淺談解決高中數(shù)學(xué)集合問題的思路

◎支文妍 （甘肅省臨洮縣第二中學(xué)，甘肅 定西 730500）

根據(jù)高中數(shù)學(xué)教材，集合是初學(xué)階段的內(nèi)容，有輔助后續(xù)學(xué)習(xí)的作用.在考核高中學(xué)生文化課學(xué)習(xí)水平的過程中，必然會(huì)考查集合知識，考卷中一定會(huì)出現(xiàn)集合問題.因此，對高中學(xué)生而言，全面掌握集合知識，并能夠運(yùn)用知識解決集合問題是非常關(guān)鍵的.然而，部分學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較差，沒有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和科學(xué)的學(xué)習(xí)方式，所以當(dāng)面對較難的集合知識的，會(huì)有所退縮，學(xué)習(xí)效果自然不理想，在解決數(shù)學(xué)集合問題方面，也存在不盡如人意的地方，對后續(xù)的學(xué)習(xí)造成負(fù)面效應(yīng).基于此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到學(xué)生的薄弱點(diǎn)，充分了解他們對學(xué)習(xí)集合知識的擔(dān)憂，從實(shí)際層面入手，對學(xué)生實(shí)施教學(xué)工作，并且引導(dǎo)他們解決數(shù)學(xué)集合問題，從而緩解學(xué)生的畏難情緒，推動(dòng)他們將所學(xué)知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題的過程中.

一、解決集合問題的重要性

作為數(shù)學(xué)知識體系的重要內(nèi)容，集合的地位比較獨(dú)特，其基本理論在數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域中都有所滲透.幾何、數(shù)列、不等式、函數(shù)等都涉及了集合知識，而集合問題也是考卷中必然會(huì)出現(xiàn)的內(nèi)容.因此，對于高中學(xué)生而言，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，全面掌握集合知識并有效解決集合問題是前提.可見，集合問題在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，其對學(xué)生的未來學(xué)習(xí)之路會(huì)產(chǎn)生重要影響.所以，當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教師要仔細(xì)研究教材，理順集合知識的教學(xué)思路，并融入集合問題，讓學(xué)生逐漸形成數(shù)學(xué)思維，擁有良好的解題能力.

二、解決數(shù)學(xué)集合問題的有效途徑

（一）主動(dòng)探究集合問題

雖然集合知識屬于高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，但是學(xué)習(xí)起來，仍然具有一定難度.集合知識相對難以透徹理解，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣嚴(yán)重不足，因此阻礙了集合問題的有效解決.對此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮教學(xué)動(dòng)能，結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，采取趣味化的教學(xué)方式，重新激起學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，使他們更加積極主動(dòng)探究集合知識，并自主實(shí)踐研究集合問題，尋找良好的解決思路.

（二）對教材合理使用

高中的數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要參考，其中關(guān)于集合知識和例題的介紹，對學(xué)生學(xué)習(xí)具有重要影響.所以，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到教材的重要性，并對其進(jìn)行合理運(yùn)用，使學(xué)生逐步形成良好的解決集合問題能力.

（三）借助多媒體設(shè)備

現(xiàn)如今，我國已經(jīng)進(jìn)入信息化時(shí)代，信息技術(shù)在更多的行業(yè)中被推廣運(yùn)用.在教育教學(xué)領(lǐng)域中，信息技術(shù)也逐漸深入課堂，其中最為典型的便是利用多媒體技術(shù)教學(xué).高中數(shù)學(xué)教師對集合知識和相關(guān)問題予以傳授、解答時(shí)，也要結(jié)合多媒體技術(shù)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，使學(xué)生準(zhǔn)確掌握解答集合問題的方法.

（四）聯(lián)系多種學(xué)科

高中數(shù)學(xué)教材中的集合知識和集合問題不是單一存在的，與其他學(xué)科具有一定聯(lián)系.例如，語文學(xué)科中博大精深的語言文字，可以幫助學(xué)生更好地理解集合的概念以及定理，并且能夠幫助學(xué)生讀懂集合問題題干給出的已知條件；借助英語字母，集合中的某些字符可以被字母代替，顯得更加清晰明了等.

