jī)器人運(yùn)行過程中各關(guān)節(jié)允許的速度和加速度的最大值[41]，通過提高運(yùn)行過程中的速度來減少運(yùn)行時間[42-44]；3)將時間目標(biāo)轉(zhuǎn)換為其他更易計算的目標(biāo)[45-46]，減少軌跡運(yùn)行時間。

Fares等[47]利用遺傳算法獲得了時間最短的軌跡。Bobrow和Shin等[48-49]基于動力學(xué)方程，提出新的軌跡規(guī)劃優(yōu)化算法，但計算量大，難以獲得機(jī)器人的動力學(xué)參數(shù)的準(zhǔn)確值，不適用于實際工作中。在運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的約束下，Lin和Elias等[13,50]通過3次多項式對關(guān)節(jié)空間的關(guān)鍵點進(jìn)行軌跡規(guī)劃，優(yōu)化了機(jī)器人的運(yùn)行時間。但是，如果關(guān)鍵點分布偏差較大，機(jī)器人則難以實現(xiàn)高速運(yùn)動。南文虎等[10]利用修型/射靶算法去矯正多重約束下的最大速度曲線，并通過提高軌跡運(yùn)行速度，來減少運(yùn)行時間。Lee等[45]通過將時間優(yōu)化轉(zhuǎn)變?yōu)閷c對點的優(yōu)化，采用啟發(fā)式算法加快搜索速度，并利用時間尺度法處理制動器力矩約束，找到了時間最優(yōu)軌跡。Debrouwere等[46]將時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題，既簡化了計算也優(yōu)化了軌跡運(yùn)行時間。肖仁等[51]使用量子粒子群優(yōu)化 (quantum particle swam optimization，QPSO) 算法去優(yōu)化軌跡運(yùn)行時間，解決了多項式插值由于階次高難以快速求解和優(yōu)化的問題。居鶴華等[52]提出了基于遺傳算法(genetic algorithm，GA)的3-5-3多項式軌跡規(guī)劃方法，與粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法相比，機(jī)器人運(yùn)動時間更短，運(yùn)行更平穩(wěn)。陳晗等[53]先用5-7-5多項式插值對軌跡進(jìn)行擬合，然后在擬合得到的軌跡的基礎(chǔ)上，通過復(fù)合形法對軌跡進(jìn)行優(yōu)化，減少了軌跡運(yùn)行時間，滿足了設(shè)定的要求。在前者的基礎(chǔ)上，丁陽等[54]利用QPSO算法進(jìn)行時間尋優(yōu)，與PSO算法和差分進(jìn)化算法(differential evolution algorithm，DE)的優(yōu)化效果相比，該方法得到的軌跡在運(yùn)行過程中花費的時間更短。

目前，大部分的研究都是在運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的約束下，去研究如何提高算法的收斂速度和該優(yōu)化結(jié)果是否為全局最優(yōu)。現(xiàn)在使用較多的GA、PSO、DE和QPSO等算法都有其適用條件，需要根據(jù)具體場合選用合適的優(yōu)化算法。

2.1.2能量最優(yōu)的軌跡規(guī)劃

工業(yè)機(jī)器人的能耗約占工件生產(chǎn)過程中消耗總電能的8%[55]，如何降低機(jī)器人的能耗、提高能源效率，是智能制造未來發(fā)展過程中必定要解決的問題。目前，對降低機(jī)器人能耗的研究主要在往能耗函數(shù)的確立和優(yōu)化能耗算法的應(yīng)用這兩個方向發(fā)展。

在能耗函數(shù)的確立方面，主要是使用轉(zhuǎn)矩平方的積分[56]、能量成本函數(shù)[57]、能耗代價函數(shù)[58]和各關(guān)節(jié)動能之和[59-60]等代表機(jī)器人的能耗，這些表示函數(shù)及優(yōu)缺點見表2。

