頻率分辨率概念的教學(xué)探討1*

許 可 劉 濤 羅成高 萬(wàn)建偉

(國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410073)

頻率分辨率是“數(shù)字信號(hào)處理”課程中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，這個(gè)概念定量刻畫了頻譜分析的精細(xì)程度。但在教學(xué)實(shí)踐中，頻率分辨率的定義往往直接給出，缺乏相應(yīng)的物理意義和工程應(yīng)用背景，學(xué)生容易陷入“只記結(jié)論，不懂應(yīng)用”的困境，更談不上對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行舉一反三或者質(zhì)疑。

以兩個(gè)有限長(zhǎng)余弦序列的幅度譜為分析對(duì)象，通過(guò)二者的接近程度(頻率之差)來(lái)給出頻率分辨率的定義，通過(guò)類比光學(xué)系統(tǒng)與合成孔徑雷達(dá)的分辨率，來(lái)加深對(duì)數(shù)字信號(hào)處理中頻率分辨率概念的再認(rèn)識(shí)。

1 頻率分辨率概念的起因

無(wú)限長(zhǎng)的余弦序列x(n)=cos(ω0n)，n=0,1,2，…，其頻譜為沖激函數(shù)串，

(1)

用矩形窗對(duì)余弦序列截?cái)?，得到有限長(zhǎng)余弦序列xN(n)=cos(ω0n)RN(n)。根據(jù)頻域卷積定理[1]，時(shí)域相乘對(duì)應(yīng)頻域卷積，則截?cái)嗪笥嘞倚蛄械念l譜為

(2)

其中WN(ejω)表示N點(diǎn)矩形窗的頻譜。

如果只考慮[0,π]區(qū)間頻率分量的頻譜，則

(3)

圖1給出了余弦序列截?cái)嗲昂笤赱0,π]區(qū)間的幅度譜。從圖1(a)可以看出，無(wú)限長(zhǎng)余弦序列，其幅度譜為沖激函數(shù)。將其在時(shí)域進(jìn)行截?cái)嗪螅蔀橛邢揲L(zhǎng)余弦序列，此時(shí)的幅度譜成為“胖乎乎”的形狀，體現(xiàn)為一個(gè)主瓣和諸多旁瓣，如圖1(b)所示。

推廣到兩個(gè)余弦序列的情況。時(shí)域上的截?cái)?，頻域上“胖乎乎”的幅度譜就會(huì)相互融合，相互滲透。從圖2(a)可以看出，兩根本來(lái)“涇渭分明”的沖激函數(shù)，就會(huì)變?yōu)閳D2(b)的形式，此時(shí)這兩個(gè)頻率分量越來(lái)越不好區(qū)分，二者的“分界線”越來(lái)越模糊。

(a)無(wú)限長(zhǎng)

(b)有限長(zhǎng)圖1 余弦序列的幅度譜

(a)無(wú)限長(zhǎng)

(b)有限長(zhǎng)圖2 兩個(gè)余弦序列的幅度譜

在教學(xué)實(shí)踐中，要注意從學(xué)生的角度思考并引出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。比如，要注意引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么要研究?jī)蓚€(gè)余弦序列的情況”？這是因?yàn)樵诤芏喙こ虘?yīng)用中，必須判斷實(shí)際系統(tǒng)能否準(zhǔn)確“分辨”出兩個(gè)數(shù)值接近的頻率分量。

對(duì)這個(gè)問(wèn)題，還可在課堂上進(jìn)一步的拓展，比如在雷達(dá)探測(cè)中，頻率分辨率決定了系統(tǒng)能否區(qū)分兩個(gè)頻率相近的單頻信號(hào)，在雷達(dá)對(duì)多個(gè)鄰近目標(biāo)距離、速度等參數(shù)的測(cè)量中具有重要意義[2]。

2 頻率分辨率的直觀定義

在時(shí)域上進(jìn)行截?cái)?，頻域上的變化就是從“涇渭分明”變得“模模糊糊”，那么一定存在著一個(gè)“分界線”來(lái)區(qū)分“清晰”和“模糊”這兩個(gè)狀態(tài)。利用“分界線”的思想，可以很自然地給出“頻率分辨率”的定義[1,3]。

也就是說(shuō)，對(duì)于兩個(gè)數(shù)值接近的頻率分量，在“分界線”外，系統(tǒng)處于“可以分辨”的狀態(tài)，在“分界線”內(nèi)，系統(tǒng)處于“不可分辨”的狀態(tài)，在“分界線”上，系統(tǒng)就是處于“剛好分辨”的狀態(tài)。