（五）從多個(gè)角度理解題意

分析集合知識可知，其主要包括文字語言、符號語言、圖形語言三種.其中，文字語言主要是指將數(shù)學(xué)知識內(nèi)容用合理、易理解的語言進(jìn)行描述，從而使學(xué)生能夠更深入地探索這一知識.符號語言與主要集合知識有一定的內(nèi)在聯(lián)系，集合的數(shù)量關(guān)系可以用符號進(jìn)行描述.圖形語言與符號語言有著相同的作用，其主要作用是數(shù)學(xué)圖形來描述集合知識內(nèi)容，使抽象的內(nèi)容變得簡單、具體、直觀，便于學(xué)生學(xué)習(xí)、理解.高中數(shù)學(xué)集合內(nèi)容有著不同的語言表達(dá)方式，通過語言的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及學(xué)習(xí)能力有所提升，有利于學(xué)習(xí)目的的實(shí)現(xiàn).學(xué)生在審題的過程中，要學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用不同語言，從多個(gè)角度進(jìn)行分析，從而取得顯著的學(xué)習(xí)效果.除此之外，多多練習(xí)也是強(qiáng)化理解、提高解題效率的有效途徑.

三、集合中需要注意的問題

集合知識看起來通俗易懂，但許多知識點(diǎn)都與集合有著密不可分的關(guān)聯(lián)，甚至其他學(xué)科中也多多少少會(huì)涉及數(shù)學(xué)集合問題，所以學(xué)生應(yīng)學(xué)好集合知識.有些學(xué)生認(rèn)為集合問題不難，因此，沒有認(rèn)真學(xué)習(xí)，忽略了很多問題，最終導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.為提高解題效率，在學(xué)習(xí)集合過程中應(yīng)明確地掌握集合性質(zhì)以及集合內(nèi)涵.

（一）注意集合元素性質(zhì)

集合作為高中數(shù)學(xué)重要知識內(nèi)容之一，雖然知識點(diǎn)不多，但卻是學(xué)習(xí)難點(diǎn)，很多集合題目不只是涉及集合知識，還涉及其他方面的內(nèi)容.在解決集合問題時(shí)，要將“集合”看成一個(gè)整體，每個(gè)元素都有著不同的含義和性質(zhì)，主要從以下三個(gè)方面分析：第一，確定性.集合的確定性主要是指其元素都是固定的，并非隨意一個(gè)元素.第二，無序性.集合的各個(gè)元素是沒有順序的.第三，互異性.如果存在兩個(gè)及以上相同的元素，那也只能看作一個(gè)元素，這充分地體現(xiàn)了集合的互異性.在解決集合問題的過程中，只有搞清楚集合元素的性質(zhì)才能進(jìn)行下一步解答，可以有效地降低出錯(cuò)率.

（二）注意集合內(nèi)涵

集合蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)集合的過程中能夠培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維，利用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行實(shí)際問題的解決.等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等都是解決集合問題的有效方式，可見集合的內(nèi)容豐富，涉及廣泛.只有不斷深入挖掘集合知識的內(nèi)涵，理清解題思路才能實(shí)現(xiàn)舉一反三的學(xué)習(xí)效果，這對學(xué)生思維發(fā)展有很大的促進(jìn)作用，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)意識，推動(dòng)學(xué)生的全面發(fā)展.

四、理清集合定義，解決問題基礎(chǔ)

