顆粒離散元分層建模法及顆粒尺寸效應(yīng)

陳 龍 ，吳順川 ,2，金愛(ài)兵

（1. 北京科技大學(xué)金屬礦山高效開(kāi)采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083；2. 昆明理工大學(xué)國(guó)土資源工程學(xué)院，云南 昆明 650093）

巖體是經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)地質(zhì)作用形成的具有穩(wěn)定外形的固態(tài)集合體，巖石自人類文明誕生以來(lái)便是人類生存的重要環(huán)境之一. 在當(dāng)代，巖體作為一種工程介質(zhì)，是采礦、土木建筑、路橋、地下工程等學(xué)科及領(lǐng)域重點(diǎn)研究的對(duì)象，這些領(lǐng)域中巖體工程的穩(wěn)定和安全，與綠色宜居環(huán)境以及經(jīng)濟(jì)建設(shè)息息相關(guān).

巖體工程相關(guān)的設(shè)計(jì)、施工、穩(wěn)定性評(píng)價(jià)及災(zāi)害處治等均直接依賴于對(duì)巖體強(qiáng)度、變形、滲透性、破壞規(guī)律等特征的研究. 巖體強(qiáng)度、變形以及破裂特征是巖土工程研究的核心問(wèn)題. 巖石因其特有的組成成分與所處的特定地質(zhì)環(huán)境，其構(gòu)造上呈現(xiàn)出高度的非連續(xù)性、非均勻性和各向異性，在力學(xué)性質(zhì)上也表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性、非彈性和黏滯性. 隨著科技的進(jìn)步發(fā)展，對(duì)巖石力學(xué)行為的研究與認(rèn)識(shí)不斷加深，采用的分析方法歷經(jīng)理想彈塑性介質(zhì)、連續(xù)彈塑性介質(zhì)、非連續(xù)介質(zhì)模型等，目前離散元分析方法[1-3]已經(jīng)基本成熟，成為研究巖石力學(xué)行為、完善巖石力學(xué)基礎(chǔ)理論的重要工具之一[4-7]，并已初步應(yīng)用于工程領(lǐng)域各類復(fù)雜現(xiàn)象的機(jī)制研究[8-10].

顆粒離散元方法將介質(zhì)整體離散為圓盤形或球形顆粒單元進(jìn)行分析，不受變形量限制，可方便地處理非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問(wèn)題，可有效模擬介質(zhì)的開(kāi)裂、分離等非連續(xù)現(xiàn)象. 顆粒離散元法可通過(guò)設(shè)置不同大小顆粒、隨機(jī)顆粒簇以及不同規(guī)律分布的接觸強(qiáng)度來(lái)構(gòu)建非均勻性介質(zhì)模型，也可通過(guò)離散裂隙網(wǎng)絡(luò)技術(shù)（discrete fracture network，DFN）設(shè)置不同產(chǎn)狀及密度的節(jié)理，從而體現(xiàn)巖體的各向異性.

顆粒離散元法作為研究巖石材料物理力學(xué)性質(zhì)及破壞機(jī)制的有效方法，是近年來(lái)比較熱門的一種數(shù)值模擬研究方法，但其有著較高的計(jì)算要求. 當(dāng)進(jìn)行室內(nèi)巖石力學(xué)試驗(yàn)?zāi)M時(shí)，為提高模擬的精確度需要將顆粒尺寸設(shè)置為極小，但顆粒總數(shù)過(guò)大會(huì)導(dǎo)致計(jì)算速度十分緩慢. 目前，顆粒離散元法在工程中的大規(guī)模應(yīng)用相對(duì)較少，主要原因之一便是構(gòu)建大型巖體模型所需顆粒數(shù)量較多，迭代計(jì)算量超出一般計(jì)算機(jī)能力范圍[11].

因此，本文提出一種基于顆粒離散元的分層建模法，針對(duì)分層建模法存在的關(guān)鍵問(wèn)題（尺寸效應(yīng)問(wèn)題）進(jìn)行單軸抗壓、巴西劈裂試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析、討論，探究分層建模法模擬室內(nèi)力學(xué)試驗(yàn)的可行性.

1 分層建模法中的關(guān)鍵問(wèn)題

分層建模方法，即對(duì)巖石試樣裂紋主要擴(kuò)展區(qū)域、巖體破壞大變形區(qū)域或關(guān)注區(qū)域采用小尺寸顆粒進(jìn)行精細(xì)化模擬，外側(cè)非破壞或非關(guān)注區(qū)域采用大尺寸顆粒建模以擴(kuò)大計(jì)算區(qū)域. 圖1 為采用分層建模法構(gòu)建含預(yù)制裂隙單軸壓縮模型示意，在預(yù)制裂隙及裂紋擴(kuò)展區(qū)域采用小顆粒填充，可得到更準(zhǔn)確的裂紋連續(xù)發(fā)展軌跡.

