林裕杰
摘 要:新課標環(huán)境下,核心素養(yǎng)體系之內,數(shù)學建模為關鍵部分之一。數(shù)學建模是指學生能夠從數(shù)學問題當中抽象出數(shù)學模型,應用數(shù)學語言或者方法建立模型,計算求解,最終檢驗結果,將模型不斷改進。下文簡要論述建模素養(yǎng)培養(yǎng)價值,并從高中數(shù)學教學角度論述建模素養(yǎng)提升教學路徑,以供參考。
關鍵詞:新課標;高中數(shù)學;建模素養(yǎng)
《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年版)頒布以來,為高中數(shù)學新一輪教改指明了方向。數(shù)學學科核心素養(yǎng)當中,數(shù)學建模素養(yǎng)相關的闡述為“針對現(xiàn)實問題進行抽象,選擇數(shù)學語言進行表達,應用數(shù)學方法建立模型,解決問題”。在高中數(shù)學課堂教學方面,重視學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng),能夠培養(yǎng)其數(shù)學學習興趣,促進教育改革目標的實現(xiàn)。
一、數(shù)學建模的基本內涵
運用數(shù)學建模方法能將現(xiàn)實問題通過數(shù)學化的形式處理,通過數(shù)學語言有效表達問題內容,借助相關數(shù)學知識與方法建立問題模型,以此提供正確的問題解決辦法。簡言之,數(shù)學建模能夠把數(shù)學和現(xiàn)實相結合。有關數(shù)學建模,需要經過三個階段:一是建模階段,即從數(shù)學視角出發(fā)找出存在的實際問題,然后利用相應的數(shù)學思維合理剖析該問題,以數(shù)學語言表達分析問題的最終結果,建立起數(shù)學模型,將實際問題有效轉換成數(shù)學問題;二是求解問題階段,運用有關數(shù)學知識解答問題模型,求解問題結果;三是調試模型階段,主要指的是改進或調試所構建的數(shù)學模型,將依托模型獲得的結論對比實際問題結果??傊?,有效運用數(shù)學建模的方法,一方面有利于增強學生的數(shù)學創(chuàng)新意識與應用意識,另一方面能充分調動學生的主動性及積極性,在助力課堂教學質量提升的同時,培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)。
二、高中數(shù)學建模素養(yǎng)滲透的可行性及必要性
(一)可行性
高中學生已經歷過形式運算階段,他們具備能將現(xiàn)實問題抽象成為數(shù)學問題的基本能力,并且具備一定的抽象性思維,而這種抽象性思維恰好是進行數(shù)學建模的必要技能。同樣,這一能力可以為順利進行數(shù)學建?;顒拥於ɑA。另外,數(shù)學建模要滿足必要的技術性需求,即學生在數(shù)學建模時應以數(shù)學思想、數(shù)學知識為支撐。由初中階段進入高中階段,學生已經了解和掌握了有關幾何、函數(shù)、概率等知識,特別是在高中階段進一步加深對以上知識的認知。與此同時,高中學生能靈活運用一些數(shù)學思想方法,例如類比、轉化以及數(shù)形結合思想等。綜上所述,高中學生已具備數(shù)學建模所需的理論知識、思維方式以及數(shù)學思想,因此能為數(shù)學建模過程的順利進行提供支持。
(二)必要性
第一,數(shù)學建模的滲透,能夠選擇學生感興趣的數(shù)學問題創(chuàng)設學習情境,讓學生在課堂上經歷數(shù)學問題抽象過程,經過分析和解決,逐漸提高學生建模能力。第二,數(shù)學建模的應用還能促進教師教學理念轉變,樹立以生為本觀念,對于課堂教學模式大膽革新,探索出具有特色的教學路徑。第三,在建模教學環(huán)節(jié),教師可選擇信息技術作為輔助,分析、求解和檢驗模型,生動呈現(xiàn)建模信息。第四,數(shù)學建模的應用下,教師將學生的應用能力作為培養(yǎng)重點,提高其將數(shù)學知識轉化為解決問題的能力,實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)提升目標[1]。
三、高中數(shù)學建模教學現(xiàn)狀
(一)未能體現(xiàn)智能計算思維