通常情況下，學(xué)生剛進(jìn)入高中學(xué)校，便會(huì)接觸到集合知識.此時(shí)學(xué)生的軍訓(xùn)生涯剛完結(jié)不久，較熟悉“集合”一詞.在軍訓(xùn)時(shí)期，教官每天都會(huì)吹口哨，并伴隨著“集合”的聲音，學(xué)生已經(jīng)非常習(xí)慣“集合”.所以，高中數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合學(xué)生軍訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)，向他們講授“集合”的概念和定理，為后續(xù)解決集合問題奠定良好基礎(chǔ).首先，教師在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，可以借助軍訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)，依托多媒體設(shè)備，播放學(xué)生的軍訓(xùn)視頻，并向?qū)W生提出自己已經(jīng)設(shè)計(jì)好的問題：“教官在組織軍訓(xùn)時(shí)，通知第一方陣的學(xué)生，要求他們立即集合，那么是否全部同學(xué)都要對該教官的指令完全聽從，進(jìn)而立即整隊(duì)，集合完畢呢？”只見學(xué)生回答“不是所有同學(xué)都必須立即集合，只有那些處于第一方陣的同學(xué)，才需要聽從教官的指揮”.隨后，教師可以立即引出集合的概念“同學(xué)們，下面請聽老師的講解，剛剛你們也說過負(fù)責(zé)為第一方陣的同學(xué)進(jìn)行軍訓(xùn)的教官，發(fā)出集合指令，那么第一方陣的同學(xué)就必須聽從指揮，而其他同學(xué)則不必立即列隊(duì)，由此可見，在集合中，其擁有確定的對象.從數(shù)學(xué)的角度來看，集合指的是對象確定，并且有多個(gè)，它們相互集結(jié)，并且形成一個(gè)整體，其中用元素代指每一個(gè)對象”.

在對集合基本概念有一定認(rèn)識之后，高中數(shù)學(xué)教師可以向?qū)W生提出問題，即判斷以下案例中是否存在集合組成的可能：（1）、、等英文字母，共有26 個(gè)；（2）某個(gè)班級內(nèi)，學(xué)生中個(gè)子較高的人；（3）自然數(shù)中，比5 小的部分；（4）我國已經(jīng)放映的電影中，觀影體驗(yàn)較好的電影.學(xué)生根據(jù)所學(xué)的集合概念，首先分析上述案例中是否具有確定的對象，即集合元素.據(jù)此可知，（2）、（4）中對象不確定，“高個(gè)子”“觀影體驗(yàn)”等判斷標(biāo)準(zhǔn)不明確，因此組成集合的可能性不存在.而（1）、（3）中可以找到確定的對象，英文字母的個(gè)數(shù)已經(jīng)明確是26 個(gè)，不會(huì)是25 個(gè)，也不可能是27 個(gè)；而小于5 的自然數(shù)只有0，1，2，3，4，所以可以形成集合.這樣，學(xué)生在腦海中對集合的概念形成了更加深刻的認(rèn)識，有利于指導(dǎo)后續(xù)集合問題的解決.

五、嘗試解決交集和并集的問題

關(guān)于交集、并集的知識，學(xué)生最初學(xué)習(xí)時(shí)，感到難以理解，對于相關(guān)的數(shù)學(xué)符號無法做出區(qū)分，更不用說解決交集、并集的實(shí)際問題.對此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮聯(lián)想的能力，與其他學(xué)科銜接，簡化交集、并集的概念難度，使它們變得淺顯易懂.通常來說，在高中學(xué)生群體中，他們認(rèn)為學(xué)校開設(shè)的學(xué)科中，最簡單、最容易理解的學(xué)科便是語文.因?yàn)槲覈哪刚Z是漢語，學(xué)生從小便已經(jīng)接觸語文學(xué)習(xí)，直到進(jìn)入高中，他們已經(jīng)擁有十幾年的語文學(xué)習(xí)和實(shí)踐經(jīng)歷，對于文字性內(nèi)容的理解，難度不大.所以，高中數(shù)學(xué)教師可以聯(lián)系語文學(xué)科，讓學(xué)生對“交”和“并”形成大致理解之后，再向他們傳授交集、并集的概念，并且引導(dǎo)學(xué)生完成練習(xí)題目.“交”指的是相交，各種事物、情感等雖然存在一定區(qū)別，但其中又有相通之處.在數(shù)學(xué)概念中，交集則是指在兩個(gè)或多個(gè)集合中，存在相同的元素，這樣會(huì)使學(xué)生容易理解集合的“交集”概念.而“并”在漢語中更多代指并行、合并、兼并等，其中合并是將多個(gè)完全不同的主體重新排列組合，形成全新的集合.所以，合并的過程是將多個(gè)單獨(dú)的個(gè)體再次化為“一”.由此與高中數(shù)學(xué)教材中的“并集”相對應(yīng)，可知，給定集合、集合等多個(gè)集合，把它們所有的元素合并在一起構(gòu)成的集合，即為并集.借助語文學(xué)科的內(nèi)容，對交集和并集進(jìn)行解釋之后，學(xué)生的理解更加深刻.