表2 能耗表現(xiàn)形式及特點

有些學(xué)者使用優(yōu)化算法，實現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)行軌跡的能量優(yōu)化。封順笑[59]以動能作為能耗函數(shù)，將遺傳算法和粒子群算法結(jié)合起來使用，雖然可以減少整條軌跡運(yùn)行過程中的能耗，但是增加了運(yùn)行時間。為了減少軌跡運(yùn)行時間，王成[61]將已經(jīng)規(guī)劃好的軌跡作為約束條件，把相鄰節(jié)點間的運(yùn)行時間作為優(yōu)化變量，利用改進(jìn)遺傳算法對節(jié)點間的運(yùn)動時間進(jìn)行求解，降低了機(jī)器人的能量消耗，提高了加工效率。彭建文[62]分別以力矩、電機(jī)所做機(jī)械功、電機(jī)消耗的總能量來表示能耗函數(shù)，再將關(guān)節(jié)軌跡參數(shù)化[63]，將能耗優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂泣c的選擇問題。如此做的優(yōu)點是只需求解出一組最優(yōu)控制點，就能通過構(gòu)造曲線得到需要的機(jī)器人能耗最優(yōu)的運(yùn)行軌跡。白云飛等[64]提出一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立機(jī)械臂能耗模型的方法，根據(jù)所建立的能耗模型，結(jié)合機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡構(gòu)造了能耗目標(biāo)函數(shù)，最后采用自適應(yīng)PSO算法得到了能量最優(yōu)的軌跡參數(shù)，實現(xiàn)了優(yōu)化能耗的目的。Field等[65]提出一種迭代動態(tài)規(guī)劃方法，雖然無法求得全局的最優(yōu)解，但對求解的函數(shù)類型沒有限制，能夠簡易地求解復(fù)雜能耗函數(shù)，且能夠?qū)崿F(xiàn)并行計算，當(dāng)硬件的計算力足夠時，計算所需時間更短。Perez等[66]將機(jī)器人各關(guān)節(jié)電機(jī)消耗的機(jī)械能作為總能耗，利用遺傳算法收斂性、實時性較好的特點求解能耗優(yōu)化函數(shù)。Devendra等[67]分別采用GA和模擬退火(simulated annealing，SA)算法對機(jī)器人軌跡運(yùn)行中消耗的能量進(jìn)行求解，其中SA算法的求解速度更快。

求解迅速且準(zhǔn)確的算法能夠快速地得到高精度、平滑性較好的軌跡，因此尋找一種計算過程簡單、求解準(zhǔn)確的算法顯得尤為重要。能量最優(yōu)的軌跡規(guī)劃，不僅可以減少運(yùn)行過程的能量消耗，而且可以產(chǎn)生平滑軌跡，降低制動器和機(jī)械手結(jié)構(gòu)的應(yīng)力，但衡量應(yīng)力的指標(biāo)是機(jī)器人運(yùn)動過程中的沖擊，因而研究者對沖擊最優(yōu)的軌跡規(guī)劃展開了相關(guān)的研究。

2.1.3沖擊最優(yōu)的軌跡規(guī)劃

關(guān)節(jié)沖擊對機(jī)器人運(yùn)行軌跡的平穩(wěn)性影響很大，而平穩(wěn)性是衡量高端機(jī)器人工作性能的重要指標(biāo)之一[68]。將關(guān)節(jié)沖擊保持在較小的范圍，對提高機(jī)器人的運(yùn)動性能至關(guān)重要[69]，這就需要對軌跡沖擊產(chǎn)生的原因及如何對沖擊進(jìn)行優(yōu)化進(jìn)行深入研究。目前國內(nèi)外對軌跡沖擊的研究分為沖擊評價指標(biāo)設(shè)定和優(yōu)化沖擊算法應(yīng)用這兩個方向。

當(dāng)運(yùn)動過程中角加速度發(fā)生突變時，就會產(chǎn)生關(guān)節(jié)沖擊。通過研究，學(xué)者們認(rèn)為關(guān)節(jié)沖擊與關(guān)節(jié)角加速度對時間的導(dǎo)數(shù)(即關(guān)節(jié)角加加速度)有關(guān)[70]。后來逐漸將沖擊評價指標(biāo)分為表3中的3種形式。