國內很多高校已開設數(shù)學建模及智能計算的專業(yè)課程,旨在依托智能技術輔助數(shù)學建模問題的處理,從中體現(xiàn)出數(shù)學和智能科技之間的有機融合,降低了解決數(shù)學建模問題的難度。高中階段的數(shù)學建模教學處在起步階段,很多教師沒有對智能計算思維形成一個系統(tǒng)認識,在建模教學中往往忽視和信息技術之間的融合,智能計算思維的滲透相較有限,一旦問題過于復雜則難以進行建模分析,導致建模教學僅滿足于簡單的知識層面,這樣會影響到數(shù)學建模素養(yǎng)的提高。
(二)未能做到全過程數(shù)學建模教學
作為核心素養(yǎng)的數(shù)學建模已經被歸進課標中,但是從實際情況來看高中數(shù)學教師與學生仍需進一步適應,具體表現(xiàn)在數(shù)學建模教學依舊以應用題為主,這樣的解題訓練過于封閉,并非全過程的數(shù)學建模教學。缺少“建立模型”部分,這樣會失去學科融科、思維開放的優(yōu)勢特征,大幅降低建模教學的現(xiàn)實價值;而缺少“檢驗與改進”部分,不利于發(fā)展其數(shù)學思維,培養(yǎng)其科學精神。以上存在的問題均會淡化建模素養(yǎng)的培育功能。
四、數(shù)學建模主要流程
(一)找出線索,提出問題
有關能否發(fā)現(xiàn)問題并提出問題,始終是數(shù)學教育領域關注的重中之重。在20世紀我國數(shù)學教育領域主要重視“三大能力”的培養(yǎng),關于“問題解決”能力沒有予以應有的重視。但是在新課改持續(xù)深入及素質教育推廣普及的背景下,解決問題的能力逐漸獲得重視。在課堂教學或是制訂課程標準中都能優(yōu)先考慮這一能力。從實際情況來看,我國學生更傾向于處理問題但是這種問題是封閉的,和西方發(fā)達國家相比,我國學生提出問題的能力還需進一步增強,作為數(shù)學教師需有意識地引導學生積極思考,主動找出并能提出問題。而這也屬于數(shù)學建模的首要環(huán)節(jié),這里提出的“發(fā)現(xiàn)問題”需要依附于與之相應的情境中,學生對教學情境、現(xiàn)實場景展開深入思考,而“提出問題”應為抽象的數(shù)學問題抑或現(xiàn)實問題。這一環(huán)節(jié)中起到關鍵作用的是提出問題,要求其具備一定的思考價值,立足某一問題或系列問題,引發(fā)后續(xù)的建模活動。
(二)剖析問題,建立模型
剖析問題并非只拘泥在數(shù)學領域,學生還要調動現(xiàn)實生活或在其他學科習得的經驗,因此在一些情況下存在資料差異。簡單來講,這個環(huán)節(jié)是“加工”提出的問題,也就是所謂的“問題數(shù)學化”,讓其徹底成為一個數(shù)學問題,但是依舊存在不一樣的現(xiàn)實背景,并且內部結構關系體現(xiàn)在數(shù)學層面上。有關“再加工”,即通過已了解的數(shù)學概念、數(shù)學定理、數(shù)學性質等讓數(shù)學問題模型化。借助上述兩大環(huán)節(jié)會達到數(shù)學抽象的效果,從問題的現(xiàn)實世界進入數(shù)學世界,利用相應的數(shù)學方法和規(guī)律剖析問題。
(三)明確參數(shù),計算求解
具體來講這一過程為解決問題的過程,其關鍵在于確定參數(shù)。決定確定參數(shù)的是數(shù)據豐富性及數(shù)據質量,且收集數(shù)據為關鍵的數(shù)學建模組成部分。為此,應確保其來源的豐富性,比如封閉性問題需要利用所給出的各類數(shù)據;而開放性問題,要利用網絡、教材等途徑獲得。有效運用這些數(shù)據將各項模型參數(shù)確立,再通過具體的計算解決問題,這樣也能看出數(shù)據分析、運算與數(shù)學建模的關系十分密切。
(四)結果證明,調試模型
最后一個建模流程要求給出最終的問題結果。但在某些情況下,能從上個流程中獲得結果抑或給出判斷。若是面對的數(shù)學問題相較復雜,其中涉及多個方面,那么數(shù)學模型所涉及的參數(shù)類型各有不同,計算中所采用的數(shù)據如果來源單一,很容易因為不符合現(xiàn)實情況而發(fā)生結果偏差,出現(xiàn)這樣的情況要結合具體情況再進行調整。
五、新課標背景下高中數(shù)學建模素養(yǎng)提升教學策略
(一)關注數(shù)學建模和課堂教學的融合
在數(shù)學教材當中,數(shù)學建模內容有幾個課時,要實現(xiàn)教學目標,就需要教師關注建模內容思想性研究,組織建模活動期間,既能從教材出發(fā),又能將建模思想貫穿于數(shù)學知識體系。
比如:講授“數(shù)列”知識的時候,教師可以選擇信用貸款、銀行儲蓄等類型問題創(chuàng)設建?;顒忧榫?;講授“分段函數(shù)”的時候,可以選擇“個人所得稅”的稅率表輔助建?;顒拥膶嵤?;講述“不等式”和“解析幾何”等知識的時候,教師也可對學生加以指導,輔助其研究教材數(shù)學知識相關的問題,從中尋找數(shù)學模型。
