運(yùn)用廣義蝴蝶定理對(duì)一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題深入探究

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 肖阿春

廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370) 龐新軍

一、問(wèn)題背景

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)平面解析幾何的核心內(nèi)容,其中圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題是高考、競(jìng)賽命題的重點(diǎn)、熱點(diǎn),也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).這類問(wèn)題綜合性強(qiáng),解法靈活,能夠很好的考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的掌握程度,檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展水平.解題時(shí)應(yīng)“先用幾何眼光觀察與思考,再用代數(shù)法解決”[1],即要結(jié)合試題所表示的幾何圖形特點(diǎn)進(jìn)行解題.如此,不僅可以規(guī)避復(fù)雜和繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,還能提高解題效率.尤其是對(duì)一些與平面幾何重要結(jié)論緊密相連的圓錐曲線試題,運(yùn)用幾何方法進(jìn)行解題能夠事半功倍,例如本文所探究的試題就與廣義蝴蝶定理息息相關(guān).

廣義蝴蝶定理是蝴蝶定理在二次曲線中的推廣,在平面幾何中,蝴蝶定理是一個(gè)重要而優(yōu)美的結(jié)論,因其涉及到的幾何圖形類似蝴蝶而得名,其定理內(nèi)容如下:

蝴蝶定理如圖1所示,M是⊙O的弦AB的中點(diǎn),CD、EF是過(guò)M點(diǎn)的兩條弦, 連接CF、DE分別交AB于P、Q兩點(diǎn), 則MG=MH.

圖1

蝴蝶定理自提出以來(lái), 眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了多種形式的推廣與應(yīng)用.

美國(guó)人坎迪首次對(duì)蝴蝶定理進(jìn)行推廣[2],將蝴蝶定理中的弦AB的中點(diǎn)M推廣為弦AB上任意一點(diǎn)M從而得到相應(yīng)結(jié)論,后人稱為坎迪定理.之后的學(xué)者主要是從以下三個(gè)方面對(duì)蝴蝶定理進(jìn)行推廣: 一是將圓變?yōu)槠渌麍D形;二是將AB的中點(diǎn)M推廣至AB上任意一點(diǎn)M; 三是將連接CF、DE變?yōu)檫B接CE、DF.本文所運(yùn)用到的廣義蝴蝶定理是前人將蝴蝶定理中的圓變?yōu)槎吻€后證明得到的,具體內(nèi)容如下:

廣義蝴蝶定理[2-3]如圖2(圖3、4), 若M是二次曲線(含退化二次曲線)的弦AB的中點(diǎn), 過(guò)CD、EF是過(guò)M的兩條弦,CF、DE分別交直線AB于點(diǎn)H、G,則MG=MH.

圖2

圖3

圖4

二、試題賞析

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)D(1,0)的動(dòng)直線l交橢圓C于E、F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在x軸上方),M、N分別為直線A1E、A2F與y軸的交點(diǎn),求的值.

分析本題第二問(wèn)以橢圓為載體考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,通常用代數(shù)法解決,解題思路是: 引入?yún)?shù)表示,結(jié)合題目條件利用韋達(dá)定理對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn),從而得到答案.但過(guò)程較為復(fù)雜,化簡(jiǎn)過(guò)程繁瑣、運(yùn)算量大.于是把目光轉(zhuǎn)向幾何法,問(wèn)題表示的幾何圖形如圖5,觀察可發(fā)現(xiàn)其是廣義蝴蝶定理的一種特殊情況: 二次曲線為橢圓,AB為垂直橢圓長(zhǎng)軸的弦.但本題的題目條件將垂直橢圓長(zhǎng)軸的弦AB隱去,給出了弦AB的中點(diǎn)D.因此可用廣義蝴蝶定理進(jìn)行解答,只需過(guò)點(diǎn)D作垂直橢圓長(zhǎng)軸的弦AB,利用簡(jiǎn)單的三角形相似可以將轉(zhuǎn)化為已知線段的比,即可得出的值.

圖5

解析(1)=1(過(guò)程略);

解法2如圖6, 作直線x=1 與橢圓交于A、B兩點(diǎn),則線段AB是橢圓的弦并且點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn), 直線A1E、A2F與直線AB分別交于點(diǎn)T、S.依題意可得,ΔA1OM∽ΔA1DT,ΔA2DS∽ΔA2ON,則有

圖6

因?yàn)辄c(diǎn)D是弦AB的中點(diǎn), 直線EF、A1A2都過(guò)點(diǎn)D, 直線A1E、A2F與直線AB分別交于點(diǎn)T、S, 符合廣義蝴蝶定理的條件, 由廣義蝴蝶定理可知|DT|=|DS|, 因此

三、試題推廣

由上知本文試題可以用廣義蝴蝶定理進(jìn)行快速解答,并且廣義蝴蝶定理對(duì)所有的二次曲線都成立,因此我們不禁想進(jìn)一步對(duì)本文試題進(jìn)行探究推廣.

問(wèn)題1當(dāng)試題題干中的橢圓為一般的橢圓,點(diǎn)D是x軸上的任意一點(diǎn)時(shí),還是定值嗎?

