挖掘關聯(lián)信息 回歸基本模型

廣東省廣州市執(zhí)信中學(510080) 朱清波

1 引言

橢圓中的定點定值問題是高考的熱門考點,學生在引參探究時設點還是設線的選擇思路往往不清晰,加上這類問題對運算能力要求較高,故一直是高三復習備考階段較難逾越的一個知識點.查閱相關資料時,發(fā)現(xiàn)較多相關文章均是關于對此類問題的解法技巧, 缺乏對其性質生成背景的分析,只注重解題的教學活動很容易造成學生就題論題從而導致備考效果不佳.這些性質是孤立存在的嗎? 能否統(tǒng)一轉化到一個基本性質模型從而梳理出一個清晰的解題思路? 經過探究筆者發(fā)現(xiàn)此類問題源于橢圓的兩個小性質,以此為基礎再進行一些拓展即能產生一些新的結論,以下就從該性質展開說明.

問題1如圖1,已知橢圓C:b ＞0)的右頂點為M, 過P(m,0)(m≠a)的直線l與橢圓交于A,B兩點, 記MA,MB的斜率分別為k1,k2,證明:

圖1

證明(分類討論)若直線l斜率k存在, 設直線為y=k(x-m),代入橢圓方程,整理得

當Δ＞0 時,記A(x1,y1),B(x2,y2),則有

綜上,命題成立.

利用上述問題的推導過程,可以發(fā)現(xiàn)橢圓存在如下兩個性質:

性質1在問題1 的條件下, 若P(m,0)(m≠a)為定點,則MA,MB的斜率之積為定值

2 命題背景探究

圍繞上述兩個基本性質,重新審視一些高考真題和模擬試題中與之相關的問題,分析其考查特點后大致可分為如下幾類:

2.1 結合平面幾何背景考查定點定值問題

問題2如圖2,已知橢圓過右焦點F2的直線l與C交于A,B兩點,點P為橢圓的右頂點,直線PA,PB與直線x=4 相交于M,N,求證: 以MN為直徑的圓經過點F2.

圖2

圖3

問題3(2018 全國新課標I卷第19 題)如圖4,設橢圓的右焦點為F, 過F的動直線l與C交于A,B兩點, 點M坐標為(2,0), 設O為坐標原點, 證明:∠OMA=∠OMB.

圖4

圖5

若MB是橢圓的切線, 記B(x0,y0), 則MB方程為代入M(2,0)可知x0=1,即表明AB⊥x軸,利用對稱性可知∠OMA=∠OMB.

2.2 結合橢圓中的基本性質來考查定點定值問題

橢圓有一個關于斜率之積為定值的的基本性質, 其具體形式如下:

圖7

圖8

圖9

圖10

2.3 利用幾個性質相互轉化考查定點定值問題

問題6(2020年高考新課標I卷第20 題)如圖11,已知A,B分別為橢圓的左右頂點,P為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.證明: 直線CD過定點.

圖11

圖12

圖13

圖14

3 考查方式拓展

通過對上述幾個問題的的背景探究,將某些問題中條件和結論簡單置換,還可以作如下考查.

問題8如圖15,已知橢圓左右頂點分別為A,B,動點S在直線x=1 上,連結AS,BS分別與橢圓交于P,Q兩點,求證: 直線PQ過定點.

圖15

命題思路記直線SA斜率為kSA,其余直線斜率表示類似,由S在直線x=1 上,設S(1,t),由

圖16

圖17

數(shù)學家波利亞曾說,問題真正獲得解決的評判標準應是我們對原問題的理解比剛開始時更完整和準確.對上述定點定值問題的研究若不深刻,極易將與之相關的解題教學活動變成題海訓練,一旦問題情境發(fā)生變化就無法識別其本質導致束手無策.因此在解題探究中不僅要幫助學生總結歸納方法,還要充分剖析這些問題的命制背景,最終實現(xiàn)多題一解,若學生在日常的數(shù)學教學活動中不斷地經歷類似的深度思考與類比遷移,在后續(xù)的學習過程中亦能自發(fā)產生類似的深層次疑問并主動嘗試交流或解決這些困惑,從而有效提升自身的數(shù)學核心素養(yǎng).