因為教材中的內容呈現(xiàn)的是相對簡單的數(shù)學模型,和真實建模活動之間存在差異,教材內部提問題的目標明確、結構簡單,但是數(shù)學建模問題大多結構無規(guī)律、條件模糊,所以,需要教師在教學期間,注意對教材問題的拓展。如“教育儲蓄”問題的講解,其本質屬于“零存整取”定期儲蓄形式,當問題的結構明確時,已知條件大多會給出“月存款數(shù)額”“利率”“存款時間”“本金”和“利息”等條件當中的幾個,要求學生求解,此類問題開放性較小,對于高中生來講難度不高,教師在組織建模活動的時候,可以適當對其進行拓展,將知識背景提供給學生,要求其利用網絡搜索與問題相關信息,通過小組合作方式制訂回報率最高投資方案。在活動過程中,引入函數(shù)模型,帶領學生學習函數(shù)概念,用生活實例作為建模背景,將函數(shù)圖表之間的關系抽象出來,體會函數(shù)和變量之間的對應關系,對比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之間的異同,結合記憶函數(shù)概念,抽象出函數(shù)模型,提高學生建模能力。通過以上教學流程,將建?;顒雍腿粘=虒W相互融合,潛移默化影響學生思維,為其建模素養(yǎng)提升奠定基礎[2]。例如:某艘載貨油輪在沿直線返回某城市港口的行程中,收到地方氣象臺公布的臺風預報信息:“某號臺風中心在輪船正東方向70千米處,預測本次臺風所影響的范圍是半徑為30千米的圓形區(qū)域。”已知港口位于臺風正南方的40千米處,這艘油輪若在航線不變的情況下,試問其能否遭受臺風影響?學生在解決這道問題的時候,教師可以引導其通過建立不同的數(shù)學模型解決。模型1:首先將方程變?yōu)橐话闶讲⑶蟪鰣A心與半徑;通過點至直線的距離公式,求出直線到圓心距離;對比和的大小。模型2:將圓和直線方程聯(lián)立;利用消元法得到一元二次方程;求出判別式的值并與0比較大小。
(二)組織探究互動,引領學生探究學習
高中階段與建模有關的知識內容包括函數(shù)、概率、幾何等,需要學生綜合運用以往學習的函數(shù)和方程知識,對數(shù)學知識進行梳理,使之形成完整體系,才能內化吸收,建立數(shù)學模型。在生活當中,和概率模型相關的情境相對較多,比如:有獎促銷、成績評價、詞匯量估計等內容,都需要學生利用數(shù)學的問題,建立概率模型才可求解;幾何空間和數(shù)量之間聯(lián)系密不可分,學生可以利用數(shù)形結合方式,分析題意、解決問題,在建模階段,應用代數(shù)與幾何工具,讓問題更加清晰。在數(shù)學課堂教學環(huán)節(jié),教師可以選擇生活化問題,組織學生研究學習,發(fā)散思維、相互討論、建立模型。
例如:“同種商品不同型號存在的價格差異”問題講解,教師就可以從生活當中的飲料、牙膏等商品價格差異角度出發(fā),創(chuàng)設情境,要求學生思考“商品重量不同價格不同生活現(xiàn)象”,隨之拋出問題,“同學們知道商品價格如何確定?”“定價過程存在哪些規(guī)律?”“同型號商品定價該如何計算?”“日常生活怎樣挑選商品最劃算?”用生活化問題,引發(fā)學生學習興趣,隨后,教師用多媒體展示不同商品價格信息:
商品質量規(guī)格有三種,分別為:40克、120克、165克;定價分別為:3.70元、9.30元、12.60元。
商品質量規(guī)格有三種,分別為:200克、400克和750克;定價分別為:18.50元、32.00元、60.50元。
商品質量規(guī)格有三種,分別為:50克、90克、135克;定價分別為:3.10元、5.10元、6.80元。
教師指導學生觀察,提出思考問題,“同學們能否分析商品價格、質量之間存在的關聯(lián)?”“同學們是否能夠通過建立模型解決?”培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力,為后續(xù)模型建立奠定基礎。為了輔助學生順利建立模型,在教學過程中,教師還可將函數(shù)擬合這一思想引入,借助函數(shù)工具擬合數(shù)據,通過觀察變量數(shù)據,建立分析模型。選擇商品信息,要求學生觀察,依據條件,利用坐標描述商品信息,最終展示成果。小組合作過程當中,學生可以順利畫出圖形,經過觀察發(fā)現(xiàn),“商品質量增加,價格也隨之提升”,順利聯(lián)想到一次函數(shù),假設商品質量是,價格是,即可建立模型,取兩組數(shù)據,代入關系式,將與的數(shù)值求解出來,最終得到函數(shù),嘗試運用函數(shù)模型求解165g的商品定價,培養(yǎng)學生應用模型解決數(shù)學問題的能力。