表3 沖擊評價指標(biāo)的表現(xiàn)形式及其特點

在關(guān)節(jié)沖擊優(yōu)化算法應(yīng)用方面，孫志毅等[74]使用DE算法，降低了多項式組合插值過程中的沖擊，同時也節(jié)省了工作時間。郭明明等[75]使用改進(jìn)差分進(jìn)化算法對多項式組合插值進(jìn)行優(yōu)化，減小了關(guān)節(jié)沖擊。Dan將[76]神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于沖擊優(yōu)化問題，對優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行理論推導(dǎo)，用關(guān)節(jié)角優(yōu)化代替沖擊優(yōu)化，得到了角加速度連續(xù)的曲線，關(guān)節(jié)沖擊明顯減小。Lin[77]使用K-均值聚類的PSO算法，將沖擊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為時間優(yōu)化問題，在總時間一定的約束下，通過減小加加速度，從而減小運(yùn)動過程中的沖擊。該方法不僅可以用于解決不同目標(biāo)函數(shù)下的優(yōu)化問題，而且因其能同時對大量節(jié)點進(jìn)行處理，所以計算效率較高。唯一的不足之處就是依賴于操作者的經(jīng)驗，人為地設(shè)置算法的參數(shù)，同時由于設(shè)定的參數(shù)對結(jié)果影響較大，因此需要科學(xué)地確定參數(shù)，降低主觀因素對優(yōu)化結(jié)果的影響。

要避免沖擊，就是要使角加速度連續(xù)，即對機(jī)器人的角加加速度進(jìn)行限制，但限制角加加速度，就會影響機(jī)器人的工作效率，如何減小這種影響，對研究者提出了新的挑戰(zhàn)。目前的實際研究中，多將時間與沖擊這兩個指標(biāo)一起進(jìn)行優(yōu)化，提高機(jī)器人軌跡的性能。

2.2 多目標(biāo)綜合最優(yōu)的軌跡規(guī)劃

目前，多目標(biāo)優(yōu)化問題的處理方法一般分為兩種：1)將最重要的一個目標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，然后把其他目標(biāo)作為約束條件，將其限制在許可范圍內(nèi)[78]；2)根據(jù)各個目標(biāo)的重要程度不同，給其設(shè)定不同的權(quán)重系數(shù)[79]，將綜合優(yōu)化問題簡化成單目標(biāo)優(yōu)化問題[80-81]。方法2)減小了計算復(fù)雜程度，所以大多學(xué)者傾向于使用它對多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

2.2.1時間-能量最優(yōu)的軌跡規(guī)劃

早在1992年，Shiller[82]就開始了機(jī)器人軌跡運(yùn)行時間和能耗方面的優(yōu)化研究，他建立了一個時間-能量代價函數(shù)，通過公式推導(dǎo)，給出了時間-能量最優(yōu)的必要條件，從而將時間-能量優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€四階兩點邊值問題。只需將其中一個邊界條件代入，利用計算機(jī)迭代求解，就能得到需要的結(jié)果。唐建業(yè)等[83]通過確定下來的工作空間軌跡位置序列，經(jīng)過逆運(yùn)動學(xué)計算出關(guān)鍵點在關(guān)節(jié)空間中的位置序列，再利用分段多項式去構(gòu)造機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動軌跡。在減少運(yùn)行時間的同時，盡可能地降低平均速度，不僅優(yōu)化了時間，也減少了機(jī)器人的能耗。Balkan[84]通過動態(tài)規(guī)劃方法，提高軌跡運(yùn)行過程中的最大速度，減少了軌跡運(yùn)行時間，通過實驗，證實了可以利用慣性來節(jié)省機(jī)器人運(yùn)行過程消耗的能量。徐海黎等[85]使用加權(quán)系數(shù)法定義代價函數(shù)，同時考慮多種運(yùn)動學(xué)約束，利用罰函數(shù)對機(jī)器人運(yùn)動學(xué)約束進(jìn)行排序，并使用基因環(huán)境雙演化免疫克隆算法對罰函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高了算法求解速度和優(yōu)化的效果。