圖1 分層建模法示意Fig. 1 Schematic of layered modeling method

分層建模法能夠成功計(jì)算的關(guān)鍵在于各層顆粒構(gòu)建的材料力學(xué)性質(zhì)相同. 顆粒離散元法中模型宏觀力學(xué)性質(zhì)由材料細(xì)觀參數(shù)決定，因此，各層顆粒需設(shè)置同種接觸模型，并且顆粒及接觸的各細(xì)觀參數(shù)應(yīng)相同（粒徑除外）.

大多數(shù)基于顆粒離散元法的研究都是根據(jù)試驗(yàn)需求或計(jì)算機(jī)能力和效率來(lái)選擇模型尺寸及細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征（主要是顆粒尺寸和尺寸分布），而沒(méi)有研究這些對(duì)最終結(jié)果的影響. 然而，一些研究表明，模型的細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征對(duì)顆粒流模擬結(jié)果有著顯著影響[12-14].Ding 等[15]開(kāi)展了多組不同顆粒尺寸的三維單軸壓縮模擬，重點(diǎn)分析了單軸抗壓強(qiáng)度、彈性模量和泊松比的變化規(guī)律，并給出了顆粒與模型尺寸比的建議；Xu 等[16]通過(guò)三維巴西劈裂模擬認(rèn)為，顆粒尺寸以及尺寸分布的非均勻性對(duì)巴西劈裂強(qiáng)度以及變異系數(shù)具有一定的影響.

因此，分層建模法中各區(qū)域平均粒徑的不同，也就是細(xì)觀結(jié)構(gòu)的不同，是否導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與常規(guī)建模法計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)差異、計(jì)算結(jié)果離散程度是否變大、破裂模式是否發(fā)生變化，是分層建模法成功應(yīng)用需解決的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題.

2 單軸壓縮試驗(yàn)及顆粒尺寸效應(yīng)分析

2.1 模擬方案設(shè)計(jì)及參數(shù)選取

采用分層建模法與常規(guī)建模法分別構(gòu)建室內(nèi)單軸壓縮試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如圖2 所示，圓柱的直徑D=50 mm，高H= 100 mm. 因含孔、結(jié)構(gòu)面或其他類型缺陷的巖石試樣、巖體工程尺度的研究中，缺陷大多設(shè)置在試樣中央，故單軸壓縮試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭袃?nèi)層設(shè)置在中央有利于研究完整試樣分層模型的力學(xué)性質(zhì)，匹配宏觀力學(xué)性質(zhì)，進(jìn)而開(kāi)展更多研究. 內(nèi)層模型形狀與模型整體形狀相同，避免因力不均勻傳遞造成的結(jié)果誤差. 內(nèi)層模型高度與直徑均設(shè)為模型整體的一半，是為了方便計(jì)算內(nèi)外層體積比.

圖2 單軸壓縮試驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig. 2 Uniaxial compression test model

顆粒間接觸模型統(tǒng)一采用三維平節(jié)理接觸模型（flat-joint model 3D，F(xiàn)JM3D）[17-18]，F(xiàn)JM3D 的接觸力學(xué)行為通過(guò)抽象面之間的等體積單元描述，單元類型分3 種（類型B、類型S 和類型G）并表示不同的接觸狀態(tài)，且FJM3D 還植入了與應(yīng)力相關(guān)的剪切強(qiáng)度. 因此，F(xiàn)JM3D 在研究脆性巖石破裂機(jī)制方面具有一定的優(yōu)勢(shì). 需要提及的是，通常模型中顆粒間是否可以賦予黏結(jié)取決于安裝間距g，g≤g'mean(dA,dB)，其中：g'為一定值；mean(·)為均值函數(shù)；dA、dB分別為任意顆粒A、B 的粒徑. 采用分層建模法時(shí)，這種安裝間距的設(shè)定存在問(wèn)題，層與層交界處粒徑差值較大，定值g'無(wú)論設(shè)置何值都會(huì)影響顆粒間自鎖效應(yīng)，進(jìn)而使模型實(shí)際強(qiáng)度非均勻. 故引入文獻(xiàn)[18]提出的安裝間距比gratio，即g＝gratiomin{dA,dB}，gratio的范圍是(0,dmin/dmax)，其中，dmin和dmax分別為最小和最大粒徑.

