含間隙非線性的慣容橡膠復(fù)合隔振系統(tǒng)可靠性分析

孟非凡，郭秀秀,2，史慶軒,2,3

(1. 西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西，西安 710055；2. 西安建筑科技大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與抗震教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西，西安 710055；3. 西安建筑科技大學(xué)西部綠色建筑國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西，西安 710055)

2002 年，SMITH[1]根據(jù)機(jī)電相似理論，提出了慣容器(Inerter)的概念，并設(shè)計(jì)了齒輪齒條式與滾珠絲杠式兩種慣容器，由此開啟了慣容器理論與應(yīng)用的相關(guān)研究。慣容器的原理即施加在該元件兩個(gè)端點(diǎn)的力等大反向，且與兩自由端的相對(duì)加速度成正比，其比值b為慣質(zhì)系數(shù)?；谫|(zhì)量更輕、性能更優(yōu)的設(shè)計(jì)思想，近年來(lái)很多學(xué)者設(shè)計(jì)和研究了各種不同類型的慣容器并不斷優(yōu)化[2-4]。由于慣容器優(yōu)異的減振效果，它被廣泛應(yīng)用到工程實(shí)踐中，如車輛懸架[5]，目前在該領(lǐng)域的研究與應(yīng)用逐漸成熟。除此之外，慣容器還應(yīng)用于飛機(jī)起落架[6]及渦輪機(jī)[7]等機(jī)械裝置中，近年來(lái)在建筑[8-9]中也得到了一些應(yīng)用。

在實(shí)際使用過程中，由于預(yù)緊力的喪失、多次裝卸磨損、絲杠滑絲等，慣容器將產(chǎn)生間隙，系統(tǒng)表現(xiàn)出非線性特征。盡管一般情況下可以忽略間隙的影響，但仍有研究表明，強(qiáng)間隙非線性對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生較大的影響[10]。目前對(duì)間隙非線性的研究不足，大多數(shù)文獻(xiàn)都是忽略間隙對(duì)系統(tǒng)的影響，或者通過參數(shù)辨識(shí)將間隙的影響附加至其他系統(tǒng)參數(shù)中[11]，或者直接通過試驗(yàn)研究[12]。李陽(yáng)等[13]建立了含間隙非線性的隔振系統(tǒng)模型并研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)特征。然而，系統(tǒng)在自然界中通常受到隨機(jī)激勵(lì)的作用，如汽車在不平坦的公路上行駛受到豎向隨機(jī)激勵(lì)的作用，建筑在地震激勵(lì)下產(chǎn)生水平位移等等，確定性的動(dòng)力分析有可能偏離系統(tǒng)實(shí)際的受力情況，因此，還應(yīng)當(dāng)分析系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征。

系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下將產(chǎn)生隨機(jī)響應(yīng)。這些響應(yīng)樣本無(wú)法用一個(gè)確定性的函數(shù)描述，但是由這些樣本組成的集合具有一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律，因此，很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了各種求解隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征的方法。采用時(shí)域分析法[14]與頻域分析法[15-16]可以得到線性系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩。潘超等基于頻域分析法研究了地震激勵(lì)下慣容系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征[17]，但是并未考慮間隙非線性對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。隨機(jī)等價(jià)線性方法[18-22]是一種將非線性系統(tǒng)通過等效系統(tǒng)與其誤差的期望最小原則等效成一個(gè)線性系統(tǒng)近似求解系統(tǒng)響應(yīng)的一種方法。由于該方法不僅適用于弱非線性體系，還適用于強(qiáng)非線性體系，因此，它是目前在工程中使用最為廣泛的一種方法。

本文首先建立了含間隙的滾珠絲杠慣容橡膠復(fù)合隔振系統(tǒng)的隨機(jī)微分方程，然后，基于隨機(jī)非線性分析方法，推導(dǎo)了系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩，計(jì)算了響應(yīng)的概率密度函數(shù)(PDF)，基于首超破壞準(zhǔn)則求解了系統(tǒng)的動(dòng)力可靠性及失效概率，并與模擬解對(duì)比驗(yàn)證結(jié)果的適用性，最后，通過一些算例分析間隙對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征及可靠性的影響。