(三)應用階梯式教學輔助建模過程
學生的模型素養(yǎng)的形成不能一蹴而就,在教學過程中,教師應該根據學生能力和認知規(guī)律,設置階梯式教學模式,循序漸進滲透建模知識,提高其模型素養(yǎng)。階梯式建模流程如下:
第1階段:為了讓學生體會到數(shù)學與生活之間的密切關聯(lián),教師可以展示“動植物”分形藝術圖片,讓學生在藝術作品當中體會斐波那契數(shù)列特點,激發(fā)其學習興趣,感受數(shù)學模型在生活當中的應用。在此基礎上,還可循序漸進滲透經營管理、投資、幾何模型等建模知識,輔助學生對數(shù)學模型形成初步感知[3]。
第2階段:當學生初步掌握常見的數(shù)學模型后,教師可以選擇論文案例,組織學生閱讀,利用閱讀材料,讓學生感受建模思想,體會問題向模型轉化過程,從閱讀內容當中提煉數(shù)學方法。閱讀過程中,學生可以動手操作、自主查找信息,提高自學能力,形成建模思維。
第3階段:教師可以選擇簡單的數(shù)學應用題,要求學生根據問題,從中尋找數(shù)學工具解決,典型的包括“打包問題”和“名額分配”問題,將數(shù)學模型數(shù)字化,讓學生學會利用數(shù)字結果檢驗模型。
第4階段:經過以上流程的訓練,學生能夠關注日常生活,從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題,在教師的指導下,應用數(shù)學知識解決相對復雜的模型問題,形成模型素養(yǎng)。
(四)創(chuàng)設合適的教學情境
從某種角度來講,理論知識的傳授是變相引導學生建立相應的數(shù)學模型。處在當前新課改的環(huán)境中,教師要認識到“學生屬于發(fā)展中的人”,那么在具體授課環(huán)節(jié)有必要注意引導學生發(fā)散思維,最好不要把解題方法向學生直接講授,而引導其在具體的實踐探索過程中摸索解題策略,在這一過程中學生便會完成對數(shù)學模型的構建,同時也在處理這道問題時會利用此模型。數(shù)學教師則要為學生創(chuàng)設合適的教學情境,輔助學生進一步體現(xiàn)數(shù)學模型的現(xiàn)實意義。
例如:我市某企業(yè)打算修筑一個花壇,而且在花壇中間留出一個近似平行四邊形的草地,已知、兩點間距離是8米,并以、兩點間線段作為對角線,已知草坪周長是32米,需解決的問題如下:首先,怎樣設計能使保留的草坪面積達到最大;其次,如果草坪中留出的小路經點,而且小路和對角線夾角是/3,現(xiàn)在要對這條小路重新修建,請你計算出需重修小路的長度。引導學生對問題做如下分析:假設和兩點所在的直線的坐標系是軸,線段中點原點,由此可得絕對值為8,直線和橢圓的交點是點和,題中平行四邊形周長是32米,那么問題(1)需要求出圖形面積的最大值;問題(2)則是求解絕對值。
問題(1):由題意可得絕對值+絕對值=絕對值+絕對值=6,圖形頂點因為在橢圓上,那么為5,為4,據橢圓標準方程能得出為3,這個橢圓的方程為。點如何處在橢圓頂點,那么點的坐標是(0,3),即圖形面積達到最大為24。
問題(2):假設過點的直線是,因為其坐標是(-4,0),所以直線斜率為,由此可得直線方程為,然后聯(lián)立方程與,因為的絕對值為,依據弦長公式可得約等于7.14,即重修小路的長度是7.14米。
在學生建模解決問題的過程中,教師應樹立角色轉變意識,由以往的“傳授者”轉變?yōu)椤巴七M者”,課堂教學環(huán)節(jié)靈活采用數(shù)學建模的教學方法、多媒體教學技術等,做好點撥和引導工作,輔助小組交流討論,掌握建模方法。
(五)有效運用計算機信息技術
以“指數(shù)函數(shù)”的相關課題為例,教師以往選擇白板、PPT、教材的形式講授知識,在必要時會在白板上作圖,一旦涉及的數(shù)據較多較大,則不方便使用白板作圖進行模型驗證。為此,教師可以引入Excel軟件輔助構建數(shù)學模型。
例如,某地區(qū)未成年男性平均體重數(shù)據如下:身高(cm)為70、80、90、100、110、120、130、140、150、160、170的體重(kg)順次為7.90、9.99、12.15、15.20、17.50、20.29、26.86、31.11、38.85、47.25、55.05。依據體重高出相同身高男性平均數(shù)值的1.2倍則判定為偏胖,如果小于0.8倍則判定為偏瘦的標準,判斷這一組男性的體重數(shù)據是否正常?