接觸細(xì)觀力學(xué)參數(shù)需滿足模型宏觀力學(xué)參數(shù)與試樣力學(xué)性質(zhì)相匹配. 細(xì)觀參數(shù)的調(diào)試原則是優(yōu)先匹配影響參數(shù)少、敏感度低的宏觀參數(shù). 對(duì)于FJM3D，Wu 等[18]通過(guò)對(duì)錦屏大理巖的校核調(diào)試過(guò)程和前期參數(shù)敏感性分析結(jié)論的總結(jié)，提出了一套完善的校核方法. 該方法首先考慮巖石的抗壓-抗拉強(qiáng)度比、內(nèi)摩擦角和應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰后行為，然后再匹配變形屬性和強(qiáng)度參數(shù)，具體調(diào)試步驟詳見(jiàn)文獻(xiàn)[18].

經(jīng)室內(nèi)巖石力學(xué)試驗(yàn)測(cè)得的試樣宏觀力學(xué)參數(shù)包括：?jiǎn)屋S抗壓強(qiáng)度47.64 MPa，彈性模量29.13 MPa，泊松比0.2，巴西抗拉強(qiáng)度2.06 MPa，是具有高壓拉比的典型脆性巖石. 最終，通過(guò)采用顆粒平均直徑d= 2.00 mm、dmax/dmin= 1.66 的常規(guī)模型進(jìn)行參數(shù)調(diào)試，采用表1 所示的接觸細(xì)觀力學(xué)參數(shù)可得到與試樣相匹配的宏觀力學(xué)參數(shù).

表1 FJM3D 各細(xì)觀力學(xué)參數(shù)取值Tab. 1 FJM3D meso-mechanical parameters

Ding 等[15]認(rèn)為，在一定的粒徑比dmax/dmin下，模型分辨率L/d（試樣的最小尺寸L與d的比值）對(duì)單軸抗壓強(qiáng)度σucs、彈性模量E和泊松比μ均有影響，但此影響在L/d超過(guò)一定量時(shí)會(huì)變小. 所以，在進(jìn)行分層模型與常規(guī)模型對(duì)比前，首先需確定模型粒徑設(shè)置范圍. 對(duì)dmax/dmin均為1.66，不同L/d的5 組常規(guī)模型進(jìn)行計(jì)算，每組包含5 種不同的顆粒排列.經(jīng)計(jì)算得到，L/d分別為10.00、12.50、16.70、20.00、25.00 的5 組常規(guī)模型σucs平均值分別為35.91、40.41、43.96、45.38、47.23 MPa，E平 均 值 分 別 為28.58、28.64、28.79、28.98、29.02 GPa，μ平均值分別為0.186、0.188、0.189、0.193、0.193. 可見(jiàn)L/d小于16.70 時(shí)，常規(guī)模型的各力學(xué)參數(shù)受較顆粒尺寸效應(yīng)影響較大，對(duì)探究分層模型的顆粒尺寸效應(yīng)已無(wú)太大對(duì)照意義.

所以共設(shè)計(jì)6 組試驗(yàn)，包括L/d分別為16.70、20.00、25.00 的3 組常規(guī)模型以及3 組分層模型，分層模型的內(nèi)外層平均粒徑兩兩對(duì)應(yīng)3 組常規(guī)模型.常規(guī)模型采用5 個(gè)隨機(jī)種子數(shù)生成5 種不同的顆粒排列，分層模型采用10 個(gè)隨機(jī)種子數(shù)生成10 種不同的顆粒排列，模型材料密度為2 690 kg/m3. 常規(guī)模型以及分層模型內(nèi)、外層顆粒的最大與最小粒徑比dmax/dmin均為1.66，顆粒尺寸均勻分布，各組模型粒徑設(shè)置如表2 所示.

表2 單軸壓縮模型粒徑設(shè)置Tab. 2 Particle size setting for uniaxial compression model

2.2 模擬結(jié)果分析

對(duì)模型進(jìn)行單軸壓縮模擬，比較常規(guī)模型與分層模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線、單軸抗壓強(qiáng)度σucs、起裂應(yīng)力σcis和彈性模量E，以及這些宏觀力學(xué)參數(shù)的離散程度，以此分析分層模型受顆粒尺寸效應(yīng)的影響. 數(shù)據(jù)的離散程度以變異系數(shù)（coefficient of variation,COV）為衡量標(biāo)準(zhǔn).