數(shù)學(xué)教師可以趁熱打鐵，提出問題，讓學(xué)生解答.例如，現(xiàn)在有三個(gè)集合，＝｛1，2，3，4｝、＝｛2，3，4，5｝、＝｛4，5，6｝，請分別列舉出上述集合中的交集和并集.此時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)逐步引導(dǎo)學(xué)生，將該問題進(jìn)行解答.首先，教師讓學(xué)生回想所學(xué)的交集和并集的概念以及特征.之后仔細(xì)觀察上述三個(gè)集合，能夠很快發(fā)現(xiàn)，集合與集合中存在2、3、4 三個(gè)相同的元素，而集合與集合中存在4、5 兩個(gè)相同的元素，所以可以得出∩＝｛2，3，4｝；∩＝｛4，5｝；集合與集合中存在一個(gè)相同元素4，則∩＝｛4｝；三個(gè)集合都有的元素是4，所以∩∩＝｛4｝.而集合、集合、集合的并集：∪＝｛1，2，3，4，5｝；∪＝｛2，3，4，5，6｝；∪＝｛1，2，3，4，5，6｝；∪∪＝｛1，2，3，4，5，6｝.教師要提醒學(xué)生注意：求集合的并集時(shí)，同時(shí)屬于兩個(gè)集合的公共元素，在并集中只列一次（讓學(xué)生思考為什么？）.通過這種方式，使學(xué)生對基礎(chǔ)的交集、并集問題都能夠理解并解決.

六、區(qū)分不同的解題條件

對高中學(xué)生來說，想要有效解決數(shù)學(xué)集合問題，首先應(yīng)當(dāng)能夠讀懂其中給出的條件，做出正確的分析.在教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師需要對學(xué)生逐步引導(dǎo)，讓他們能夠區(qū)分出集合問題中比較容易混淆的條件.例如，數(shù)與數(shù)對在相關(guān)問題中，就存在很多相似的地方，學(xué)生理解起來存在一定困難，需要教師進(jìn)行輔助，將其中的異同點(diǎn)為學(xué)生講解清楚，并引導(dǎo)他們能夠舉一反三，有效區(qū)分不同的解題條件.下面以例題進(jìn)行詳細(xì)闡述.

有兩個(gè)不同的集合，｛｜＝＋1｝與｛（，） ｜＝＋1｝，對二者的關(guān)系進(jìn)行判斷.許多學(xué)生初見時(shí)，認(rèn)為它們具有相等的關(guān)系，便草草寫下自己的答案.但實(shí)際上，通過仔細(xì)觀察，便可以發(fā)現(xiàn)二者之間的不同.這就需要數(shù)學(xué)教學(xué)教師具備良好的教學(xué)能力，引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，準(zhǔn)確定位兩個(gè)集合的不同之處，從而獲得準(zhǔn)確的答案.首先，教師向?qū)W生提問：“同學(xué)們，你們再認(rèn)真看看，這兩個(gè)集合的區(qū)別在哪里？”學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識對比分析之后，紛紛踴躍回答：“前面的集合屬于數(shù)集，而后面的集合屬于數(shù)對集.它們并不是像之前所說的，具有平等關(guān)系，而是不平等的.”然后，數(shù)學(xué)教師向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，解題時(shí)要注意集合的描述法中表示元素的形式.

七、結(jié)束語

綜上所述，學(xué)生步入高中學(xué)校之后，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面，首先接觸的便是集合知識.學(xué)生學(xué)好集合的相關(guān)內(nèi)容，不論是解決集合問題，還是推動(dòng)后續(xù)學(xué)習(xí)，均能夠起到良好的作用.但是現(xiàn)實(shí)中，由于集合內(nèi)容比較抽象，他們在理論知識的掌握方面已經(jīng)存在短板，更不用說解決集合問題了.鑒于此，在實(shí)際教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生實(shí)際著手，找尋學(xué)生在集合知識板塊上的薄弱點(diǎn)以及切實(shí)需求，從而展開有針對性地教學(xué).在引導(dǎo)學(xué)生掌握理論知識的基礎(chǔ)上，以良好的數(shù)學(xué)思維，高超的解題能力，深入探究集合問題的答案，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).