1 含間隙非線性的并聯(lián)式ISD 隔振系統(tǒng)的隨機(jī)微分方程

本文參考了文獻(xiàn)[23]中設(shè)計(jì)的一種慣容-橡膠復(fù)合隔振器，如圖1 所示。其中，主要組件有：1-絲杠；2-飛輪及絲杠螺母；3-頂蓋；4-金屬橡膠組件；5-底座；6-軸承；7-限位塊。其中，金屬橡膠組件提供剛度和阻尼，絲杠與金屬橡膠組件的協(xié)同工作可以抽象成慣容元件與彈簧元件和阻尼元件并聯(lián)的ISD 系統(tǒng)。慣容器在實(shí)際服役中，可能由于預(yù)緊力喪失、絲杠發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形、磨損等現(xiàn)象，將直接導(dǎo)致間隙產(chǎn)生。當(dāng)位移處于間隙內(nèi)時(shí)，絲杠不能帶動(dòng)飛輪旋轉(zhuǎn)，慣容器“失效”，僅金屬橡膠組件工作，體系退化成普通的質(zhì)量-剛度-阻尼線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[13]將間隙從慣容器中獨(dú)立出來(lái)，忽略其他因素的影響，將間隙看作一個(gè)元件與慣容器串聯(lián)研究，結(jié)果表明，由于間隙的存在，高頻率激勵(lì)下慣容器內(nèi)部撞擊劇烈，這種撞擊會(huì)破壞慣容器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，影響系統(tǒng)的隔振性能。

為了便于分析，將間隙模型考慮為對(duì)稱模型，如圖2 所示。該間隙元件與慣容器串聯(lián)，然后與金屬橡膠組件提供的彈簧元件和阻尼元件并聯(lián)，組成含間隙的非線性并聯(lián)式Ⅱ型ISD 隔振系統(tǒng)，如圖3 所示。其中：I為慣容元件；S為彈簧元件；D為阻尼元件；P為間隙元件； ξ 為 1/2的間隙值。

如圖2 和圖3 所示，系統(tǒng)受到外部隨機(jī)激勵(lì)作用，產(chǎn)生的位移響應(yīng)若大于 ξ，該間隙元件P閉合，系統(tǒng)與慣容器協(xié)同工作，反之，若響應(yīng)小于 ξ，該間隙元件P開合，慣容器暫時(shí)“失效”。因此，可分析該對(duì)稱間隙的慣容器慣性力表達(dá)公式為：

式中：m、c、k分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度；W(t) 為 均值為零、激勵(lì)強(qiáng)度為D0=πS0的平穩(wěn)高斯白噪聲，S0為其功率譜密度；h(t)為一個(gè)時(shí)間調(diào)制函數(shù)。 ε(y)為階躍函數(shù)，定義：

2 系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性及可靠性分析

系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性分析有著重要的作用，首先基于隨機(jī)非線性分析方法推導(dǎo)了系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩與概率密度函數(shù)，然后利用概率密度函數(shù)計(jì)算了系統(tǒng)響應(yīng)的動(dòng)力可靠性和失效概率。

隨機(jī)等價(jià)線性化方法的基本思想是將非線性系統(tǒng)用近似的線性系統(tǒng)替代，通過等效系統(tǒng)與原非線性系統(tǒng)的誤差過程期望最小原則以確定等效系統(tǒng)的參數(shù)。

將式(2)整理，有：

式(13)是一個(gè)常微分方程組，通過數(shù)值微分可以求得系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩。

系統(tǒng)響應(yīng)的概率密度函數(shù)可由下式近似求解：

目前首超破壞準(zhǔn)則下系統(tǒng)的動(dòng)力可靠性的計(jì)算仍然較為困難，僅能在一些假設(shè)下得到相應(yīng)的近似解。當(dāng)系統(tǒng)反應(yīng)的安全界限較大時(shí)，反應(yīng)大于界限的概率很小，一般認(rèn)為反應(yīng)與界限交差是獨(dú)立發(fā)生的，即假設(shè)這些交差的次數(shù)近似服從Poisson 過程。本文基于Poisson 假定，推導(dǎo)了慣容橡膠復(fù)合隔振系統(tǒng)的動(dòng)力可靠性近似解。

