“通信原理”中采樣與信道容量的直觀教學(xué)

林巍峣 劉士湛

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

奈奎斯特采樣定理和有噪信道編碼定理是“通信原理”課程中的兩個(gè)重要定理，由于分別在信道最大符號傳輸速率的確定與信道容量的計(jì)算中發(fā)揮重要作用，因而一直是教學(xué)重點(diǎn)[1]。

為了方便教學(xué)，教師們已經(jīng)提出了多種多樣的教學(xué)方法。針對奈奎斯特采樣定理，文獻(xiàn)[2]提出結(jié)合壓縮感知對采樣定理進(jìn)行教學(xué)，可以看作對采樣定理的前沿拓展；文獻(xiàn)[3]認(rèn)為需要調(diào)整教學(xué)順序，首先教授離散傅里葉變換(DTFT)，再采用以問題為導(dǎo)向的方式進(jìn)行教學(xué)；文獻(xiàn)[4]則強(qiáng)調(diào)采用問題牽引式的教學(xué)模式，將授課內(nèi)容分為問題、模型、方法、原理和應(yīng)用五個(gè)階段，并主要在頻域解釋定理內(nèi)容。另一方面，針對有噪信道編碼定理中的信道容量，文獻(xiàn)[5]和[6]將信道容量類比為道路所能承載的最大車流量，帶寬類比為道路寬度，信噪比類比為行車秩序來進(jìn)行解釋；文獻(xiàn)[7]則主要通過隨堂測驗(yàn)來強(qiáng)化學(xué)生的計(jì)算能力。

然而，兩個(gè)定理各自蘊(yùn)涵的事實(shí)與初學(xué)者的直覺往往相悖，而現(xiàn)有教學(xué)方法很少針對這些地方進(jìn)行解釋。對奈奎斯特采樣定理而言，初學(xué)者難以理解為什么以一定采樣率對帶限的連續(xù)信號采樣，得到的離散序列能夠完全重建出原始信號。而現(xiàn)有的教學(xué)方法以公式推導(dǎo)為主，很少直觀回答這一問題；對有噪信道編碼定理而言，學(xué)生則對“存在噪聲的情況下信息不能以任意低的錯(cuò)誤率無限快地傳輸”抱有疑惑，現(xiàn)有的教學(xué)方法也鮮有此問題的直接解答。因此，直接對學(xué)生容易產(chǎn)生的疑惑進(jìn)行解釋，并設(shè)計(jì)了簡單的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，以供教學(xué)時(shí)參考。

1 采樣定理

1.1 定理內(nèi)容

奈奎斯特采樣定理是理想低通信道中最高碼元傳輸速率的公式，在連續(xù)時(shí)間信號和離散時(shí)間信號之間架起了橋梁，內(nèi)容包括時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理。由于二者的結(jié)論和推導(dǎo)類似，教學(xué)中一般以時(shí)域采樣定理為教學(xué)重點(diǎn)，其內(nèi)容如下：

對于有限帶寬的連續(xù)信號x(t)，假設(shè)其頻譜的最高截止頻率為fm，以fs的采樣頻率對其進(jìn)行采樣得到x[n]，當(dāng)采樣頻率fs≥2fm時(shí)，可以由x[n]恢復(fù)出x(t)。

時(shí)域采樣定理的教學(xué)通常以公式推導(dǎo)和頻域分析為主。采樣可以看作是時(shí)域上均勻分布的沖激序列與原始信號相乘的過程，寫作：

(1)

(2)

1.2 主要疑問與直觀理解

1.1節(jié)中的推導(dǎo)教學(xué)為學(xué)生提供了對采樣定理頻域作用的理解，但初學(xué)者往往會(huì)產(chǎn)生如圖1所示的疑問：采樣得到的離散點(diǎn)之間存在很多種連接方式，重建時(shí)為何能唯一恢復(fù)出原始信號？圖1中，黑色點(diǎn)為離散的采樣點(diǎn)，而三條不同線形的曲線都能夠穿過所有采樣點(diǎn)。

圖1 離散點(diǎn)之間存在多種連接方式

下面從頻域直觀地解答這一疑惑，強(qiáng)調(diào)帶寬限制是唯一恢復(fù)原始信號的關(guān)鍵。圖2中畫出了三種連接方式分別對應(yīng)的頻譜，其中兩條虛線分別在頻率為-0.5 Hz與0.5 Hz的位置，而兩條實(shí)線分別在頻率為-7.5 Hz與7.5 Hz的位置?？梢杂^察到，連接方式1的頻譜是帶限的，且位于兩條虛線之間；而連接方式2和3的頻譜都無限延展，在實(shí)線處幅值才基本為零。

考慮到離散點(diǎn)的采樣率為fs=1 Hz，按照采樣定理，連續(xù)信號的頻率需要在0.5 Hz以內(nèi)。因此，正確的連接方式僅有一種，可以依據(jù)采樣得到的離散點(diǎn)唯一恢復(fù)出原始信號。

(a) 連接方式1的頻譜

(b) 連接方式2的頻譜

(c) 連接方式3的頻譜

(d) 連接方式3的采樣圖2 不同連接方式對應(yīng)頻譜

對于帶寬更大的連接方式2與3，依照采樣定理，至少需要fs=15 Hz的采樣率才能損失較小地恢復(fù)出原始信號，如圖2(d)所示。

1.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了促進(jìn)學(xué)生對定理內(nèi)容的理解，同時(shí)設(shè)計(jì)了以下實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證采樣定理。

