曲線軌道上重載貨車懸掛相對位移的仿真計算方法及應用

楊春雷 ，王開云

（1. 湖北民族大學智能科學與工程學院，湖北 恩施 445000；2. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都610031）

機車車輛的曲線通過問題是車輛動力學系統(tǒng)研究課題中的一個重要領(lǐng)域，深入探究和理解車輛曲線通過行為及其機理是合理設計車輛及其軌道參數(shù)，提高車輛曲線通過性能的理論基礎. 對車輛曲線通過理論及計算模型的研究經(jīng)歷了早期的經(jīng)典曲線通過理論、線性穩(wěn)態(tài)曲線通過、非線性穩(wěn)態(tài)曲線通過和現(xiàn)階段的非線性動態(tài)曲線通過理論4 個階段[1-2]，反映了對車輛曲線通過機理由定性到定量、由個體到整體、從局部到全面的系統(tǒng)認識過程，研究更趨實際和完善. 但動態(tài)曲線通過理論分析也更為復雜，不僅要考慮線路參數(shù)、輪軌接觸關(guān)系變化，還要考慮車輛懸掛及其動態(tài)響應，即準確求解出車輛懸掛變化成為了車輛動態(tài)曲線通過計算的前提. 但查閱一般車輛懸掛計算的相關(guān)文獻[1-14]發(fā)現(xiàn)，對車輛系統(tǒng)懸掛裝置相對位移及懸掛力的計算并不多見，也不統(tǒng)一.在常見車輛動態(tài)曲線通過計算中，大多僅列出各剛體的運動方程，而對車輛懸掛相對位移及懸掛力的具體計算卻未給出詳細的推導[1-3]；翟婉明[4]在《車輛-軌道耦合動力學》中對我國鐵路機、客、貨等基本車型的懸掛力進行了推導，并給出了相應計算公式，但書中貨車模型采用的轉(zhuǎn)向架為傳統(tǒng)的軸箱導框式結(jié)構(gòu)，與現(xiàn)有重載貨車一系懸掛結(jié)構(gòu)存在較大差異，在懸掛力計算公式中，僅考慮了線路曲率和超高影響，而忽略了懸掛點剛體間的側(cè)滾角差和順坡角差；王開云等[5-6]通過坐標變換方法分析了車輛在曲線軌道上的懸掛相對位移及其對輪重特性的影響，并給出了車輛在不同曲線段（緩和曲線、圓曲線）上懸掛點相對平移和轉(zhuǎn)角的變化表，但為簡化計算，忽略了懸掛點不同剛體間的順坡角差；多數(shù)使用的SIMPACK、UM 等動力學仿真軟件往往是直接利用軟件自帶的曲線模塊進行參數(shù)化建模及計算，對于軟件如何處理懸掛相對位移及如何計算懸掛力的內(nèi)核卻難以知曉[7-14].

在曲線軌道，因外軌超高及曲率變化，內(nèi)外鋼軌形成的軌道面實際為曲面，在該軌道面上運行的車輛將產(chǎn)生動態(tài)扭曲，使得車輛懸掛點各剛體間的參考坐標系不再平行，須將不同坐標系變換到同一坐標系下才可進行相應計算[5]. 而重載貨車及其轉(zhuǎn)向架在沿用傳統(tǒng)的兩級剛度彈簧 + 摩擦斜楔減振的基礎上，又增加了一系軸箱橡膠墊和常接觸彈性滾子旁承等彈性支撐懸掛，懸掛點更多，懸掛計算也更為復雜[15-18]. 但無論車輛系統(tǒng)各剛體如何變化，懸掛點不同剛體坐標系（即質(zhì)心坐標系）間的關(guān)系都可認為是某一坐標系（OB-XBYBZB）是另一坐標系（OA-XAYAZA）經(jīng)平動（a，b，c）和轉(zhuǎn)動（α，θ，γ）后形成的新坐標系，其中：α為側(cè)滾角；θ為順坡角；γ為中心角. 則兩坐標系的相互變化關(guān)系為

所以，只要知道車輛懸掛點剛體間的相對平動（a，b，c）和轉(zhuǎn)動（α，θ，γ）大小，通過式（1）或式（2）將不同剛體的坐標轉(zhuǎn)換到同一參考坐標系下，即可進行車輛懸掛點相對位移及速度的計算.

1 曲線軌道參數(shù)模型

鐵路曲線一般包括水平曲線和豎曲線，本文只涉及水平曲線分析. 典型的曲線軌道如圖1 所示，由圓曲線連接前、后緩和曲線組成. 從直線經(jīng)前緩和曲線到圓曲線時，線路曲率k和超高h由0 分別增至1/R0（R0為圓曲線半徑）和h0；圓曲線處，超高和曲率保持不變；從圓曲線經(jīng)后緩和曲線到直線時，線路曲率k和超高h則分別由1/R0和h0減至0. 圖1 中坐標系定義如下（坐標軸符合右手法則）：

圖1 典型曲線軌道示意Fig. 1 Typical curve track schematic

1）O-XYZ絕對坐標系，固結(jié)于水平面軌道中心處.X軸沿行車方向水平向前，Y軸方向水平向內(nèi)，Z軸方向垂直向下；

2）O1-X1Y1Z1質(zhì)點運動坐標系，固結(jié)在軌道曲面上運動的剛體質(zhì)心，相對絕對坐標系X、Y和Z軸的轉(zhuǎn)角分別為（α，θ，γ）.