2.2.1 應(yīng)力-應(yīng)變曲線

分別從第1、3、5 組模型中抽取1 個(gè)模型，導(dǎo)出其單軸加載應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行對(duì)比. 從圖3 中可看出：在彈性變形階段、微彈性裂隙穩(wěn)定發(fā)展及累進(jìn)性破裂階段、峰后階段，分層模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線變化趨勢(shì)與常規(guī)模型基本一致，峰前無(wú)局部峰值點(diǎn)，峰后表現(xiàn)出相同的脆性特征. 3 個(gè)模型彈性階段斜率基本相同. 分層模型峰值強(qiáng)度與外層粒徑對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型接近，而相比內(nèi)層粒徑對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型減少了6.6%. 整體上，分層模型單軸抗壓強(qiáng)度與彈性模量的變化在離散元尺寸效應(yīng)[12,15]可解釋的范圍內(nèi).

圖3 分層模型與常規(guī)模型應(yīng)力-應(yīng)變曲線對(duì)比Fig. 3 Comparison of stress-strain curves between layered model and conventional model

2.2.2 單軸抗壓強(qiáng)度

6 組模型的單軸壓縮強(qiáng)度σucs計(jì)算結(jié)果如圖4所示.

從圖4（a）可看出：在常規(guī)模型中，σucs隨著平均粒徑的增大而減小，最小值與最大值相比減小6.9%，這與Potyondy 等[12]、Ding 等[15]的研究結(jié)論相同. 在分層模型中，σucs同樣隨著平均粒徑的增大而減小. 橫向?qū)Ρ瓤梢园l(fā)現(xiàn)，第4 組分層模型的σucs更接近平均粒徑為2.50 mm （第4 組外層平均粒徑）的第2 組常規(guī)模型，而不是平均粒徑為2.00 mm （第4 組內(nèi)層平均粒徑）的第1 組常規(guī)模型. 第5 組、第6 組分層模型的σucs結(jié)果也表現(xiàn)了相同的規(guī)律. 由圖2 分層模型內(nèi)層區(qū)域尺寸設(shè)置可知，內(nèi)外層體積比為13: （23-1）＝1 : 7，所以分層模型的實(shí)際σucs更接近體積更大的外層模型，而不是組成顆粒密度更大的內(nèi)層模型. 第4 ～ 6 組分層模型σucs與外層平均粒徑對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型相比，最多僅減小2.7%，從FJM3D 的角度來(lái)看，大粒徑模型的接觸數(shù)量較少，單個(gè)接觸承受的應(yīng)力相比小粒徑模型中的接觸更大，在接觸強(qiáng)度相同的條件下，大粒徑模型中的接觸在加載過(guò)程中會(huì)首先發(fā)生斷裂，并且更快達(dá)到峰值應(yīng)力. 在分層模型中，外層區(qū)域中接觸會(huì)像大粒徑模型一樣提前發(fā)生破裂，且因外層區(qū)域體積較大，故而峰值強(qiáng)度與大粒徑模型接近. 但內(nèi)層區(qū)域小顆粒間的接觸發(fā)生斷裂較外層區(qū)域更慢，使峰值應(yīng)變?cè)黾?，所以，分層模型的峰值?yīng)變與內(nèi)層對(duì)應(yīng)的小粒徑模型接近，如圖3 所示.

圖4 σucs 和COV 的計(jì)算結(jié)果Fig. 4 Calculation results of σucs and COV

所以在匹配分層模型的單軸抗壓強(qiáng)度時(shí)，建議以外層對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型作參照，也就是先采用大粒徑模型進(jìn)行參數(shù)匹配，再構(gòu)建分層模型進(jìn)行微調(diào)，這樣比直接構(gòu)建分層模型進(jìn)行參數(shù)匹配效率更高.

從圖4（b）可看出：在常規(guī)模型中，單軸抗壓強(qiáng)度的COV 隨著平均粒徑的減小而減小，并可能收斂到一特定值. 在分層模型中單軸抗壓強(qiáng)度的COV 無(wú)明顯規(guī)律，但均比第3 組常規(guī)模型單軸抗壓強(qiáng)度的COV 大. 這是因?yàn)镃OV 體現(xiàn)的是模型中顆粒組裝排列的不同以及材料強(qiáng)度的非均勻性，只有模型中顆粒的數(shù)量足夠多，才能減弱這些影響，得到較為一致的σucs. 在分層模型中，內(nèi)外層交界的存在使局部顆粒組裝排列更具多樣性，材料強(qiáng)度的非均勻性比常規(guī)模型更強(qiáng). 所有分層模型的COV 均小于2.00%，屬于可以接受的范圍.

2.2.3 起裂應(yīng)力

6 組模型的起裂應(yīng)力σcis計(jì)算結(jié)果如圖5 所示.

