運算放大器教學中的若干問題探析

田社平 王潤新 張 峰

(1. 上海交通大學 電子信息與電氣工程學院， 上海 200240)(2. 上海海事大學 物流工程學院， 上海 201306)

運算放大器(以下簡稱運放)是工程上極為常用的器件。針對此器件，目前“電路理論”“電路分析”等課程的教學基本要求、教學大綱及教材等均以理想運放模型為主要教學內(nèi)容。該理想化模型在幫助學生初步建立運放概念、理解實際運放工作原理和對含運放電路進行計算等方面具有積極作用。

在教學實踐中，依據(jù)過于簡化的模型討論運放電路往往導致教學內(nèi)容與工程實際有較大脫節(jié)，在一些看似簡單的問題上稍不注意就容易出錯。一些模糊甚至錯誤的認識一旦被初次接觸運放概念的學生接受，還會影響其對后續(xù)課程的學習。

下面將從運放符號使用、虛短和虛斷概念表述、常見題目錯誤、答案校核、模型局限性等方面對教學中易出現(xiàn)的幾個問題做一梳理并進行闡釋。這些問題難易程度不一，對其加以厘清從改進教學效果角度看都有必要。

1 電路符號

運放的符號采用三角形或矩形的圖形，它們都是國際通用的畫法。前者為IEC(國際電工委員會)標準所采納，后者為ANSI(美國國家標準學會)標準所采納。我國國家標準規(guī)定的運放的符號與IEC相同。在國內(nèi)教材中，常見的運放符號如圖1所示[1-3]。

(a) 完整型符號

(b) 簡化符號

(c) 含接地的符號圖1 運放的圖形符號

圖1(a)所示的符號表達了實際運放中對運放功能起關(guān)鍵作用的5個端子，該符號最為完整，和實際運放電路最為接近。圖中運放各端所標電壓均為對地電壓，且各端電流之間滿足KCL，初學者容易理解。

圖1(a)中標出+U、-U兩個電源還表明輸出電壓uo限制在-U～+U范圍之內(nèi)，反映出了實際運放應(yīng)該具有的飽和特性，詳細討論見第4節(jié)。

圖1(b)是運放模型的簡化符號，也是IEC和ANSI采納的符號。熟練掌握運放概念的學生或工程師使用該符號不存在問題，但初學者容易理解出錯。盡管圖1(b)所示符號并沒有包含電源和地，但在教學中需明確：①符號中沒有畫出電源，但電源是客觀存在的。運放的偏置離不開電源，運放輸出端對外提供的功率也是由電源提供的；②“地”同樣是客觀存在的，+U、-U取值均以“地”為參考點，uo的取值也是完全離不開“地”的，必須以“地”為基準；③所標運放三個端子上的電流并不滿足KCL。

圖1(c)在圖(b)符號基礎(chǔ)上直接增畫了“地”端，為較多教材/文獻所采用。此符號強調(diào)了“地”的存在，但容易給學生造成“地”端本身屬于運放的印象，與實際運放的端子排布情況不符。在具體電路中若采用此符號，如圖2所示，容易讓初學者覺得RL似乎兩端都與運放相連，甚至在通過該圖求解運放對地電流等方面產(chǎn)生錯誤聯(lián)想。

圖2 采用圖1(c)符號的含運放電路

2 虛短、虛斷概念

虛短是理想運放工作于線性放大狀態(tài)時才有的概念。較多教材將“虛短”直接表述為

u+=u-

(1)

亦即，運放的同相端與反相端的電壓相等，本文認為這種表述欠妥。理由如下：

實際中A雖然可能取值很大，但畢竟還是有限值。由運放在線性區(qū)的開環(huán)電壓傳輸特性

uo=A(u+-u-)

(2)

可知，uo非零時必然有u+-u-不等于零。此直觀結(jié)論可在眾多實驗和仿真結(jié)果中得到驗證。

(2) 即使數(shù)學上假設(shè)A→∞，由式(2)也不能推出式(1)。事實上，由式(2)只能推出，當A→∞且uo為非零有限值時，u+-u-是1/A的同階無窮小。當u+-u-是1/A的高階無窮小時，A(u+-u-)結(jié)果將等于零。當(u+-u-)嚴格等于零時結(jié)果更是如此。

(3) 在肯定式(1)成立的前提下容易導致錯誤結(jié)論。例如，若在圖3電路中根據(jù)式(1)得出反相輸入端電位為零的結(jié)論，則根據(jù)替代定理將該輸入端對地短接后將得到與原電路完全不一樣的結(jié)果。