首超破壞準(zhǔn)則假定結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)首次超越安全界限時(shí)就發(fā)生破壞?；谠摷俣?zhǔn)則的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性，稱為首超可靠性。系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)具有雙側(cè)安全界限，假定安全范圍是 (-b0,b0)，則認(rèn)為系統(tǒng)位移響應(yīng)在時(shí)段T=[t0,te]內(nèi)不超過這個(gè)安全范圍，系統(tǒng)就是安全的。該安全準(zhǔn)則可以寫成：

首超可靠性用概率度量滿足上述安全準(zhǔn)則的程度，記為：

3 數(shù)值計(jì)算與分析

3.1 平穩(wěn)激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)的近似解

為了研究間隙對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，以文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)的慣容-橡膠隔振器樣品為例，其慣質(zhì)系數(shù)b=780 kg ， 試驗(yàn)中被隔振對(duì)象質(zhì)量m=1000 kg，該復(fù)合隔振器的動(dòng)剛度是k=3.8×106N/m，阻尼比 0.03?？紤]外部激勵(lì)為平穩(wěn)高斯白噪聲，參考相關(guān)文獻(xiàn)，激勵(lì)強(qiáng)度的取值范圍較大，本文取S0=0.5/π t2·m2/s3，其中 1 t=103kg，平穩(wěn)激勵(lì)的均勻調(diào)制函數(shù)為：

間隙由試驗(yàn)樣品人為設(shè)計(jì)，滾珠與滾道之間預(yù)留較大空隙，通過測(cè)量連續(xù)兩次發(fā)生碰撞前后絲杠的位移，得 ξ=0.11 mm。經(jīng)計(jì)算，系統(tǒng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩隨時(shí)間的演化曲線如圖4 所示，其中EQL是本文采用的方法計(jì)算的結(jié)果，MCS 是蒙特卡洛模擬方法得到的結(jié)果。其中，響應(yīng)的單位采用：位移/m，速度/(m/s)。

由圖4 可知，計(jì)算結(jié)果與模擬解吻合很好。隨著時(shí)間演化，位移和速度響應(yīng)的二階統(tǒng)計(jì)矩逐漸增大，并在t=2.0 s左右達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，選取3 個(gè)瞬態(tài)時(shí)刻t=0.5 s、t=1.0 s和t=2.0 s計(jì)算系統(tǒng)位移響應(yīng)的概率密度函數(shù)，結(jié)果如圖5 所示。從圖可知，運(yùn)用該非線性分析方法計(jì)算得到的瞬態(tài)解無(wú)論是在概率密度函數(shù)曲線尾部還是在響應(yīng)均值附近均與模擬解吻合良好，表明該分析方法得到的結(jié)果精度較高。另外，從圖5(e)～圖5(f)可知，隨著時(shí)間演化，系統(tǒng)響應(yīng)的概率密度函數(shù)曲線逐漸發(fā)散，在達(dá)至穩(wěn)態(tài)時(shí)的概率密度函數(shù)發(fā)散程度最大。

在求得系統(tǒng)響應(yīng)的概率密度函數(shù)后，系統(tǒng)動(dòng)力可靠性可由首超可靠性分析理論計(jì)算得到。隔振系統(tǒng)的安全界限取決于多個(gè)因素，如滾珠絲杠、金屬橡膠組件、被隔振對(duì)象等，任意部件發(fā)生破壞就認(rèn)為系統(tǒng)失效。通常失效時(shí)系統(tǒng)位移較大，為方便研究，考察在不同的安全界限b0=27 mm和b0=31 mm下系統(tǒng)的失效概率，結(jié)果如圖6 所示。由圖可知，隨時(shí)間演化系統(tǒng)的失效概率增大，在t=2.0 s時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)至穩(wěn)態(tài)，且計(jì)算結(jié)果表明隨后失效概率呈線性增大。另外，由圖可知安全界限越大，系統(tǒng)的失效概率越小。