圖5 σcis 和COV 的計(jì)算結(jié)果Fig. 5 Calculation results of σcis and COV

圖5（a）中常規(guī)模型、分層模型的σcis呈現(xiàn)出與單軸抗壓強(qiáng)度σucs相同的規(guī)律，即σcis隨著平均粒徑的增大而減小. 常規(guī)模型σcis最小值與最大值相比減小了5.1%. 每組分層模型σcis略小于其外層平均粒徑對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型，最多僅減小1.9%. 雖然室內(nèi)單軸抗壓試驗(yàn)測(cè)得的σucs受外部加載條件（加載速率、加載設(shè)備剛度等）影響較大，但在模擬中加載條件完全穩(wěn)定不變，多次加載、以相同標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得的σucs與σcis可視作相同細(xì)觀參數(shù)下材料的穩(wěn)定屬性，所以，σcis與σucs在相同的粒徑變化下會(huì)呈現(xiàn)相同的規(guī)律.從接觸模型的角度，同樣是因?yàn)榇罅綄?duì)應(yīng)的接觸承受更大的應(yīng)力，外層區(qū)域中接觸會(huì)像大粒徑模型一樣在加載過(guò)程中更快發(fā)生斷裂.

圖5（b）中常規(guī)模型起裂應(yīng)力的COV 隨著平均粒徑的增大而增大，分層模型起裂應(yīng)力的COV 均比外層平均粒徑對(duì)應(yīng)起裂應(yīng)力的COV 大，這也是由于分層結(jié)構(gòu)的存在，顆粒呈不同排列方式的分層模型內(nèi)部強(qiáng)度非均勻性更大. 起裂應(yīng)力的COV 最大僅為1.54%，可認(rèn)為各組測(cè)得起裂應(yīng)力的COV 都很精確.

2.2.4 彈性模量

6 組模型的彈性模量E計(jì)算結(jié)果如圖6 所示.

圖6 E 和COV 的計(jì)算結(jié)果Fig. 6 Calculation results of E and COV

從圖6（a）中可看：出6 組E的差別極其微小，在常規(guī)模型中，E隨著平均粒徑的增大而減小，但最小值與最大值相比僅減小0.8%，遠(yuǎn)小于σucs的6.9%.σucs的變化值大于E是合理的，因?yàn)棣襲cs涉及到大量的顆粒相互作用以及破裂形成，而E衡量的是模型在發(fā)生任何重大破裂之前的可變形性. 分層模型的E與外層對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型相比減小了1.3% ～ 2.3%，說(shuō)明常規(guī)模型在彈性階段抗變形性略強(qiáng)于分層模型，這也是由于顆粒尺度非均勻性而產(chǎn)生[15].

圖6（b）中常規(guī)模型彈性模量的COV 的變化規(guī)律與σucs、σcis相同，分層模型彈性模量的COV 也隨著平均粒徑的增大而增大，總體彈性模量的COV 均小于1.00%，可認(rèn)為數(shù)據(jù)精確度較高.

3 巴西劈裂試驗(yàn)及顆粒尺寸效應(yīng)分析

3.1 模擬方案設(shè)計(jì)及參數(shù)選取

采用分層建模法與常規(guī)建模法分別構(gòu)建巴西劈裂試驗(yàn)圓盤模型，圓盤厚度為 25 mm，直徑為 50 mm.大量的巴西圓盤試驗(yàn)及模擬結(jié)果表明[19-20]，試樣的破裂集中在過(guò)圓心加載方向上. 在巴西劈裂模擬試驗(yàn)中，圓盤試樣表面，特別是與加載板接觸部位的光滑度，對(duì)計(jì)算結(jié)果有很大的影響[21]，減小顆粒尺寸，可以相對(duì)改善圓盤試樣表面光滑度. 所以，巴西劈裂圓盤分層模型按圖7 所示設(shè)置.

圖7 巴西劈裂試驗(yàn)分層模型Fig. 7 Layered model for Brazilian splitting test

共設(shè)計(jì)7 組試驗(yàn)，分別為4 組常規(guī)模型以及3 組分層模型，每組采用10 個(gè)隨機(jī)種子數(shù)生成10 種不同的顆粒排列，模型材料密度為2 690 kg/m3.常規(guī)模型的最小分辨率參考Xu 等[16]的建議，最低為16.7，也就是最大平均粒徑為3.00 mm. 由于巴西劈裂加載用時(shí)較短，且圓盤模型尺寸較小，可容納顆粒數(shù)更多，所以將常規(guī)模型中最小平均粒徑設(shè)為1.50 mm，分層模型中內(nèi)層顆粒平均直徑一律設(shè)為1.50 mm. 常規(guī)模型以及分層模型內(nèi)、外層顆粒的最大與最小粒徑比均為1.66，顆粒尺寸均勻分布，各組模型粒徑設(shè)置如表3 所示. 顆粒間接觸接觸細(xì)觀力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1.

