基于范希爾理論的小學(xué)圖形與幾何教學(xué)研究 以平行四邊形的面積教學(xué)為例

張麗霞，李陳哲

（上饒師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，江西上饒 334001）

1977年經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（Organization for Economic Co-operation and Development, OECD）開展的“素養(yǎng)的界定與遴選：理論和概念基礎(chǔ)”項目提出核心素養(yǎng)這一理論。在OECD的帶動下，各國都開啟了核心素養(yǎng)的研究。發(fā)展核心素養(yǎng)是落實立德樹人的重要舉措，也是提升我國教育競爭力的迫切需求。基于此，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》提出學(xué)生應(yīng)發(fā)展核心素養(yǎng)體系。其中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六個方面。這里的直觀想象是指能夠借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，以及利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。這與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）提出的小學(xué)數(shù)學(xué)十大核心概念之中的空間觀念和幾何直觀的內(nèi)涵不謀而合。故本文將平行四邊形的面積教學(xué)與范希爾理論相結(jié)合，開展基于范希爾理論的小學(xué)圖形與幾何教學(xué)研究。

一、范希爾理論概述

范希爾理論是有關(guān)幾何知識的重要理論，該理論由荷蘭學(xué)者范希爾夫婦提出。范希爾理論有兩個關(guān)鍵內(nèi)容，其一是范希爾幾何思維水平，該水平共有五個層次，分別為視覺層次、分析層次、非形式化演繹層次、形式化演繹層次和嚴密性層次；其二是與幾何思維水平相對應(yīng)的幾何教學(xué)階段，分別為學(xué)前咨詢階段、引導(dǎo)定向階段、闡明階段、活動階段和整合階段。研究主要著眼于小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何教學(xué)的研究，故本文將圍繞范希爾的幾何教學(xué)階段內(nèi)容進行探究。

事實上，范希爾幾何教學(xué)階段是在范希爾幾何思維水平基礎(chǔ)上提出的，幾何思維水平具有順序性，因此這五個教學(xué)階段既不能被跳躍，其次序也不能被調(diào)整。當(dāng)然，小學(xué)階段圖形與幾何知識的教學(xué)也要以范希爾理論為基礎(chǔ)，小學(xué)生的思維水平由視覺層次向嚴密性層次轉(zhuǎn)化，教學(xué)也由最初的師生雙向交流階段逐漸轉(zhuǎn)向整合階段。接下來，研究將詳細闡述范希爾幾何教學(xué)階段理論在圖形與幾何中的具體運用。

二、范希爾理論的具體運用

“平行四邊形的面積”分布于數(shù)學(xué)人教版教科書五年級上冊第六單元《多邊形的面積》第1課時，這部分內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)矩形面積、正方形面積的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，后續(xù)的內(nèi)容是三角形面積、梯形面積和組合圖形面積的學(xué)習(xí)。因此可以說平行四邊形的面積在幾何知識中起到了承上啟下的作用。

范希爾理論適用于幾何知識的教學(xué)，故“平行四邊形的面積”的教學(xué)也離不開范希爾幾何教學(xué)的五個階段，即學(xué)前咨詢階段、引導(dǎo)定向階段、闡明階段、活動階段和整合階段。

（一）深入觀察，引導(dǎo)交流

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出，教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程，應(yīng)當(dāng)是教與學(xué)過程的統(tǒng)一。學(xué)前咨詢階段是范希爾教學(xué)理論的第一個階段，也是在視覺水平的基礎(chǔ)上提出的，強調(diào)師生的雙向交流。這一階段，學(xué)生要對學(xué)習(xí)對象有初步的認識，具備一定的直觀識別能力。因此，觀察是學(xué)前咨詢階段必不可少的過程，也是幾何教學(xué)的基本環(huán)節(jié)。例如，“平行四邊形的面積”的學(xué)習(xí)就需要觀察。在“平行四邊形的面積”學(xué)習(xí)中，教師可以組織學(xué)生觀察教科書情境圖中的內(nèi)容，“這兩個花壇哪一個大呢？”引發(fā)學(xué)生的思考。通過對情境圖的觀察，有助于學(xué)生們重新認識平行四邊形的性質(zhì)，進一步理解其本質(zhì)特征。同時對于理解幾何圖形中各要素及各要素之間的關(guān)系具有重要意義。因此，觀察的環(huán)節(jié)既可以引導(dǎo)學(xué)生提取原有知識，又可以為平行四邊形面積的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

總之，在學(xué)前咨詢階段，教師可以根據(jù)學(xué)生觀察的結(jié)果了解學(xué)生的思維發(fā)展水平，學(xué)生可以通過觀察進行師生間的相互交流，進而為后續(xù)的操作、探究環(huán)節(jié)奠定基礎(chǔ)。

（二）動手操作，探究學(xué)習(xí)

引導(dǎo)定向階段是范希爾教學(xué)理論的第二個階段，是在分析的水平上提出的，強調(diào)給學(xué)生指導(dǎo)學(xué)習(xí)方向，其實際的教學(xué)環(huán)節(jié)是探究新知的過程，應(yīng)當(dāng)以學(xué)生探究為主。比如，在“平行四邊形的面積”教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生主動探究平行四邊形面積的計算方式，這也是猜想的過程。在探究階段，可以根據(jù)情況引導(dǎo)學(xué)生進行觀察，隨后進行小組討論。平行四邊形面積的推導(dǎo)有一個較好的方法—— 割補法。通過割、補的過程，學(xué)生們可以發(fā)現(xiàn)平行四邊形和長方形面積之間的關(guān)系。這個過程充分體現(xiàn)了引導(dǎo)定向的意義，既可以鍛煉學(xué)生的實際操作能力，又可以調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)探究的意識。