首先,假設模型。通過Excel中散點圖,觀察到身高—體重的關系呈現(xiàn)上升趨勢,將各個散點相連得到平滑的一條曲線,通過觀察這些數(shù)據點在圖中的分布,發(fā)現(xiàn)這條曲線近似于函數(shù)的圖形,利用此函數(shù)模型分析體重與身高的關系。
其次,構建模型。將表格中的數(shù)據(70,7.90)和(160,47.25)代入到方程得出,,借助軟件中的計算器得出結果,。通過該結果構建的數(shù)學模型為。
最后,驗證模型。把問題中已知的身高數(shù)據帶入到已建立的數(shù)學模型中,若是獲得體征數(shù)據和提供的表格數(shù)據近似,表明建立的是合理的模型,即能夠說明題中身高與題中的具體情況。學生在此模型中計算男性175cm的體重:約等于60.29,因為76/62.29約等于1.26大于1.2,所以這個未成年男性的體重偏胖。
六、提高高中數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)水平的建議
(一)依托互聯(lián)網絡打造學習社區(qū)
進入“互聯(lián)網+”時代,怎樣將信息技術轉換成促進數(shù)學建模素養(yǎng)滲透的新鮮血液,是數(shù)學教師要認真考慮的一個問題。由于數(shù)學建模本就處在創(chuàng)新、發(fā)展與完善的過程中,建立有關數(shù)學建模的研究平臺十分重要。為此,建議數(shù)學教師利用以下渠道構建討論平臺,助力數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)。一是構建網絡化的數(shù)學建模平臺。例如:建立學校網站,以年級或班級為單位建立該網站,學生和教師能在網站平臺上分享個人的研究成果,分享和數(shù)學建模相關的學習方法與經驗。旨在將自己掌握的數(shù)學建模成功向其他人分享,達到取長補短的學習效果。二是通過QQ、微信等社交軟件打造學習群,由此作為宣傳數(shù)學建模活動的平臺。在學習群中發(fā)布和數(shù)學建模相關的問題與實例,也能分享與之相關的學習資料等,這樣學生即使沒有教師授課,也能在群中獲得相應的基礎知識。
(二)優(yōu)化數(shù)學建模教學環(huán)境
通過開展數(shù)學建?;顒与m然有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素質,可是高中階段課程學習時間緊、學習任務重,加之面對巨大的高考壓力,只得縮減有關數(shù)學建?;顒涌己说恼急?。面對這樣的現(xiàn)實情況,教師單方推進數(shù)學建?;顒拥碾y度較大,需要學校在教學條件、時間安排方面予以一定支持,讓教師擁有充足精力去組織數(shù)學建?;顒?,指導學生利用相應的計算機軟件完成建模。此外,學校也可以定期舉辦數(shù)學建模大賽,這不乏為培養(yǎng)學生建模素養(yǎng)的關鍵途徑之一,還是增強其創(chuàng)新能力的核心手段。學生在競賽中,在規(guī)定時間內通過學習的數(shù)學知識,用掌握的數(shù)學思維方法分析、解決問題,在此過程中學生會掙脫定式的解題思維,發(fā)揮個人或團隊的創(chuàng)造力、合作力。
結束語
綜上分析,新課標下,高中數(shù)學課堂建模素養(yǎng)教育策略的選擇是課程改革的要求,也是提高學生能力的現(xiàn)實需求,因此,數(shù)學教師需要注重數(shù)學建模、課堂教學之間的融合,組織學生參與建模活動,通過探究活動方式學習,應用階梯式教學,循序漸進完成建模過程,實現(xiàn)學生建模素養(yǎng)的提升目標。
參考文獻
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