可以利用主瓣的重疊程度，來(lái)定義區(qū)分兩個(gè)有限長(zhǎng)余弦序列的“分界線”。當(dāng)兩個(gè)余弦序列的主瓣重疊超過(guò)一半時(shí)，認(rèn)為這兩個(gè)余弦序列處于“無(wú)法分辨”的情況，如圖3(a)所示，此時(shí)|ω1-ω2|<2π/N，其中N表示余弦序列長(zhǎng)度，2π/N表示主瓣寬度的一半。

當(dāng)兩個(gè)余弦序列的主瓣重疊不足一半時(shí)，我們認(rèn)為這兩個(gè)余弦序列處于“可以分辨”的情況，如圖3(b)所示，此時(shí)|ω1-ω2|>2π/N。

當(dāng)兩個(gè)余弦序列的主瓣重疊剛好一半時(shí)，我們認(rèn)為這兩個(gè)余弦序列處于“剛好分辨”的情況，如圖3(c)所示，此時(shí)|ω1-ω2|=2π/N。

圖3(c)給出的就是兩個(gè)數(shù)值接近的頻率分量能否區(qū)分開的“分界線”，定義此時(shí)的頻率之差為頻率分辨率

Δω=|ω1-ω2|=2π/N

(4)

頻率分辨率的概念描述了系統(tǒng)能提供的頻率“最小刻度”。從式(4)可以看出，頻率分辨率只取決于有效數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度N。

3 頻率分辨率的再認(rèn)識(shí)

利用主瓣重疊程度來(lái)定義頻率分辨率的思想，也體現(xiàn)在光學(xué)系統(tǒng)分辨率中[4]。由于光波受到光學(xué)孔徑的限制，會(huì)產(chǎn)生衍射，兩個(gè)物點(diǎn)會(huì)形成兩個(gè)衍射光斑，當(dāng)兩個(gè)物點(diǎn)靠近時(shí)，對(duì)應(yīng)的衍射光斑就會(huì)相互融合，相互滲透，直至變得難以區(qū)分，如圖4所示。瑞利判據(jù)指出,當(dāng)一個(gè)物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的衍射光斑的中央主極大位置與另一個(gè)物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的衍射光斑的第一個(gè)極小位置相重合時(shí)，此時(shí)光學(xué)系統(tǒng)恰好可以分辨開這兩個(gè)物點(diǎn)[4-5]。

對(duì)比圖3(c)與圖4(c)可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)字信號(hào)處理中的頻率分辨率和光學(xué)系統(tǒng)中的分辨率，它們分別采用幅度譜或衍射光斑主極大的半徑進(jìn)行表征，有異曲同工之妙。

(a)“無(wú)法分辨”的情況

(b)“可以分辨”的情況

(c)“剛好分辨”的情況圖3 利用主瓣重疊程度定義頻率分辨率

圖4 光學(xué)成像系統(tǒng)分辨率

按照主瓣重疊一半來(lái)定義頻率分辨率，這是一種“半功率”的思想，即主瓣能量下降3 dB。但是這種定義并不是唯一的，比如在合成孔徑雷達(dá)(SAR)中，理想點(diǎn)目標(biāo)的擴(kuò)散函數(shù)是sinc函數(shù)[1]，可用“半功率”作為分辨準(zhǔn)則。但在實(shí)際情況下，為準(zhǔn)確分辨目標(biāo)，可采用更嚴(yán)格的分辨準(zhǔn)則，如3.92 dB，9 dB等[6]，見表1。

表1 不同的合成孔徑雷達(dá)成像分辨準(zhǔn)則

4 結(jié)語(yǔ)

圖5給出了“頻率分辨率”知識(shí)點(diǎn)的授課思路。按照“意義引出→概念分析→類比擴(kuò)展”的講解順序，以余弦序列為分析對(duì)象，利用時(shí)域截?cái)嘁鸬念l域變化給出頻率分辨率概念的起因，隨后利用兩個(gè)余弦序列主瓣重疊程度給出頻率分辨率的定義，最后，與光學(xué)系統(tǒng)以及合成孔徑雷達(dá)的分辨率進(jìn)行了類比，引導(dǎo)學(xué)生全面、客觀地理解頻率分辨率的概念。

圖5 “頻率分辨率”知識(shí)點(diǎn)授課思路