闡明階段是范希爾教學(xué)理論的第三個階段，是在非形式化演繹的基礎(chǔ)上提出的，主張學(xué)生對幾何進行深入的認識，即“用”幾何知識的過程[1]。在“平行四邊形的面積”教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生探索平行四邊形面積定理的產(chǎn)生過程，事實上，這也是驗證猜想的過程。我們知道，在學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了長方形面積的計算方法，在此基礎(chǔ)上探究平行四邊形的面積計算方式。首先，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察方格紙上平行四邊形的“底”“高”，并數(shù)出方格紙上平行四邊形的面積；再引導(dǎo)學(xué)生數(shù)出與平行四邊形同樣長度的“底”和“高”的長方形的面積；最后引導(dǎo)學(xué)生探究平行四邊形和長方形面積之間的關(guān)系。通過演繹推理可以發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的面積等于轉(zhuǎn)化后的長方形的面積，進而可以計算平行四邊形的面積。這樣的探究過程既有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，又能讓學(xué)生學(xué)會思考，獲得分析問題的能力。

活動階段也稱自由定向階段，是范希爾教學(xué)理論的第四個階段，在形式化演繹的基礎(chǔ)上提出，是學(xué)生思維水平逐漸完善的過程。學(xué)生在探索平行四邊形的面積定理后，會進行適當(dāng)?shù)木毩?xí)，這個過程會將知識應(yīng)用于具體問題中來，不僅能進一步鞏固所學(xué)知識，還可以在練習(xí)的過程中不斷吸收所學(xué)知識，完善其思維水平，使其達到熟練化的程度。

（三）整合內(nèi)化，收獲體驗

整合階段是范希爾教學(xué)理論的最高階段，是在嚴密性水平的基礎(chǔ)上提出的，提倡將新知識與舊知識整合，進而達到內(nèi)化的過程[2]。小學(xué)課堂中“課堂小結(jié)”的環(huán)節(jié)是最明顯的表現(xiàn)，這個環(huán)節(jié)是對所學(xué)內(nèi)容的回顧和思考，是將圖形與幾何知識進行模塊化歸類的過程。較為有效的驗證形式是以圖示法呈現(xiàn)，比如網(wǎng)絡(luò)關(guān)系圖、思維導(dǎo)圖等。圖示法可以清晰地展示出“平行四邊形的面積”的知識點，也可以將相關(guān)的知識點建立系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)體系，因此范希爾教學(xué)理論的整合階段不僅有助于知識的內(nèi)化，更有利于學(xué)生形成邏輯嚴密的思維體系。

綜上可知，圖形與幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)是一個連續(xù)性的活動，教學(xué)過程中不僅要關(guān)注新授課程的講授，更要關(guān)注圖形與幾何知識的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，范希爾教學(xué)理論實際上就是觀察、操作、猜想、驗證以及整合的完備過程。這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)既體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，又有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展。

三、范希爾理論對小學(xué)圖形與幾何教學(xué)的啟示

范希爾教學(xué)理論共有五個階段，分別是以對應(yīng)的思維水平的發(fā)展為基礎(chǔ)。一般來說，小學(xué)生的思維只能達到前面三個水平，但這并不意味著教學(xué)的過程包含這三個階段，而是應(yīng)強調(diào)以哪個階段為主。現(xiàn)依據(jù)范希爾理論在“平行四邊形的面積”教學(xué)中的具體運用，說一說范希爾教學(xué)理論帶給小學(xué)圖形與幾何教學(xué)的啟示。

第一，借助直觀，感悟圖形特征。小學(xué)階段，尤其是低年級學(xué)生，他們的思維以具體形象思維為主，因此在圖形與幾何的教學(xué)中勢必要以觀察作為基本環(huán)節(jié)。實際上，完整的教學(xué)會有觀察、猜測、探索等環(huán)節(jié)的存在，其中觀察的環(huán)節(jié)可以看作是知識學(xué)習(xí)的準備階段，其作用是為探究過程奠定基礎(chǔ)，同時也可以讓學(xué)生更好地體會圖形知識的生成過程。

第二，依托推理，建構(gòu)知識系統(tǒng)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》總目標要求“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生可以體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系”。這一目標表明數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系的，具有一定的知識體系。根據(jù)新知識與原有認知結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，我們可以將知識的學(xué)習(xí)分為上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)和并列組合學(xué)習(xí)。無論哪種學(xué)習(xí)類型，都體現(xiàn)了知識間相互聯(lián)系的過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，務(wù)必要重視知識之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生領(lǐng)悟知識間的邏輯關(guān)系，建立嚴密的知識體系。

第三，內(nèi)化知識，發(fā)展思維水平。任何領(lǐng)域的知識都是淵博的，我們要合理運用所學(xué)知識，若知識不能得以合理運用，我們則稱這類知識為惰性知識。如何避免惰性知識的產(chǎn)生呢？這就涉及如何運用知識。首先，我們要將靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為能力，努力內(nèi)化所學(xué)知識。知識的內(nèi)化過程就要調(diào)動學(xué)生思維，充分吸收所學(xué)知識，將知識與實際問題相結(jié)合。其次，做系統(tǒng)化的練習(xí)。思維是可以不斷開發(fā)的，教師可以借助例題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。如證明題和應(yīng)用題可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力等。因此，學(xué)生的思維是逐漸形成的，要使學(xué)生思維水平得以提升，必須要日積月累，在操作中發(fā)展學(xué)生的思維。