考慮余弦信號x(t)=cos(πt)，分別使用fs1=1和fs2=0.25的頻率對x(t)進(jìn)行采樣，對應(yīng)圖3中的圓形采樣點(diǎn)和方形采樣點(diǎn)。x(t)的頻率小于等于1/2，因此fs1=1恰好滿足采樣定理的條件，而fs2不滿足。

等價(jià)地，可在已知x(t)是余弦信號且周期大于等于2的情況下，分析兩種采樣方式各自能否重建出x(t)。由圖3可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(t)=cos(πt)時(shí)，曲線能夠穿過以采樣率fs1采樣得到的所有點(diǎn)。而以采樣率fs2采樣得到的點(diǎn)還可以被曲線x′(t)=cos(0.5πt)穿過。

(a) 以fs1=1的采樣率采樣

由于傅里葉變換相當(dāng)于將信號x(t)投影在不同周期的正弦和余弦函數(shù)上，因此上述對余弦信號的分析是可以推廣到其它帶限的連續(xù)信號上的。

2 有噪信道編碼定理

2.1 定理內(nèi)容

有噪信道編碼定理是香農(nóng)(Shannon)1948年證明的關(guān)于信息最大傳輸速率的定理，即將信息以任意小的錯(cuò)誤率傳輸通過信道的速率是存在上界的，該上界被稱為信道容量。當(dāng)信源的熵率大于該信道的信道容量時(shí)，信息將不能可靠地傳輸。對于連續(xù)時(shí)間下帶寬有限的加性高斯白噪聲(AWGN)信道，其信道容量為：

(3)

(a) 噪聲

(b) 傳輸速率快

(c) 傳輸速率慢圖4 噪聲對不同傳輸速率信號的影響

有噪信道編碼定理的教學(xué)通常以公式推導(dǎo)和概念講解為主。首先講解熵率、互信息和信道容量的定義，然后推導(dǎo)得到離散時(shí)間AWGN信道的信道容量。結(jié)合采樣定理，就能得出式(3)的結(jié)果。

2.2 主要疑問與直觀理解

2.1節(jié)的推導(dǎo)較為抽象，初學(xué)者往往難以領(lǐng)會(huì)香農(nóng)公式的核心思想，產(chǎn)生下列疑問：噪聲獨(dú)立地作用在各個(gè)時(shí)刻，為什么在較低的傳輸速率下，信號可以以任意低的錯(cuò)誤率傳輸？噪聲為什么限制的并非誤碼率，而是最大信息傳輸速率？

以方波信號為例，直觀地分析噪聲給不同傳輸速率的信號帶來的影響，如圖4所示。不妨假設(shè)噪聲在一段時(shí)間內(nèi)特別大，而其它時(shí)間很小。圖4(b)中以較快的速率傳輸信號時(shí)，噪聲較大部分的信號受到嚴(yán)重干擾，難以魯棒傳輸；而以較慢的速率傳輸信號時(shí)，即使部分信號被嚴(yán)重干擾，接受端仍能通過噪聲較小的信號恢復(fù)出對應(yīng)信息。

由此可見，較低的傳輸速率使得信號中有較大的冗余性，接收端可以通過滑動(dòng)平均等方式恢復(fù)出信息，從而實(shí)現(xiàn)較低的錯(cuò)誤率。因此，噪聲對誤碼率的影響可以轉(zhuǎn)化為對最大傳輸速率的限制，在噪聲存在時(shí)信號不能以極低的錯(cuò)誤率無限快地傳輸。

2.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了幫助學(xué)生更好地理解有噪信道編碼定理，設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證同一信噪比下不同傳輸速率給誤碼率帶來的影響。

圖5中展示了信號功率是噪聲功率三倍的情況下，不同頻率的方波信號的傳輸結(jié)果。圖6(a)中的方波信號頻率為0.5 Hz，(b)中信號的頻率為2 Hz，兩種情況的采樣率相同，因此后者在相同時(shí)間內(nèi)攜帶的信息量是前者的四倍。圖5圖中從左到右依次是：原始信號、噪聲、滑動(dòng)平均并進(jìn)行判決后的信號。可以觀察到，頻率為0.5 Hz的信號經(jīng)過滑動(dòng)平均和判決后，基本上能夠重建出原始波形；而頻率為2 Hz的信號則存在明顯的誤碼。

(a)低傳輸速率

(b)高傳輸速率圖5 從左到右依次為：原始信號、噪聲、滑動(dòng)平均并判決后得到的信號

由此可見，在相同的信噪比下，信號傳輸速率不能無限提升，過大的傳輸速率會(huì)導(dǎo)致接收端誤碼率增大。

3 結(jié)語

闡述了“通信原理”課程中對采樣定理和信道容量的直觀理解。其中，針對采樣定理中“將帶限連續(xù)信號按照一定采樣率采樣為離散信號后，可以無損重建出原始信號”的結(jié)論，分析了離散點(diǎn)的不同連接方式，指出滿足奈奎斯特帶寬限制的連接方式是唯一的。針對有噪信道編碼定理中“信息不能以任意低的錯(cuò)誤率無限快地傳輸”的結(jié)論，直觀展示了噪聲給不同傳輸速率的信號帶來的影響。由于兩個(gè)定理的結(jié)論都與初學(xué)者的直覺有一定出入，因此這種直觀的理解對教學(xué)有一定指導(dǎo)作用。調(diào)研了某兩年學(xué)生對采樣定理和信道容量所在章節(jié)的教學(xué)滿意度反饋，如圖6所示，可以看到在使用直觀教學(xué)方法后，學(xué)生對課程重難點(diǎn)講授的滿意度有了明顯改善。

圖6 直觀教學(xué)效果