為緩和因超高和曲率突變引起的沖擊，在直線和圓曲線間需設置一條曲率和超高均連續(xù)變化的緩和曲線. 我國一般采用直線超高順坡三次拋物線型緩和曲線[8]，即外軌超高h和曲率k都隨緩和曲線長度線性變化. 根據(jù)圖1 所示和三次拋物線型的特性，則某一質(zhì)點沿曲線軌道中心線運行時的超高h和轉(zhuǎn)角（α，θ，γ）與各曲線段走行距離l的關(guān)系為

式中：a0為內(nèi)外鋼軌中心間距的一半.

2 懸掛點超高差和轉(zhuǎn)角差的求解

重載貨車基本采用一系和二系兩系懸掛，主要懸掛點有輪對與側(cè)架間的軸箱懸掛、側(cè)架與搖枕間的中央懸掛以及車體與搖枕間的彈性旁承支撐懸掛及心盤支撐等. 圖2 是重載貨車進入曲線軌道后，各剛體部件的位置關(guān)系示意，圖中：lt為轉(zhuǎn)向架固定軸距的一半；lc為車輛定距的一半；ds為二系懸掛橫向跨距的一半；dw為一系懸掛橫向跨距的一半；R為線路曲線半徑；X、Y、Z分別為縱向、橫向和垂向位移自由度，ψ為搖頭自由度，下標w、B 分別表示輪對、搖枕，下標tL、tR 分別表示左、右側(cè)轉(zhuǎn)向架. 假定輪對、搖枕和車體中心均沿曲線軌道中心向前運動，并以車輛1 位輪對作為起始參考點，根據(jù)式（3） ～ （6）和車輛各剛體前、后和左、右位置距離關(guān)系，可確定出車輛各懸掛點剛體部件對應的超高和轉(zhuǎn)角.

2.1 輪 對

假定車輛沿曲線軌道純滾動時，可認為輪對中心與軌道中心重合，則輪對的超高和相應轉(zhuǎn)角可直接利用式（3） ～ （6）進行計算，但需將式中l(wèi)換成lwi，lwi為1 ～ 4 位輪對在不同曲線段的走行距離，其中i= 1, 2, 3, 4；若以1 位輪對lw1作為起始點，則lw2=lw1－2lt，lw3=lw1－2lc，lw4=lw1－2（lc+lt）.

2.2 搖 枕

根據(jù)圖2，可認為搖枕質(zhì)心與曲線軌道中心線重合. 則相應的超高和轉(zhuǎn)角也可直接按軌道曲線中心公式計算，只需將式中l(wèi)換成lbj即可，lbj為前后搖枕在不同曲線段的走行距離，j= 1，2，分別表示前、后搖枕；若以1 位輪對lw1作為起始點，則lb1=lw1-lt，lb2=lw1-lt-2lc.

圖2 重載貨車各剛體部件在曲線軌道上的位置關(guān)系Fig. 2 Position relationships of the freight car rigid bodies on a curved track

2.3 側(cè) 架

由于同一轉(zhuǎn)向架的搖枕和左、右側(cè)架的質(zhì)心在橫向共線，若忽略兩者對應的曲率差異，則側(cè)架的側(cè)滾角和中心角與搖枕一致. 而左、右側(cè)架與搖枕因橫向位置差異，其超高和順坡角與搖枕不同，但可根據(jù)幾何位置關(guān)系推導，如式（7）、（8）.

超高：

式中：hbj和 αbj（j= 1，2）分別為前、后搖枕的超高和中心角；下標L 表示左側(cè)架，當其改為R 表示右側(cè)架時，則式（7）、（8）右邊的 + 號改為 - 號 .

2.4 車 體

車體質(zhì)心與曲線軌道中心線重合，則車體超高、曲率和各轉(zhuǎn)角可直接利用式（3） ～ （6）計算，但需將式中l(wèi)換成車體在各曲線段的走行距離lC，仍以1 位輪對作為起始點，則lC=lw1-lt-lc.

計算出車輛各剛體的具體超高和轉(zhuǎn)角后，即可計算出各懸掛點剛體間的相對超高差及轉(zhuǎn)角差.

3 懸掛點相對位移求解

計算車輛系統(tǒng)各懸掛點的相對位移必須要在同一參考坐標系下進行. 先需對車輛系統(tǒng)各剛體定義本體坐標系，如圖1 中質(zhì)點坐標系O1-X1Y1Z1所示，坐標原點固結(jié)于各剛體質(zhì)心；橫向定義為剛體所在曲線位置的徑向方向，即指向曲率中心；縱向為各剛體所在曲線位置的切向方向；而垂向定義為豎直向下方向.