就不同間隙值系統(tǒng)位移響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分 析，分 別 取 ξ=0.0 mm 、 ξ=0.11 mm 、 ξ=0.5 mm、ξ=1.0 mm 和ξ=2.5 mm，不同時(shí)刻的間隙值對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)矩和概率密度函數(shù)的影響分別如圖7 和圖8所示。由圖7 可知，系統(tǒng)產(chǎn)生的間隙值較小時(shí)，位移與速度響應(yīng)的二階矩接近于無(wú)間隙非線性的結(jié)果，表明輕微的間隙產(chǎn)生不影響隔振系統(tǒng)的位移響應(yīng)。然而，隨著間隙值的增大，該系統(tǒng)位移與速度響應(yīng)的二階統(tǒng)計(jì)矩迅速增加。當(dāng)ξ=0.5 mm時(shí)，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)的方差與無(wú)間隙的情況相差達(dá)到了9.1%，而在 ξ=1.0 mm時(shí)二者相差達(dá)到了16.6%。穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)的概率密度函數(shù)尾部與無(wú)間隙隔振系統(tǒng)的差異也隨著間隙的增大而增加，如當(dāng)ξ=0.5 mm 和ξ=1.0 mm 時(shí)，概率密度在 10-5處截?cái)?，二者在尾部的?shù)值解相差分別達(dá)到4.2%和7.5%。更直觀地，在響應(yīng)達(dá)至平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)(取T=2.0 s)系統(tǒng)的失效概率與間隙的關(guān)系如圖9 所示。從圖可知，隨間隙的增大，系統(tǒng)的失效概率增加，如當(dāng) ξ=1.0 mm 時(shí) ，在超越界限b0=27 mm和b0=31 mm下系統(tǒng)失效概率分別由原來(lái)無(wú)間隙情況下 10-3.5和 10-5增加至 10-2.7和 10-4左右，增加幅度明顯。當(dāng)間隙增大時(shí)，相同激勵(lì)強(qiáng)度下被隔振對(duì)象的位移在間隙內(nèi)的概率增大，此時(shí)絲杠“失效”，僅金屬橡膠組件參與工作，系統(tǒng)退化成普通的質(zhì)量-剛度-阻尼線性系統(tǒng)，也就是說(shuō)，系統(tǒng)隔振的效果降低了。因此，樣本中較大位移的樣本數(shù)量變多，從而導(dǎo)致響應(yīng)的方差變大，響應(yīng)的概率密度函數(shù)在尾部發(fā)散。系統(tǒng)響應(yīng)樣本中接近安全界限的樣本數(shù)量變多，因此系統(tǒng)的失效概率增加。與以上隨機(jī)振動(dòng)分析結(jié)果不同，在確定性分析中，當(dāng) ξ=2.59 mm時(shí)位移響應(yīng)幅值僅相差5%。以上結(jié)果表明，系統(tǒng)間隙對(duì)動(dòng)力可靠性的影響較大。

3.2 非平穩(wěn)激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)的近似解

通常一個(gè)完整的地面運(yùn)動(dòng)包含激勵(lì)強(qiáng)度的上升段、峰值段與下降段，如果峰值段持時(shí)較短，則隨機(jī)激勵(lì)不能用平穩(wěn)激勵(lì)模型表示。由于可利用平穩(wěn)激勵(lì)模型的諸多定性結(jié)論及計(jì)算處理上的便利，強(qiáng)度非平穩(wěn)地震模型受到了廣泛應(yīng)用。本文采用該模型即均勻調(diào)制函數(shù)與平穩(wěn)激勵(lì)模型相乘的形式來(lái)模擬地面運(yùn)動(dòng)。地面運(yùn)動(dòng)的均勻調(diào)制函數(shù)采用IYENGAR 等[24]提出的指數(shù)型函數(shù)：