2.2.2時間-沖擊最優(yōu)的軌跡規(guī)劃

在加工過程中，除了要求高加工效率外，對穩(wěn)定性也有較高的要求。工業(yè)機(jī)器人運(yùn)行過程中產(chǎn)生的沖擊，影響著機(jī)器人的穩(wěn)定性，因而對運(yùn)行時間和沖擊進(jìn)行綜合優(yōu)化是很有必要的[86]。

Gasparetto等[87]根據(jù)具體工況，通過調(diào)整權(quán)系數(shù)的方式，改變了運(yùn)行時間和沖擊在優(yōu)化中的重要程度，而且在設(shè)置約束時無需知道執(zhí)行任務(wù)的總時間，該綜合優(yōu)化函數(shù)應(yīng)用場合基本上不受限制。在此基礎(chǔ)上，Lanzutti[88]通過改變權(quán)重系數(shù)值證明權(quán)重系數(shù)對優(yōu)化效果會產(chǎn)生影響，從得到的加加速度對比曲線，可以直觀看出沖擊減小。國內(nèi)學(xué)者Huang等[89]利用精英非支配排序遺傳算法(elitist nondominated sorting genetic algorithm，NSGA-Ⅱ)對機(jī)器人的運(yùn)動時間和關(guān)節(jié)沖擊一起進(jìn)行優(yōu)化。該算法求解直接，但收斂性、時效性不是很好。陸佳皓等[90]通過優(yōu)化運(yùn)行時間和沖擊這兩個相互耦合且矛盾的目標(biāo)，用約束頂點的方式來代替機(jī)械臂的運(yùn)動約束，用5次NURBS曲線去擬合運(yùn)動軌跡，再使用NSGA-Ⅱ?qū)r間-沖擊函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，不僅提高了機(jī)器人的運(yùn)行效率，而且減小了機(jī)器人運(yùn)動過程中的沖擊，優(yōu)化效果較好。

2.2.3時間-能量-沖擊最優(yōu)的軌跡規(guī)劃

時間-能量-沖擊最優(yōu)的軌跡規(guī)劃，是目前較好的軌跡規(guī)劃方案，也是較難實現(xiàn)的規(guī)劃方案。使用該方案時，要同時考慮機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)和結(jié)構(gòu)特性，在不同的應(yīng)用場合、不同的加工要求下，設(shè)置不同的目標(biāo)權(quán)重，從而使規(guī)劃得到的軌跡能夠適應(yīng)實際工作需求。

Saravanan等[91]提出了一個多準(zhǔn)則代價函數(shù)，該函數(shù)以時間、能量、沖擊為優(yōu)化目標(biāo)，加速度和可操作性作為評價指標(biāo)，先采用B樣條曲線進(jìn)行軌跡擬合，再分別利用NSGA-Ⅱ和DE算法對代價函數(shù)進(jìn)行求解。使用DE算法收斂速度更快、計算時間更短，但由于該加權(quán)系數(shù)是人為設(shè)定的，且系數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響較大，導(dǎo)致該方法應(yīng)用場合受限。楊云等[92]以六自由度吊機(jī)運(yùn)動過程中的時間、能量、沖擊等為優(yōu)化目標(biāo)，使用改進(jìn)帶精英策略的遺傳算法(SUMTNSGA-Ⅱ)去求解多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，能有效確保解集的多樣性和求解效率。王磊[93]用懲罰函數(shù)，將有約束優(yōu)化轉(zhuǎn)變成無約束優(yōu)化，提高了算法的效率。徐智浩等[94]對時間、能量、沖擊這3個目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，先求出優(yōu)化函數(shù)的一組最優(yōu)解集，再通過模糊判斷從前面求出的最優(yōu)解集中挑選一個需要的解。

