2022年新高考I卷第17題的探究與教學(xué)啟示

廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué)(528315) 林國(guó)紅

一、題目呈現(xiàn)

二、解法探究

2.1 問(wèn)題(1)的解答

把上述式子相乘,得

把上述式子相乘,得

2.2 問(wèn)題(2)的解答

評(píng)注①問(wèn)題(1)實(shí)際上是對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式的考查,這是數(shù)列的常見(jiàn)且重要題型,4 種解法借助a1=S1,an=Sn -Sn-1(n ＞1)從不同的角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用累乘法或構(gòu)造法解答.

②問(wèn)題(2)考查裂項(xiàng)相消法求和, 屬于數(shù)列求和的常見(jiàn)、簡(jiǎn)單的內(nèi)容.

③解法3 與解法4 還可以構(gòu)造常數(shù)列的方法進(jìn)行解答.以解法3 為例: 因?yàn)? 所以數(shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列, 則

三、試題的推廣

經(jīng)探究,上文的高考題可推廣如下:

評(píng)注顯然在推廣試題中,當(dāng)k=3 時(shí),就是高考題的情形.

四、試題的命題背景與拓展

4.1 試題的命題背景

從上述推導(dǎo)過(guò)程,發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn隱含著楊輝三角的一個(gè)美妙且重要的性質(zhì):

在楊輝三角中(如圖),從第二行起,每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和,也就是第n+1 行的第i個(gè)數(shù)等于第n行的第i-1 個(gè)數(shù)與第i個(gè)數(shù)之和,即Cin+1=Cin+Ci-1n.這個(gè)性質(zhì)是楊輝三角的最基本性質(zhì)(也是二項(xiàng)式系數(shù)和組合數(shù)的性質(zhì)),用此性質(zhì)可以寫(xiě)出整個(gè)楊輝三角,它也是研究楊輝三角其他性質(zhì)的基礎(chǔ).

可見(jiàn),楊輝三角的有關(guān)性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)正是試題的命題背景.

4.2 試題的拓展

由上述性質(zhì),可以命制相關(guān)的題目.例如:

拓展試題2記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和, 已知是公差為的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

五、試題的變式

數(shù)學(xué)的魅力在于“變化”,有“變”才能“活”.恰當(dāng)?shù)摹白兪健蹦苁箤W(xué)生多角度、全方位地理解知識(shí),思維能力得到拓寬和加強(qiáng),會(huì)起到強(qiáng)化解題思想方法的積極作用.所以數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要解決問(wèn)題,還要注重問(wèn)題的變式拓展,引導(dǎo)學(xué)生積極探索一題多變、一題多用,達(dá)到了舉一反三,觸類旁通的目的.對(duì)于本題,可以進(jìn)行如下變式訓(xùn)練:

變式1已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an-2,(n ∈N+).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

六、教學(xué)啟示

1.教學(xué)應(yīng)以課程標(biāo)準(zhǔn)為基準(zhǔn),夯實(shí)基礎(chǔ)

高考對(duì)數(shù)列內(nèi)容的考查,雖然試題千變?nèi)f化,但都以基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ).所以在教學(xué)中要以課程標(biāo)準(zhǔn)為軸,圍繞教材,對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容強(qiáng)化復(fù)習(xí),夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí).

2.認(rèn)真研究考題,把握高考命題方向

把脈高考命題方向是每位教師在進(jìn)行備考前的一項(xiàng)重要工作,從近幾年高考對(duì)數(shù)列考查內(nèi)容和方向來(lái)分析,變化不大,保持較高的穩(wěn)定性.主要考查數(shù)列的基本概念,等差、等比數(shù)列相關(guān)概念和性質(zhì),通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和等方面的知識(shí).

(1)掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法高考數(shù)列試題常以等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及綜合運(yùn)用為主.要會(huì)用“基本量思想”求解等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;能由特定的遞推關(guān)系式求解通項(xiàng)公式(如累加法、累乘法等),并會(huì)通過(guò)“構(gòu)造新數(shù)列”(如取倒數(shù)等)研究數(shù)列的通項(xiàng)公式;會(huì)用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式.同時(shí)還應(yīng)掌握一些基本方法(如因式分解、配方法等).

(2)掌握求數(shù)列前n 項(xiàng)和的常用方法要熟練掌握公式法、分組求和、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、奇偶分析和并項(xiàng)求和等方法研究數(shù)列前n項(xiàng)和.在教學(xué)中要重視對(duì)公式方法的推導(dǎo),并借助相應(yīng)的練習(xí)鞏固對(duì)方法的認(rèn)知.

(3)做好近年高考題的歸類整理備考選題以全國(guó)卷為主,分類分組訓(xùn)練,避免類型“盲區(qū)”,并領(lǐng)會(huì)題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法.

3.促成學(xué)生轉(zhuǎn)化應(yīng)用能力

近年數(shù)列試題的命制, 其考查內(nèi)容離不開(kāi)定義和性質(zhì),但考查的形式和角度不再單一,而呈多樣化的趨勢(shì).有時(shí)把數(shù)列知識(shí)滲透在數(shù)學(xué)文化中,考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,以及理論聯(lián)系實(shí)際能力;有時(shí)會(huì)給出新定義和新情景,要求考生在新定義和新情景中明晰數(shù)列知識(shí)的角色參與;有時(shí)會(huì)與其它內(nèi)容交匯,考查數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用.這些試題的考查目的是促使學(xué)生理解好數(shù)列的本質(zhì)內(nèi)涵,熟悉數(shù)列知識(shí)的背景,靈活利用已知解決未知,實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)化.

(1)加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀理解能力的訓(xùn)練,提升數(shù)學(xué)抽象和教學(xué)建模素養(yǎng)高考試題信息量有變大趨勢(shì),需要學(xué)生能快速的在繁雜的信息中抽象出數(shù)量關(guān)系和建立模型.

(2)重視邏輯推理素養(yǎng)的達(dá)成解題教學(xué)是邏輯推理素養(yǎng)達(dá)成的主要途徑之一,在教學(xué)中,要重視學(xué)生解題活動(dòng)的高參與度,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解題活動(dòng)加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與系統(tǒng)掌握,通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的分析,探索論證的思路,選擇合適的論證方法,提升輯推理能力.

(3)精細(xì)化創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)在教學(xué)中,要以現(xiàn)實(shí)生活為背景創(chuàng)設(shè)情境,為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)搭建平臺(tái),便于他們深入理解、詮釋、反思、探究,更好地掌握數(shù)列的核心概念和數(shù)學(xué)思想方法, 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),促進(jìn)創(chuàng)新能力的提升.