主題聚焦：函數(shù)中角的存在性處理策略
——以一道函數(shù)習(xí)題的講解為例

張 贊

江蘇省蘇州市吳江區(qū)笠澤實驗初級中學(xué) 215200

數(shù)學(xué)解題模型能讓學(xué)生在解題過程中明確解題思路，形成解題直觀策略，更能直接發(fā)現(xiàn)問題和問題之間的本質(zhì)聯(lián)系.“角的存在性問題”就是一種很常見的數(shù)學(xué)解題模型，在近幾年蘇州市的中考中多次出現(xiàn)，其主要考查學(xué)生對平面幾何核心知識的掌握程度以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文通過一道典型的函數(shù)習(xí)題的解析，談?wù)剬Α敖堑拇嬖谛詥栴}” 以及數(shù)學(xué)解題模型的初步認識.

以一道45°角為例的“角的存在性問題”為背景

例題如圖1所示，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，且經(jīng)過點C（0，2），D，點P是直線CD上方拋物線上一動點，當(dāng)∠PCD=45°時，求P點的坐標.

圖1

模型145°角→構(gòu)造出等腰直角三角形→構(gòu)造出“一線三直角”（即與“K”字形相似）.

解析1設(shè)參數(shù)坐標求解.

圖2

解析2利用已知點的坐標求解.

如圖3所示，過點D作DQ⊥CD，交CP的延長線于點Q，過點D作平行于y軸的直線，并分別過點C，Q向該直線作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則△CDQ為等腰直角三角形，△CED ≌△DFQ，從而DF=CE=3，QF=DE=故Q點坐標為

圖3

反思（1）解析1與解析2的策略是一樣的，區(qū)別在于把P，D哪一點作為直角頂點構(gòu)造“一線三直角”.在計算上，解析1更突出“設(shè)參數(shù)坐標求解”的思路，這是函數(shù)綜合題的常用方法，也是初高中數(shù)學(xué)銜接中“圖像設(shè)點”的一種重要手段.解析2更突出“利用圖形中的已知點求解”的思路，更強調(diào)圖形本身的特點，計算上較解析1簡單.

（2）理論上，在直線CD上任取一個已知點，將它作為等腰直角三角形的直角頂點，都可以順利求解，如圖4所示，可以自行探究.

圖4

模型2一個45°角→補出兩個45°角→構(gòu)造出“一線三等角”.

解析3如圖5所示，過點P，D向y軸作垂線，補出兩個45°角，構(gòu)造出“一線三等角”結(jié)構(gòu)，即△PCE∽△CDF，則，即PE·DF=CE·CF.

圖5

反思（1）由于本題數(shù)據(jù)的特殊性，最后我們可以發(fā)現(xiàn)，點P，D的縱坐標相等，所以過點P，D作y軸的垂線，垂足是重合的，即為圖5中的G點，其實是否巧合，對于解題并沒有影響.

（2）所謂的“一線”對“位置”上并沒有很大的要求，可以作成“水平線”，“也可以作成“斜線”，一般選擇現(xiàn)有的“一線”比較合適.

模型3一個45°角→再補一個45°角→構(gòu)造出“母子型相似”.

解析4如圖6所示，過點D作y軸的平行線交CP的延長線于點Q，交x軸于點G，再作CE⊥QG于E，構(gòu)造出等腰直角三角形CEF，則∠F=45°，EF=CE=3，

圖6

反思“母子型相似”與“一線三等角”是非常重要的基本相似形，上述解法都是將其視為基本的“工具”，結(jié)合這些基本圖形的結(jié)構(gòu)特征，補上所缺的元素，巧妙構(gòu)造，能順利完成求解.

模型445°角→構(gòu)造出正方形的“半角模型”.

解析5如圖7所示，作正方形CEFG，使CG邊在y軸上，且邊EF過點D，直線CP與FG相交于點Q.

圖7

設(shè)QG=x，由∠PCD=45°，結(jié)合正方形中的“半角模型”，可得QD=QG+DE=；最后鎖定Rt△QDF，由勾股定理得，解得x=1.故Q點坐標為（1，5）.（下略）

反思正方形的“半角模型”由于其得到的結(jié)論非常多，因此其應(yīng)用非常廣泛.在本題中巧妙地構(gòu)造出正方形的“半角模型”，通過求出Q點的坐標順利完成求解.