圖7

圖8

我們知道圓錐曲線具有統(tǒng)一定義,橢圓中的許多性質(zhì)可類比推廣至雙曲線、拋物線中,因此想嘗試將本文試題結(jié)論推廣至雙曲線、拋物線.為了減少圓錐曲線分類探究所帶來(lái)的重復(fù)繁瑣證明,同時(shí)更好地探究本文試題的更一般推廣形式,接下來(lái)我們從一般的二次曲線入手進(jìn)行本文試題的探究.

問(wèn)題2一般的二次曲線與廣義蝴蝶定理結(jié)合有何定值、定點(diǎn)結(jié)論?

結(jié)論2已知二次曲線Γ:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0,動(dòng)點(diǎn)G(m,0)、H(n,0)(m≠n),過(guò)點(diǎn)G作斜率不為0 的直線與Γ 相交于M′、N′兩點(diǎn),直線M′H、N′H與Γ 分別相交于P′、Q′兩點(diǎn),直線M′N′、P′Q′與y軸分別相交于M、N兩點(diǎn),記M′N′、P′Q′的斜率為k1、k2.若D=0,則

證明(1)(2)(3)①動(dòng)點(diǎn)H在二次曲線內(nèi), 如圖9, 作直線x=n與Γ 交于A、B兩點(diǎn),則線段AB是二次曲線Γ 的弦并且點(diǎn)H是線段AB的中點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)H是弦AB的中點(diǎn),直線M′Q′、P′N′都過(guò)點(diǎn)H,直線M′N′、P′Q′與弦AB分別交于T、S兩點(diǎn),符合廣義蝴蝶定理的條件,由廣義蝴蝶定理可得|HS|=|HT|;

圖9

②動(dòng)點(diǎn)H在二次曲線外, 如圖10(圖中括號(hào)內(nèi)的字母表示該點(diǎn)在引理圖中的位置),作直線x=n與直線N′P′、M′Q′分別交于A、B兩點(diǎn),通過(guò)計(jì)算可知點(diǎn)H是線段AB的中點(diǎn)(設(shè)出直線N′P′、M′Q′的方程, 分別計(jì)算|AH|、|BH|的值, 具體過(guò)程略).因?yàn)辄c(diǎn)H是線段AB的中點(diǎn),直線N′Q′、M′P′均過(guò)點(diǎn)H,直線M′N′、P′Q′與直線AB分別交于T、S兩點(diǎn), 符合廣義蝴蝶定理?xiàng)l件, 由廣義蝴蝶定理可得|HS|=|HT|.設(shè)直線P′Q′與x軸的交點(diǎn)為I, 依題意由圖可得: ΔGOM∽ΔGHT,ΔIHS∽ΔION,,從而

圖10

(4)聯(lián)立直線M′N′與直線P′Q′的方程消去y,即可得直線M′N′與直線P′Q′的交點(diǎn)在定直線上.(具體過(guò)程略,感興趣的讀者可自證)

四、反思感悟

為何學(xué)生平時(shí)已對(duì)圓錐曲線定點(diǎn)定值題目進(jìn)行大量訓(xùn)練,但這類問(wèn)題還是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)? 原因是學(xué)生并沒(méi)有真正明白解析幾何的本質(zhì),認(rèn)為解決解析幾何問(wèn)題只能用代數(shù)方法,并且將代數(shù)方法簡(jiǎn)單化為“算”.而代數(shù)方法的要點(diǎn)確實(shí)是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和推理研究幾何圖形,但這里的運(yùn)算是具有幾何特征的運(yùn)算[4].因此如果學(xué)生遇到解析幾何問(wèn)題只是盲目地假設(shè)、建立關(guān)系式,而后硬算,即使最后能得到化簡(jiǎn)結(jié)果,也須得費(fèi)九牛二虎之力.

那么如何才能真正掌握解決圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題的方法呢,首先應(yīng)該明確的是這類問(wèn)題的考查本質(zhì).圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題屬于高中平面解析幾何主題的內(nèi)容,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》平面解析幾何主題指出:“本主題的研究對(duì)象是幾何圖形,所用的研究方法是代數(shù)方法…借助幾何圖形的特點(diǎn),形成解決問(wèn)題的思路,通過(guò)直觀想象和代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果,并給出幾何解釋,解決問(wèn)題[5].”解析幾何既有“代數(shù)”也有“幾何”,其本質(zhì)是用數(shù)形結(jié)合思想研究幾何問(wèn)題,這說(shuō)明解決解析幾何問(wèn)題要幾何、代數(shù)二法并舉.

因此在解析幾何的教學(xué)中,教師應(yīng)該幫助學(xué)生理解其本質(zhì),使學(xué)生真正掌握解決解析幾何問(wèn)題的方法.用于解題教學(xué)的題目應(yīng)該精挑細(xì)選、具有代表性,還應(yīng)有較強(qiáng)的可拓展性,使學(xué)生能夠進(jìn)一步對(duì)問(wèn)題探究推廣.解題教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生先用幾何眼光看待問(wèn)題,結(jié)合幾何圖形的特征探索解決問(wèn)題的思路,并且不能僅僅滿足于得到答案,還應(yīng)該給出答案的合理幾何解釋.教師還應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一題多解,提高學(xué)生的發(fā)散性思維;鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行推廣,從一道題看一類題.只有在教學(xué)中幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣、掌握正確的學(xué)習(xí)方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),學(xué)生才能在考場(chǎng)上游刃有余、從容不迫.