表3 巴西劈裂模型粒徑設(shè)置Tab. 3 Particle size setting for Brazilian splitting model

3.2 加載設(shè)置

在平板加載條件下，加載板寬度是影響巴西劈裂試驗(yàn)結(jié)果的重要外部因素. 2016 年，Xu 等[16]將加載板設(shè)置為不同寬度進(jìn)行巴西劈裂試驗(yàn)，分析應(yīng)力-應(yīng)變曲線，認(rèn)為當(dāng)加載板寬度小于平均粒徑時(shí)，會(huì)使加載板與顆粒之間產(chǎn)生不充分接觸，導(dǎo)致應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)出低彈性模量，峰值應(yīng)力相對(duì)較小，且出現(xiàn)局部峰值點(diǎn)；當(dāng)加載板寬度大于平均粒徑時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰后在應(yīng)力降至峰值應(yīng)力約1/3 處表現(xiàn)為延性特征，與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果不符. Xu 等[16]建議將加載板寬度設(shè)為與平均粒徑相等，然而，如此設(shè)置仍會(huì)有顆粒粒徑大于加載板寬度，使加載板與顆粒之間產(chǎn)生不充分接觸.

對(duì)第1 組常規(guī)模型進(jìn)行巴西劈裂加載，加載板寬度分別設(shè)為1.50 mm （平均粒徑）和1.87 mm （最大粒徑），測(cè)得的巴西劈裂抗拉強(qiáng)度σbt平均值分別為1.95 MPa 和2.02 MPa，變異系數(shù)COV 分別為3.86%、2.04%. 加載板寬度為1.50 mm 時(shí)峰值應(yīng)力較小，是因?yàn)樵诓煌念w粒排列下，與加載板接觸的顆粒直徑不同，當(dāng)顆粒直徑大于平均粒徑，加載板與顆粒之間也會(huì)產(chǎn)生不充分接觸. 加載板寬度為1.50 mm時(shí)COV 較大，正說(shuō)明測(cè)得的σbt存在不穩(wěn)定性.

據(jù)以上分析，在各組常規(guī)模型進(jìn)行巴西劈裂模擬時(shí)將加載板寬度設(shè)為與最大粒徑相同，在各組分層模型進(jìn)行模擬時(shí)將加載板寬度設(shè)為與內(nèi)層最大粒徑相同.

3.3 模擬結(jié)果分析

3.3.1 巴西劈裂抗拉強(qiáng)度

7 組模型的巴西劈裂抗拉強(qiáng)度σbt計(jì)算結(jié)果如圖8 所示. 圖8（a）中，常規(guī)模型σbt隨平均粒徑的增大而增大，最大值相比最小值的增加幅度為1.98%.σbt與σucs呈現(xiàn)出不同的規(guī)律，是因?yàn)棰裥蛿嗔秧g度KⅠc與抗拉強(qiáng)度呈正向線性關(guān)系[22]，而KⅠc和顆粒尺寸呈正相關(guān)[12]. 分層模型σbt雖然也是隨著平均粒徑的增大而增大，但超過(guò)了外層平均粒徑對(duì)應(yīng)的σbt，如第5 組分層模型σbt超過(guò)了外層平均粒徑2.00 mm對(duì)應(yīng)的第2 組常規(guī)模型，但第5 組模型的平均粒徑要小于第2 組模型，這一點(diǎn)無(wú)法依據(jù)斷裂韌度來(lái)解釋. 3 組分層模型σbt與其外層平均粒徑對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型相比，分別增加了1.32%、2.35%、1.50%，雖然增加幅度不大，但在分層建模測(cè)定模型σbt時(shí)要考慮到這一影響.

從接觸模型的角度也可以解釋常規(guī)模型σbt隨平均粒徑的增大而增大. 因?yàn)榱捷^大時(shí)，接觸的破裂可能不會(huì)沿著實(shí)際的宏觀破裂軌跡擴(kuò)展，而是因大顆粒的存在，接觸的破裂角（破裂與加載方向的夾角）產(chǎn)生了一定的偏差. 需要更大的加載力才能使破裂貫通整個(gè)模型. 從接觸模型的角度同樣無(wú)法解釋分層模型σbt大于其外層對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型σbt，此問(wèn)題需要度進(jìn)一步探究. 但是在匹配分層模型的σbt時(shí)，也可以外層對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型作參照，也就是先采用大粒徑模型進(jìn)行參數(shù)匹配，再構(gòu)建分層模型進(jìn)行微調(diào). 因?yàn)?，分層模型σbt相對(duì)外層對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型σbt增幅較小.