其中，參數(shù)取值參考了文獻(xiàn)[25]中的數(shù)值并在其附近取值。

系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩計(jì)算結(jié)果如圖10 所示，由圖可知數(shù)值結(jié)果與模擬結(jié)果吻合很好，位移和速度的二階統(tǒng)計(jì)矩都是隨著時(shí)間的演化呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)，并且在第 3 s達(dá)到峰值。位移響應(yīng)在不同時(shí)刻的概率密度函數(shù)如圖11 所示，數(shù)值方法得到的概率密度函數(shù)與模擬解吻合很好，尤其是尾部部分相差較小。另外，概率密度函數(shù)曲線隨時(shí)間演化先出現(xiàn)發(fā)散，且在t=3 s時(shí)發(fā)散程度最大，隨后迅速收縮。

系統(tǒng)的失效概率如圖12 所示。由圖可知，系統(tǒng)的失效概率隨時(shí)間演化逐漸增加，并在t=4.0 s時(shí)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)。另外，隨著超越界限的增大，系統(tǒng)的失效概率變大。

不同間隙值對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響如圖13 和圖14所示。其中圖14 表示的是系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩達(dá)到最大值時(shí)的位移對(duì)數(shù)概率密度函數(shù)。從圖13 和圖14 可知，隨著間隙值的增大，系統(tǒng)位移響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩變大，概率密度函數(shù)曲線呈發(fā)散趨勢(shì)，表明隔振器隨著間隙的增大其隔振效果逐漸降低。在ξ=0.5 mm和ξ=1.0 mm，位移統(tǒng)計(jì)矩在達(dá)到幅值時(shí)與無(wú)間隙情況下的統(tǒng)計(jì)矩相差分別達(dá)到了8.9%和16.4%，概率密度函數(shù)尾部相差分別達(dá)到4.1%和7.6%。間隙值對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力可靠性(取T=4 s)的影響如圖15 所示。從圖可知，隨著間隙增大，系統(tǒng)的失效概率增加，如在超越界限b0=27 mm和b0=31 mm下，在 ξ=1.0 mm時(shí)系統(tǒng)的失效概率分別由原來(lái)無(wú)間 隙 情 況 的 10-3.0和 10-4.4增 大 至 10-2.4和 10-3.6左右，增加幅度明顯。另外，與模擬解相比，該方法得到的失效概率趨于保守，且間隙非線性越大，趨勢(shì)越明顯。上述結(jié)果表明，無(wú)論是在平穩(wěn)還是非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下，間隙對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力可靠性影響較大，在設(shè)計(jì)慣容器時(shí)應(yīng)予以考慮間隙非線性對(duì)系統(tǒng)的影響。

4 結(jié)論

本文研究了含有間隙非線性的慣容橡膠復(fù)合隔振器在隨機(jī)激勵(lì)下響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性及系統(tǒng)的可靠性分析。首先，建立了含間隙非線性慣容橡膠復(fù)合隔振系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，通過隨機(jī)非線性分析方法推導(dǎo)了含間隙非線性的隔振系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩和概率密度函數(shù)，利用雙側(cè)Poisson 假定理論求解了系統(tǒng)的失效概率，并進(jìn)一步研究了平穩(wěn)激勵(lì)和非平穩(wěn)激勵(lì)下間隙非線性對(duì)系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)特性與動(dòng)力可靠性的影響。

通過以上算例，可知：

(1)本文采用的計(jì)算方法得到的系統(tǒng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩和概率密度函數(shù)與模擬解吻合很好。

(2)輕微的間隙(半間隙值在0 mm～0.11mm)產(chǎn)生對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征影響較小，可以按照之前慣容器間隙的簡(jiǎn)化建模。

(3)當(dāng)半間隙值大于 0.5 mm 時(shí)，系統(tǒng)位移響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩和概率密度函數(shù)與無(wú)間隙的結(jié)果相比差異較大，系統(tǒng)失效概率大幅度增大。這與在確定性系統(tǒng)分析中的結(jié)論有所不同，因此，在設(shè)計(jì)隔振器時(shí)應(yīng)當(dāng)予以考慮間隙對(duì)動(dòng)力可靠性的影響。