例析數(shù)學(xué)知識在高中物理解題中的應(yīng)用

江蘇蘇州市吳江中學(xué)（215200）王金淼

高中物理對很多學(xué)生來講是一門充滿挑戰(zhàn)的學(xué)科，這不僅因為物理解題過程比較復(fù)雜，還因為物理解題過程中會用到很多數(shù)學(xué)知識，而進入高中階段，數(shù)學(xué)知識較抽象，這無疑給物理問題的解決帶來了較大的麻煩。下面筆者結(jié)合教學(xué)實踐對數(shù)學(xué)知識在高中物理解題中的應(yīng)用進行分析。

一、對數(shù)在物理解題中的應(yīng)用

在高中階段，對數(shù)和對數(shù)函數(shù)是數(shù)學(xué)考查的重要知識點，同時，對數(shù)知識在物理解題中也有重要的應(yīng)用。

［例1］在研究太陽系八大行星的運動問題中，通常將它們的運動軌道近似看作圓軌道。下列4幅圖是某研究小組為描述行星運動軌道規(guī)律而作的圖像，其中T和R分別指行星軌道的周期和相應(yīng)的半徑，T0和R0分別指水星軌道的周期和相應(yīng)的半徑，則4幅圖中描繪正確的是（ ）。

圖1

小結(jié)：本題主要涉及對數(shù)、一次函數(shù)和繪制圖像等，在考查物理知識的同時，考查了學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。

二、圓的性質(zhì)在物理解題中的應(yīng)用

圓的性質(zhì)乍一看好似與物理解題沒什么關(guān)系，但在具體解題過程中，如果能夠巧妙應(yīng)用，則能讓物理問題的解決變得直觀便捷。尤其是在解決力學(xué)的分力與合力問題時，圓的性質(zhì)用得更多。

［例2］如圖2 所示，小物塊在拉力F的作用下沿著光滑的半圓形弧面從B點緩慢運動到A點。整個過程中，力F的方向始終沿著半圓形弧面的切線方向。以下結(jié)論正確的是（ ）。

圖2

A.拉力F逐漸變小

B.拉力F先變大后變小

C.小物塊受到的支持力逐漸變大

D.小物塊受到的支持力先變小后變大

解析：如圖3 甲所示，對小物塊進行受力分析，其中支持力FN與拉力F的方向始終垂直，由受力平衡可知FN和F的合力F合與小物塊的重力等大反向?？僧嫵隽Φ氖噶咳切蔚耐饨訄A如圖3 乙所示，由圖可知，外接圓的直徑表示合力F合，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，支持力FN先變大后變小，力F逐漸變小。

圖3

小結(jié)：數(shù)學(xué)是解決物理問題的基本工具之一，在學(xué)習(xí)過程中，一定要注意總結(jié)歸納這些常用方法。

三、不等式在物理解題中的應(yīng)用

物理問題中常會遇到需要求極值的情況，這類題通常是由于某個物理量受到取值或者物理規(guī)律的限制，而在某一個區(qū)間內(nèi)變化，這種情況在表現(xiàn)形式上與數(shù)學(xué)中的不等式類似。在實際解題過程中，可以利用不等式求物理題中的極值。

［例3］如圖4所示是一個串聯(lián)電路，其中電源電動勢和電源的內(nèi)阻分別為E和r，R1是定值電阻，R2是可變電阻。在這個電路中，當(dāng)可變電阻R2取何值時其消耗的功率最大？并求出消耗功率的最大值。

圖4

解析：利用等效法，可將定值電阻R1視為電源的內(nèi)阻，此時電路變?yōu)殡妱觿轂镋、內(nèi)阻為R1+r的電源外接一個可變電阻R2。可變電阻R2消耗的功率就是等效電源的輸出功率，根據(jù)功率公式可得：

小結(jié)：解決此類問題最常用的工具是不等式極值的求解方法，如若a+b≥，當(dāng)a=b時，a+b取最小值，ab取最大值。在物理問題中，如果需要求極值，可以優(yōu)先考慮用不等式的性質(zhì)求解。

四、相似三角形在物理解題中的應(yīng)用

在力學(xué)問題中，常會考查三力平衡的相關(guān)知識，常規(guī)的解題方法是利用力的合成與分解，但通常情況下這種方法較為復(fù)雜，那么有什么方法可以讓這類問題的求解變得簡單呢？我們先來看看下面的例題。