圖8（b）中，平均粒徑為1.50 mm 和2.00 mm 的常規(guī)模型，其巴西抗拉強(qiáng)度的COV 基本相同，但平均粒徑超過(guò)2.00 mm 巴西抗拉強(qiáng)度的COV 會(huì)有較大的增加，最大達(dá)到了5.15%. 可以說(shuō)隨著平均粒徑的減小，巴西抗拉強(qiáng)度的COV 有收斂的趨勢(shì). 分層模型抗拉強(qiáng)度的COV 較小，與小粒徑常規(guī)模型COV 接近. 所以從變異系數(shù)的角度看，采用分層建模法測(cè)模型σbt是可行的.

圖8 σbt 和COV 的計(jì)算結(jié)果Fig. 8 Calculation results of σbt and COV

3.3.2 宏觀破裂特征

為探究分層模型與常規(guī)模型巴西劈裂試驗(yàn)宏觀破裂是否存在較大差別，從平均粒徑相差最大的第1 組（d= 1.50 mm）、第4 組（d= 3.00 mm）以及對(duì)應(yīng)的分層模型第7 組中各選擇一種排列方式進(jìn)行加載. 加載至峰后階段峰值強(qiáng)度的60%時(shí)，試樣宏觀破裂情況如圖9 所示.

圖9 巴西圓盤宏觀破壞Fig. 9 Macroscopic damage of Brazilian disc

從圖9 中可以看出：與d= 1.50 mm 的模型相比，d= 3.00 mm 的模型宏觀破裂帶較寬. 這是因?yàn)樵诩虞d至峰值強(qiáng)度后，粒徑小的模型裂紋延伸路徑受顆粒影響較小，會(huì)迅速延伸至貫通，峰后階段應(yīng)力也會(huì)迅速下降. 而具有較大直徑的顆粒會(huì)影響裂紋的延伸，應(yīng)力最大、最易開(kāi)裂處是顆粒而不是顆粒間的接觸，裂紋延伸方向發(fā)生改變，應(yīng)力-應(yīng)變曲線在峰后歷經(jīng)幾個(gè)局部峰值點(diǎn)后才會(huì)徹底下降.d= 1.50 mm的常規(guī)模型與分層模型宏觀破裂基本相同，均呈“中間細(xì)，兩頭粗”的特征，但分層模型在加載板附近裂紋更多，說(shuō)明分層模型需在更高的應(yīng)力條件下，加載板附近發(fā)生更大范圍宏觀破裂后裂紋才能上下貫通. 所以，分層模型的巴西劈裂宏觀破裂特征與小粒徑常規(guī)模型相似，而顆粒數(shù)量較少，計(jì)算時(shí)間較短，也說(shuō)明了分層建模法在巴西劈裂模擬中具有較高的可行性.

4 討 論

以上分析證明了分層模型同常規(guī)模型一樣存在顆粒尺寸效應(yīng)，且具有一定的規(guī)律. 在計(jì)算效率方面，將分層模型與同內(nèi)層粒徑常規(guī)模型顆粒數(shù)量、計(jì)算時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行對(duì)比（表4）. 從表4 中可看出：當(dāng)分層模型外層平均粒徑至少超過(guò)內(nèi)層平均粒徑0.50 mm時(shí)，顆粒數(shù)與常規(guī)模型相比大量減少，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)降低超過(guò)50%. 所以，分層建模法可以極大地提升計(jì)算效率，降低顆粒離散元法對(duì)計(jì)算能力的要求.

表4 分層模型與常規(guī)模型顆粒數(shù)、計(jì)算時(shí)長(zhǎng)對(duì)比Tab. 4 Comparison of particle number and calculation time between layered model and conventional model

通過(guò)試驗(yàn)與對(duì)比證明了分層建模法的有效性與高效性，但仍存在一些需要完善的問(wèn)題：

1） 常規(guī)建模時(shí)模型需要的顆粒數(shù)是由孔隙率決定，生成顆粒后經(jīng)過(guò)循環(huán)計(jì)算、調(diào)整使顆粒減少重疊并充滿整個(gè)模型. 而分層建模時(shí)，先按照相同的孔隙率在不同區(qū)域生成不同粒徑的顆粒，在循環(huán)計(jì)算、調(diào)整時(shí)區(qū)域界面處會(huì)有個(gè)別小顆粒移動(dòng)至大顆粒區(qū)域，這樣最終生成的模型孔隙率與最初設(shè)置的孔隙率存在細(xì)微差別，而孔隙率對(duì)模型試驗(yàn)結(jié)果也存在一定的影響. Ding 等[15]認(rèn)為，隨著粒徑非均勻性或dmax/dmin的增加，模型孔隙率降低，模型會(huì)有更高的σucs. 所以，在建模后需重新測(cè)定孔隙率，選擇具有相同孔隙率的模型進(jìn)行計(jì)算、分析.