圖3 反相放大電路

關(guān)于“虛短”，本文觀點是：不宜將虛短表達為式(1)，而應(yīng)當要么籠統(tǒng)地說明u+和u-差別很小(可表達為u+≈u-)，要么定量地說明(u+-u-)只是1/A的同階無窮小，而不能是1/A的高階無窮小，更不能等于零。國內(nèi)有些教材所采納的就是上述觀點[4]。

相較“虛短”或“虛地”,“虛斷”說法在西方教材、文獻中出現(xiàn)較少。國內(nèi)學者中也存在不同理解。

廣義地講，“虛斷”指由于實際運放輸入電阻Rin很大而導致的輸入端電流很小(約等于零)。即使運放處于非線性工作狀態(tài)亦即“虛短”不成立時，“虛斷”也成立。

有教材認為“虛短”“虛斷”是平行存在的一組概念，“因為電壓為零時，電流也為零，反之亦然”[5]。上述觀點將“虛斷”概念僅適用于運放線性工作區(qū)，本文稱之為狹義的“虛斷”。在線性工作區(qū)“虛短”成立，由(u+-u-)很小且Rin很大，導致輸入電流(u+-u-)/Rin更小。此情況與上述廣義“虛斷”的定義并不矛盾。

有教材將“虛斷”直接表述為

i+=i-=0

(3)

本文同樣認為欠妥。理由簡述如下：

(1) 即使在上述狹義“虛斷”情況下，Rin→∞也只會使得(u+-u-)/Rin變?yōu)楸?u+-u-)更高階的無窮小，而不可能嚴格變成零。

(2)肯定式(3)成立等價于將Rin→∞理解為將兩輸入端之間當開路處理。這樣做，在后續(xù)課程討論串聯(lián)反饋時問題不大。但在討論并聯(lián)反饋電路時，會因運放輸入端開路而導致電流反饋接入點分流的理論失效[6]。

(3)與對“虛短”的討論類似，肯定式(3)成立將導致替代定理應(yīng)用困難。

關(guān)于“虛斷”，本文觀點是：不宜將虛斷表達為式(3)，只要籠統(tǒng)說明i+和i-均很小(接近零)即可。即使在如圖4所示的最簡化模型中，輸入電阻Rin也應(yīng)保留而應(yīng)不將之當作開路處理。

圖4 運放的最簡化模型

另外，有國內(nèi)文獻將“虛斷”表達為“實斷”。本文認為，無論其對后者內(nèi)涵作何特定解釋，“實斷”這樣的術(shù)語至少在字面上容易導致歧義，并不可取。

3 含運放電路中“地”的必要性

以一道習題為例：如圖5所示為一含運放的電路，現(xiàn)要求電路中的電流I[7]。該題一種可能的解答是：此電路采用的是負反饋接法，故“虛短”成立；由“虛短”“虛斷”、歐姆定律知，U1=6 V、I1=3 mA、U2=36 V；故I=(U1+U2)/10=4.2 mA。

上述題目本身以及對應(yīng)的解答完全錯誤。

題目錯誤的主要原因在于整個電路中未給出“地”。事實上，由圖4可知，描述線性工作運放的二端口模型中，其輸出端口的兩個端子并非均可自由連接：其中一個端子必須固定地接為“地”，即輸出端電壓uo一定是對地電壓。圖5電路中若不含“地”，則電路中各結(jié)點的電位無從討論。另外，從圖4輸入端口看，若僅在a、b之間浮動地接入一個電壓ud，運放本身似能工作。但是，若要在輸出和輸入之間形成有效反饋(無論是串聯(lián)還是并聯(lián)反饋)，則u+、u-、uo之間的公共參考點必不可少，絕大多數(shù)情況下此功能需由“地”來承擔。

圖5 不含“地”的運放電路

上述解答之所以出錯，在于做題者從題目中無法知悉電路工程背景，只能照搬課堂所學，機械地采用虛短、虛斷概念來書寫答案。這樣做，往往會導致謬誤。

4 對含運放電路求解結(jié)果的校核

為了使計算結(jié)果與工程實際之間有必要的結(jié)合(而不出現(xiàn)完全脫節(jié))，針對含理想運放電路的求解結(jié)果，本文認為至少應(yīng)完成以下兩項校核工作。

(1) 輸出電壓范圍校核。為保證運放工作于線性區(qū)，電路總是采用負反饋接法。但采用負反饋接法的電路，運放并不一定工作在線性區(qū)。實際中負反饋電路達到飽和的情況并不少見。

所以，一方面，參照一些教材的做法[8-9]，在電路符號上宜提倡使用圖1(a)所示完整符號，講解運放的電壓傳輸特性時也應(yīng)對線性區(qū)、飽和區(qū)等進行完整介紹。理想運放電壓傳輸特性如圖6所示，其中ES為運放的飽和輸出電壓。