［例4］如圖5 所示，一質(zhì)量不計的輕質(zhì)細桿OA可繞O點自由轉(zhuǎn)動，豎直細桿OB頂端安裝有一理想定滑輪。在A點懸掛一重力為G的重物，系在A端的輕繩繞過B點處的定滑輪用力F拉動。當(dāng)細桿OA從與OB重合處緩慢順時針放下，∠AOB由0°變?yōu)?80°的過程中，下列判斷正確的是（ ）。

圖5

A.拉力F越來越大，但不會超過2G

B.細桿OA所受壓力大小始終為G

C.拉力F先增大后減小

D.細桿OA所受壓力先減小后增大

解析：對細桿OA的A端進行受力分析，可得如圖6 所示的示意圖。由幾何知識可知，△OAB與力的矢量三角形是相似圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：

圖6

因為在細桿OA放下的過程中，AB的長度在不斷增加，所以拉力F不斷變大；而OA和OB的長度不變，因此只有選項A，B正確。

小結(jié)：數(shù)學(xué)知識在物理中有妙用，最大優(yōu)點是能夠使本來復(fù)雜的分析過程變得直觀，相似三角形在本例中起到的作用就是如此。

五、一元二次方程在物理解題中的應(yīng)用

在運動學(xué)問題中，我們列出的公式常會出現(xiàn)一元二次方程，那么是否可以利用一元二次方程的一些性質(zhì)來簡化物理問題的解題過程呢？回答是肯定的。其中常用的有以下兩個：①在一元二次方程ax2+bx+c=0中，根與系數(shù)存在一定關(guān)系，即x1+x2=②根的判別式Δ=b2-4ac。巧妙利用以上兩個性質(zhì)，可以簡化解題過程。

［例5］小明坐公交車去上學(xué)，在距離公交車站60 m時發(fā)現(xiàn)要乘坐的公交車正以a=1 m/s2的加速度啟動，于是他以速度v0追趕公交車并同時呼喊讓公交車司機停車。若只有當(dāng)小明距離公交車小于20 m 且持續(xù)呼喊2 s才能保證公交車司機能夠收到他的停車請求。問：

（1）小明的奔跑速度v0至少應(yīng)為多少？

（2）若v0=10 m/s，則小明距離公交車最近的距離為多少？

解析：（1）設(shè)小明到達距離公交車20 m 處時用時Ts，根據(jù)位移公式可得：

代入a=1 m/s2，化簡后可得：

T2-2v0T+80=0

上式為關(guān)于T的一元二次方程，設(shè)T1、T2為該一元二次方程的兩個根，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得：

因為小明想要坐上公交車，他與公交車的距離應(yīng)小于20 m且持續(xù)呼喊2 s才可以，由此可得：

聯(lián)立①②③三式可得小明奔跑的最小速度

v最小=9 m/s

（2）若v0=10 m/s，則經(jīng)過時間t后小明與公交車的距離為：

由上式可知，當(dāng)t=10 s時，d取最小值，可得d最小=10 m。

［例6］在一次實驗探究活動中，小明得到一個阻值為5 Ω的小燈泡、一個最大阻值為10 Ω的滑動變阻器和一個內(nèi)阻不計、電壓為2 V 的電源，另有開關(guān)一個、導(dǎo)線若干。他用上述器材組成一個串聯(lián)電路后，調(diào)節(jié)滑動變阻器，問：若想滑動變阻器接入電路部分消耗的功率最大，則接入部分的阻值應(yīng)為多大？

解析：設(shè)滑動變阻器接入電路部分的阻值為R，其消耗的功率為P，則可得：

整理上式可得到一個關(guān)于R的一元二次方程

PR2+（10P-4）R+25P=0

因為電阻應(yīng)為實數(shù)，故上式應(yīng)有實數(shù)解，由此可得：

Δ=b2-4ac=（10P-4）2-4P× 25P=16-80P≥0

解得P≤0.2 W，故滑動變阻器接入電路部分消耗的功率的最大值為0.2 W。

將P=0.2 W 代入PR2+(10P-4)R+25P=0可得R=5 Ω。

小結(jié)：以上兩個例題的解法有很多，若作比較就會發(fā)現(xiàn)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式進行解題，解題思路較為清晰，解題步驟也相對簡單。

綜上，高中物理解題想要便捷高效，離不開數(shù)學(xué)知識的有效應(yīng)用。為了達到理想的解題效果，在平時教與學(xué)的過程中，教師和學(xué)生都要有意識地加強物理知識與數(shù)學(xué)知識的融合，注重歸納和反思。