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    4-維冪零李代數(shù)的Hom-Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)

    2022-11-11 13:02:32林麗芳曾月迪陳梅香
    關(guān)鍵詞:方括號(hào)基元同態(tài)

    林麗芳,曾月迪,陳梅香

    (莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,福建 莆田 351100)

    0 引言

    在研究向量場(chǎng)上Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)的量子形變時(shí),Hom-Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)得到了學(xué)者的關(guān)注與研究[1].Hom-Lie代數(shù)作為李理論的一個(gè)重要研究方向,與李代數(shù)有著十分密切的關(guān)系.近年來一些特殊李代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu)得到了充分研究,比如一個(gè)5-維可解李代數(shù)[2]、(n-3)-filiform李代數(shù)[3]、扭Heisenberg李代數(shù)[4]、李代數(shù)W(2,2)[5].作為一類重要的李代數(shù),冪零李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示在李理論的研究中占有重要地位.GRAAF[6]通過確定基元的方法給出了低維冪零李代數(shù)的分類.本文根據(jù)低維冪零李代數(shù)在同構(gòu)意義下的分類,確定了4-維冪零李代數(shù)的Hom-李代數(shù)結(jié)構(gòu).

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1[1]設(shè)L為域上的向量空間,帶有線性映射α:L→L,L上定義一個(gè)乘法運(yùn)算[-,-]:L×L→L(稱為方括號(hào)),如果滿足以下條件:

    (i)α[x,y]=[α(x),α(y)], ?x,y∈L;

    (ii)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y], ?λ1,λ2∈, ?x1,x2,y∈L;

    (iii)[x,y]=-[y,x],?x,y∈L;

    (iv)Hom-Jacobi等式:

    [(α+Id)(x),[y,z]]+[(α+Id)(y),[z,x]]+[(α+Id)(z),[x,y]]=0, ?x,y,z∈L,

    則稱(L,[-,-],α)為域上的一個(gè)Hom-Lie代數(shù),當(dāng)α=Id時(shí),Hom-Lie代數(shù)就為L(zhǎng)ie代數(shù).

    GRAAF[6]對(duì)低維冪零李代數(shù)的結(jié)構(gòu)做出了如下分類:

    引理[6]設(shè)L是特征為0的代數(shù)閉域上維數(shù)等于4的冪零李代數(shù),e1,e2,e3,e4是L的一組基,則在同構(gòu)的意義下,僅有如下三類(其中沒有寫出來的基元方括號(hào)運(yùn)算為0):

    L4,1:[ei,ej]=0;L4,2:[e1,e2]=e3;L4,3:[e1,e2]=e3, [e1,e3]=e4.

    下面研究4-維冪零李代數(shù)L4,1,L4,2,L4,3上的Hom-Lie代數(shù)結(jié)構(gòu),也就是確定其上的滿足Hom-Jacobi等式的自同態(tài).

    2 主要結(jié)論

    定理1 對(duì)于任何一個(gè)雙線性同態(tài)映射α,(L4,1,α)均可構(gòu)成一個(gè)Hom-Lie代數(shù).

    證明 因?yàn)長(zhǎng)4,1是可交換李代數(shù),基元上的方括號(hào)運(yùn)算等于0,即[ei,ej]=0,i,j=1,2,3,4,所以對(duì)于任何一個(gè)雙線性同態(tài)映射α,α保持基元的方括號(hào)運(yùn)算和Hom-Jacobi恒等式,也即(L4,1,α)構(gòu)成一個(gè)Hom-Lie代數(shù).

    定理2 若(L4,2,α)是一個(gè)Hom-Lie代數(shù),則Hom-同態(tài)α在L4,2的基元上的作用可表示為

    其中,a11a24-a21a14=0,a12a24-a22a14=0,a31,a32,a41,a42,a34,a44為任意常數(shù).

    證明 假設(shè)Hom-同態(tài)α在L4,2的基元上的作用為

    將α作用在[e1,e2]=e3上,可得[α(e1),α(e2)]=α(e3),即

    [a11e1+a21e2+a31e3+a41e4,a12e1+a22e2+a32e3+a42e4]=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4.

    根據(jù)L4,2的基元運(yùn)算,比較兩邊系數(shù)有

    a13=a23=a43=0,a33=a11a22-a21a12.

    (1)

    將α作用在[e1,e4]=0上,可得[α(e1),α(e4)]=0,比較兩邊系數(shù)有

    a11a24-a21a14=0.

    (2)

    將α作用在[e2,e4]=0上,可得[α(e2),α(e4)]=0,比較兩邊系數(shù)有

    a12a24-a22a14=0.

    (3)

    因?yàn)長(zhǎng)4,2上的基元運(yùn)算為[e1,e2]=e3,而e3與其他基元的方括號(hào)運(yùn)算為0,所以α顯然滿足Hom-Jacobi等式:

    [α(ei),[ej,ek]]+[α(ej),[ek,ei]]+[α(ek),[ei,ej]]=0, 1≤i,j,k≤4.

    結(jié)合(1)(2)(3)式,即得Hom-同態(tài)α在L4,2的基元上的作用如定理2.

    定理3 若(L4,3,α)是一個(gè)Hom-Lie代數(shù),則Hom-同態(tài)α在L4,3的基元上的作用可表示為如下四種情況:

    證明 假設(shè)Hom-同態(tài)α在L4,3的基元上的作用為

    由于[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e4,即方括號(hào)運(yùn)算結(jié)果僅含有e3,e4,而α保持方括號(hào)運(yùn)算,比較運(yùn)算兩邊系數(shù)可知α(e3),α(e4)中含有e1,e2的系數(shù)都為0,即

    b13=b23=b14=b24=0.

    (4)

    將α作用在[e1,e2]=e3上,可得[α(e1),α(e2)]=α(e3),比較兩邊系數(shù),并結(jié)合(4)有

    b11b22-b21b12=b33,

    (5)

    b11b32-b31b12=b43.

    (6)

    將α作用在[e1,e3]=e4上,可得[α(e1),α(e3)]=α(e4),比較兩邊系數(shù)并結(jié)合(4)有

    b34=0,

    (7)

    b44=b11b33.

    (8)

    將α作用在[e2,e3]=0上,可得[α(e2),α(e3)]=0,比較兩邊系數(shù)并結(jié)合(4)有

    b12b33=0.

    (9)

    因?yàn)長(zhǎng)4,3上的基元運(yùn)算為[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e4,e4與其他基元的方括號(hào)運(yùn)算為0,α(e3),α(e4)中e1的系數(shù)為0,所以α顯然滿足Hom-Jacobi等式:

    由(9)可知,b12,b33的取值分為b12=0,b33≠0;b12≠0,b33=0;b12=0,b33=0三種情況.

    當(dāng)b12=0,b33=0時(shí),式(5)(6)(8)可化為

    b11b22=0,

    (10)

    b11b32=b43,

    (11)

    b44=0.

    (12)

    由(10)可知,b11的取值分為b11=0和b11≠0兩種情況.

    當(dāng)b11=0時(shí),由(11)可知,b43=0,結(jié)合(4)(7)(12),即得定理3中第三種情況.

    當(dāng)b11≠0時(shí),由(10)可知,b22=0,結(jié)合(4)(7)(11)(12),即得定理3中第四種情況.

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