2） 本文是分層建模法應(yīng)用于小尺寸力學(xué)模擬中的可行性初探，文中分層模型外層顆粒平均粒徑最大設(shè)置為內(nèi)層平均粒徑的2 倍，在此條件下得到的分層模型計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確可接受的，但關(guān)于內(nèi)外層粒徑差對(duì)模型宏觀力學(xué)參數(shù)的影響只是做了定性分析. 由顆粒離散元模型生成原理可知，相鄰兩層粒徑差距不能過(guò)大，否則會(huì)使模型重疊率過(guò)高而難以達(dá)到力學(xué)平衡. 分層模型內(nèi)外層顆粒粒徑差最大可達(dá)何值，超過(guò)該值會(huì)發(fā)生怎樣的現(xiàn)象，也是需要探究的一個(gè)問(wèn)題. 只有解決這一問(wèn)題，才能將分層建模法應(yīng)用于更大尺度的模擬研究中.

3） 分層模型中交界面的存在是其力學(xué)屬性與常規(guī)模型存在較小偏差的重要原因，若將兩層之間的交界面附近設(shè)為中間層，中間層粒徑分布范圍小于外層平均粒徑、大于內(nèi)層平均粒徑，能否減少局部應(yīng)力集中，使裂紋在兩層之間順利過(guò)渡，此問(wèn)題值得進(jìn)一步研究.

在大規(guī)模工程尺度試驗(yàn)?zāi)M中應(yīng)用分層建模法，與室內(nèi)試驗(yàn)尺度模擬有著同樣的思路，首先，采用大顆粒模型進(jìn)行預(yù)試驗(yàn)得到關(guān)鍵區(qū)域的方位，然后，在關(guān)鍵區(qū)域采用小尺寸顆粒，外側(cè)采用大尺寸顆粒建模. 因相鄰兩層粒徑差不能過(guò)大，需要設(shè)置多層用以過(guò)渡. 需要特別注意的是，工程尺度模擬存在模型尺寸效應(yīng)，即室內(nèi)試樣匹配得到的細(xì)觀參數(shù)應(yīng)用于大尺度模型中時(shí)，大尺度模型的宏觀力學(xué)性質(zhì)會(huì)有一定的折減，因此，在校準(zhǔn)細(xì)觀參數(shù)時(shí)，還需對(duì)模型、顆粒的尺寸效應(yīng)進(jìn)行綜合評(píng)估與對(duì)比. 圖10 為采用分層建模法構(gòu)建的巖體，以及巷道開(kāi)挖后在內(nèi)層出現(xiàn)的分區(qū)破裂現(xiàn)象，詳細(xì)研究見(jiàn)文獻(xiàn)[10].

圖10 深部巖體工程中的分區(qū)破裂現(xiàn)象Fig. 10 Zonal disintegration in deep rock mass projects

5 結(jié) 論

1） 分層建模法與常規(guī)建模一樣受顆粒尺寸效應(yīng)影響，但可以減少顆粒流模型中的顆粒數(shù)量，極大地提高計(jì)算效率，一定程度上可提高各類尺度模擬精度，降低顆粒離散元法對(duì)計(jì)算能力的要求.

2） 分層模型的單軸抗壓強(qiáng)度和起裂應(yīng)力略小于其外層平均粒徑對(duì)應(yīng)的常規(guī)模型，匹配單軸抗壓強(qiáng)度時(shí)可以外層材料常規(guī)模型作參照. 單軸抗壓強(qiáng)度和起裂應(yīng)力的變異系數(shù)普遍大于常規(guī)模型，但依然在可接受范圍內(nèi).

3） 分層模型中粒徑分布的不均勻性對(duì)模型彈性階段的變形性質(zhì)影響較小，分層模型的彈性模量與常規(guī)模型相差不大.

4） 分層模型的巴西劈裂抗拉強(qiáng)度整體略大于常規(guī)模型，宏觀破裂特征與小顆粒常規(guī)模型相似，但在加載板附近有更多的裂紋.