多目標(biāo)綜合優(yōu)化是一種理想的軌跡規(guī)劃方式，但是目前各目標(biāo)之間的具體聯(lián)系尚未明確，相關(guān)權(quán)重系數(shù)也是根據(jù)經(jīng)驗設(shè)置，未給出科學(xué)的計算公式，還較難應(yīng)用于實際加工。

3 結(jié)束語

機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的基本軌跡規(guī)劃方法已有較為成熟的應(yīng)用，但還存在軌跡擬合精度不高、段與段連接處過渡不圓滑等問題，可采用B樣條、NURBS等擬合能力更強(qiáng)的曲線擬合軌跡，此外曲線的參數(shù)化也簡化了軌跡的求解過程，提高了求解速度。

單目標(biāo)最優(yōu)的軌跡規(guī)劃主要側(cè)重于對時間、能耗的優(yōu)化，多目標(biāo)綜合優(yōu)化中附加權(quán)系數(shù)法使用最為廣泛，但權(quán)重系數(shù)的確定有很大的主觀性，針對不同工作環(huán)境和加工要求的動態(tài)確定權(quán)重系數(shù)方案尚未得到解決。

目前，軌跡規(guī)劃方法大多是算法層面的研究，部分算法通用性差，對新型傳感器的應(yīng)用較少。未來可以從如下幾個方面對機(jī)器人軌跡規(guī)劃展開深入研究：

1)分段組合插值的軌跡規(guī)劃。

分段組合插值擬合精度較高、擬合速度快。分成若干小段后，每段的關(guān)鍵點較少，可以減少計算量。多項式組合插值、樣條曲線組合插值都應(yīng)用得較為廣泛，但多項式與樣條曲線組合插值的研究卻較少。如何提高段與段連接處的平滑性，如何去平衡軌跡平滑性與計算復(fù)雜度，將分段組合插值變得如點對點的軌跡規(guī)劃一樣簡單易實現(xiàn)是今后將要解決的一個問題。

2)不同工況的多目標(biāo)軌跡規(guī)劃。

目前，多目標(biāo)優(yōu)化大多是針對特定工況的多目標(biāo)優(yōu)化，今后應(yīng)該擴(kuò)大多目標(biāo)函數(shù)的應(yīng)用范圍，設(shè)計出可以針對不同工況和加工要求，自適應(yīng)調(diào)整各個目標(biāo)權(quán)重的多目標(biāo)算法。綜合考慮各個優(yōu)化目標(biāo)之間的聯(lián)系，確定符合實際的優(yōu)化目標(biāo)和更科學(xué)的權(quán)重系數(shù)，研究如何提高優(yōu)化算法求解速度和準(zhǔn)確性也是今后需要解決的一個難題。

3)多傳感器信息融合的智能軌跡規(guī)劃。

未來可通過傳感器對機(jī)器人工作環(huán)境和自身的工作狀態(tài)進(jìn)行智能感知。視覺傳感器獲取的圖像能夠?qū)崟r確定位姿信息，力傳感器則能監(jiān)測機(jī)器人末端執(zhí)行器的受力狀況，通過云計算和人工智能技術(shù)，并借助5G通訊網(wǎng)絡(luò)，使得機(jī)器人能夠快速自我學(xué)習(xí)。對大量的不同工況的機(jī)器人軌跡規(guī)劃數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，機(jī)器人能夠面對不同加工對象，自適應(yīng)選取插值關(guān)鍵點；針對不同加工場合，自適應(yīng)選取不同的軌跡插值方法；面對不同加工要求，動態(tài)調(diào)整多目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)。單一的視覺傳感器獲取的信息有限，多種傳感器共同作用，實現(xiàn)多傳感器信息融合，將能規(guī)劃出更好的軌跡，這也是今后軌跡規(guī)劃研究的一個重點。