“角的存在性問題”的方法總結(jié)

通過對這道典型的函數(shù)例題的辨析，我們大致可以把“角的存在性問題”的模型細分為以下幾種具體的子模型：（1）構(gòu)造“一線三等角”（含“一線三直角”，即“K”字形）；（2）利用已知角構(gòu)造“母子型相似”；（3）構(gòu)造“整體旋轉(zhuǎn)”轉(zhuǎn)化為矩形或正方形模型.

這道例題是以45°角為例的，如果換成30°等其他特殊角甚至非特殊角，以上幾種解題模型均能使用.對于“角”，經(jīng)常會利用正切轉(zhuǎn)化為“邊”進行處理，再結(jié)合更常見的“橫平豎直”的輔助線，以達到“改斜歸正”“化斜為直”的效果，從而將“角的存在性問題”順利解決.

對中考復(fù)習(xí)中解題模型的進一步思考

數(shù)學(xué)解題模型是對新課標、教材、學(xué)材中的各個知識點的進一步拓展延伸或另一個維度的直觀表達，具體說就是一種能有效解決某些類型問題的方法和思路.審題時能快速識別模型并正確使用模型，能把試題中出現(xiàn)的復(fù)雜的幾何圖形分解成平時所熟悉的基本圖形，能辨析復(fù)雜的模型又是由哪些幾何基本模型融合而成的……要讓學(xué)生做到以上幾點，需要教師如何在平時的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的這種綜合應(yīng)用能力呢？

現(xiàn)以“角的存在性問題”模型中的“一線三等角”這個子模型為例.蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊第1章“全等三角形”復(fù)習(xí)鞏固第5題中，以及“圖形的相似”“中心對稱圖形”等章節(jié)的習(xí)題中多次出現(xiàn)了“一線三等角”這一基本模型.中考的很多試題都是在教材“一線三等角”這一基本模型的基礎(chǔ)上進行延伸和改編而成的，因為中考試題的命制首先是源于教材的，但最終又高于教材.類似這樣的線、角模型還有許多.這就啟示教師在平時的教學(xué)中應(yīng)充分利用教材中的資源，深度研究教材的例題、習(xí)題和教學(xué)建議.在學(xué)生已經(jīng)掌握了教材中的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的基礎(chǔ)上，教師要對教材中的例題、習(xí)題進一步進行分析、歸納、總結(jié)，從不同的角度嘗試解決問題，從而引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)出不同的解題模型；要對教材中原有的例題、習(xí)題進行改編、演變、拓展，改變條件或結(jié)論或讓條件從原來的靜態(tài)變成動態(tài)，成為一個新的題型考查學(xué)生的審題能力、發(fā)散性思維能力、逆向思維能力和靈活應(yīng)變能力.從變化的問題中發(fā)現(xiàn)不變的模型的本質(zhì)，從不變的模型的本質(zhì)中探索模型的規(guī)律，能讓學(xué)生在例題、習(xí)題的變式訓(xùn)練中潛移默化地學(xué)會發(fā)現(xiàn)和提出問題，進而分析問題并順利解決問題.

結(jié)束語

中考數(shù)學(xué)試題的命制基本上都體現(xiàn)了新課標要求下的教學(xué)導(dǎo)向，而回歸教材、充分發(fā)掘教材是中考試題命制常見的思路.因此，教師在平時的中考復(fù)習(xí)過程中，要引導(dǎo)和幫助學(xué)生總結(jié)和提煉出一些常見的幾何基本模型，并在解題教學(xué)中善于抓住問題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生充分利用基本模型分析問題，讓學(xué)生在分析問題、解決問題的過程中充分體會基本模型中所蘊含的數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)思想方法.當(dāng)然，教師還要倡導(dǎo)問題解法的多樣化，倡導(dǎo)一題多解，發(fā)展學(xué)生的審題能力，開闊學(xué)生的解題思路，發(fā)散學(xué)生的思維，使學(xué)生學(xué)會從多方面、多角度去分析問題、解決問題，即“心中要有模型又不拘泥于模型”，這對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、學(xué)生的解題思路、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的現(xiàn)實意義.