圖6 理想運放的符號及輸入 輸出特性

另一方面，對利用圖4所示模型求得的輸出電壓結(jié)果也必須進行校核：若|uo|≤ES，計算結(jié)果有效；若|uo|>ES，則計算結(jié)果無效。計算結(jié)果無效時，虛短并不成立，電路需采用其它合適的方法進行重新計算。

圖7給出了反相比例器出現(xiàn)飽和的例子。圖7(a)為一反相放大器，假設(shè)運放的飽和電壓ES=15 V。當取ui=2.5sin(ωt) V時，易知uo=-5sin(ωt) V，滿足|uo|≤ES，說明uo=-5sin(ωt) V是正確結(jié)果；當取ui=15sin(ωt) V時，同樣先假設(shè)運放工作在線性區(qū)，易知uo=-30sin(ωt) V，不滿足|uo|≤ES，說明計算結(jié)果無效，輸出要產(chǎn)生飽和失真，其波形如圖7(b)所示。

(a) 反相放大器

(b) 輸出波形圖7 反相放大器及輸出波形

(2) 輸入端電位校核。實際中，所有運放手冊都對輸入電壓范圍做出規(guī)定。粗略地講，兩個輸入端電位均不允許超過正負電源限定的范圍。超出此范圍，運放不可能正常工作。

所以，針對求解結(jié)果，也應(yīng)當對u+、u-兩個數(shù)值進行校核：若u+或u-不在+U和-U限定的范圍內(nèi)，則電路無法工作，需重新設(shè)計。

5 運放模型的局限性

圖4運放模型在教學中廣泛使用，有教材也借此模型講解正、負反饋的概念[10]。以反相放大器為例，其電路模型如圖8(a)所示。由于電路采用負反饋接法，因此，反相放大器能夠穩(wěn)定地工作在運放的線性區(qū)。本文提出的問題是：如果將電路改接為正反饋接法，得到的電路模型如圖8(b)所示，那么由該模型能否體現(xiàn)出正反饋電路實際所發(fā)生的輸出電壓趨于飽和，或在未設(shè)定飽和電壓情況下向無窮大方向發(fā)散的過程？答案是否定的。

事實上，對圖8(b)，由節(jié)點法易得

(4)

式(4)的解為

(5)

考慮到A→∞，式(5)可近似寫為

(6)

式(6)與圖8(a)所得近似結(jié)果完全一致。

仿真結(jié)果也表明，在運放接近理想化情況下，即使假設(shè)ui為交流電壓(比如正弦電壓)，圖8(a)和圖8(b)的差別也僅在于兩個電路中算得的ud在相位上反相，兩者輸出波形uo完全一致。仿真結(jié)果中并不會出現(xiàn)預期的因正反饋而導致的不穩(wěn)定情況。原因分析如下：

(1) 圖8(a)和圖8(b)僅是含有受控源的電阻電路。在給定有限輸入電壓并且電路接法未違反電路定律的條件下，電路有解屬正常情況。

(2) 若在圖8(b)中將電壓控制系數(shù)(即放大倍數(shù))A設(shè)置為有限帶寬，或者在圖中受控源支路后增加一級濾波網(wǎng)絡(luò)，則仿真中會出現(xiàn)預期的不穩(wěn)定情況。這是因為此時電路本質(zhì)上是動態(tài)的且采用了正反饋接法。

(3) 在控制理論中，系統(tǒng)穩(wěn)定與否總是針對由微/積分方程所描述的動態(tài)系統(tǒng)而言的。圖4模型未體現(xiàn)A的頻率特性，使得外圍電路中不含動態(tài)元件時采用該模型的整個電路呈現(xiàn)為電阻電路，無法反映實際電路的不穩(wěn)定性質(zhì)。

(a) 負反饋電路模型

(b) 正反饋電路模型圖8 反饋電路模型

上述運放模型在反映放大倍數(shù)的頻率特性方面的局限性及其導致的結(jié)果在特定條件下需要引起注意。

6 結(jié)語

實際運放是內(nèi)部結(jié)構(gòu)復雜而外部端口特性簡單、易于使用的器件，為其建模所得到的理想運放元件看似簡單，理解起來實則有一定難度。對電路理論課程教學過程中出現(xiàn)的若干相關(guān)問題進行了討論，目的是與國內(nèi)同行一道，在教材、教學等各環(huán)節(jié)將此部分內(nèi)容表述得更合理、更符合工程實際、更容易理解。

致謝：上海海事大學李勇副教授對第5節(jié)問題的提出有重要貢獻；大連理工大學的陳希有教授、浙江大學的孫盾副教授、上海交通大學的何銘副教授、趙艾萍博士、喬樹通博士對研究工作提出了有價值的意見，特此致謝。