求解懸掛點相對位移步驟如下：

步驟1先建立各剛體的本體坐標系，并根據(jù)各懸掛點的幾何位置和剛體運動自由度分析確定懸掛點在各剛體本體坐標系的坐標表達式；

步驟2計算或直接給出懸掛點兩剛體在曲線某位置的相對平動（a，b，c）和轉(zhuǎn)動（α，θ，γ）值；

步驟3按式（1）或式（2）進行坐標變換，將懸掛點的本體坐標轉(zhuǎn)換到同一坐標系下，兩者相減得出各懸掛點相對位移的表達式；

步驟4結(jié)合車輛動力學計算求出的各剛體運動自由度值，代入相對位移表達式即可求出車輛各懸掛點的相對位移. 本文以求解車輛1 位輪對和前左側(cè)架懸掛點的相對位移作為算例來介紹整個過程，其他懸掛點的計算可參照執(zhí)行.

令1 位輪對的縱向、橫向、垂向位移分別為Xw1、Yw1、Zw1，側(cè)滾、點頭、搖頭分別為φw1、βw1、Ψw1；前左側(cè)架的縱向、橫向、垂向位移分別為XtL1、YtL1、ZtL1，側(cè)滾、點頭和搖頭分別為φtL1、βtL1、ΨtL1；輪對質(zhì)心與側(cè)架質(zhì)心垂向距離為htw. 則懸掛點在1 位輪對和前左側(cè)架本體坐標系的坐標分別如式（9）～式（11）.

懸掛點在前左側(cè)架本體坐標系的位置：

懸掛點在1 位輪對本體坐標系的位置：

1 位輪對質(zhì)心相對前左側(cè)架質(zhì)心轉(zhuǎn)動和平移為

式中： Δhw1tL1為1 位輪對和前左側(cè)架的超高差.

將1 位輪對懸掛點本體坐標向左側(cè)架本體坐標系進行轉(zhuǎn)換并簡化（忽略小變量間的乘積項）得到

懸掛點相對位移為

4 仿真算例及應用

以我國27 t 軸重C80E貨車為例[17-18]，基于交叉支撐轉(zhuǎn)向架重載貨車-軌道耦合模型[19]，采用該方法對車輛通過曲線時各懸掛點的相對轉(zhuǎn)角和相對位移進行動力學仿真. 車輛主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：lc=4 605 mm，lt=930 mm，dw和ds均為1 003 mm，a0=746.5 mm. 曲線參數(shù)為：曲線半徑800 m，最大外軌超高95 mm，前、后緩和曲線長度75 m，圓曲線長度50 m，前、后直線長度25 m. 車輛運行速度為80 km/h，即車輛以平衡最大超高通過曲線，且不考慮線路軌道不平順譜的激擾.

圖3 為車輛通過該曲線時，車輛系統(tǒng)各懸掛點剛體間超高差的變化，由圖3 可見：車輛各剛體部件都在直線上時，超高差為0；在緩和曲線上時，因外軌超高隨緩和曲線長度線性變化，而輪對質(zhì)心與左、右側(cè)架質(zhì)心橫向間距為dw，縱向間距為lt，故輪對與側(cè)架以及側(cè)架與搖枕懸掛點的超高差值也呈線性變化，但在前、后緩和曲線上的變化方向相反，且輪對與左、右側(cè)架以及搖枕與左、右側(cè)架超高差也剛好相反；而搖枕質(zhì)心和車體質(zhì)心的橫向距離為0，縱向間距為lc，超高差由兩者進出曲線前后不同步引起，所以其超高差值在緩和曲線上保持不變，其值也明顯比輪對與側(cè)架以及側(cè)架與搖枕的超高差?。辉趫A曲線上，因外軌超高保持最大超高不變，懸掛點的超高差也相應不變；在直緩點和緩圓點附近，因懸掛點剛體質(zhì)心同時處在不同的曲線段，超高差則會發(fā)生明顯的轉(zhuǎn)折.

圖3 車輛系統(tǒng)懸掛點剛體間的超高差Fig. 3 Superelevation height differences between the rigid bodies of vehicle system suspension points

懸掛點側(cè)滾角差值的變化如圖4 所示，因同一轉(zhuǎn)向架的左、右側(cè)架質(zhì)心和搖枕質(zhì)心在徑向共線，即它們在同一時刻的側(cè)滾角相同，故車輛懸掛點的側(cè)滾角差只需考慮各輪對與前、后側(cè)架以及前、后搖枕與車體間的側(cè)滾角差. 由圖4 可見：在直線和圓曲線段，懸掛點的側(cè)滾角差值均為0；在緩和曲線段，各側(cè)滾角差值最大并保持不變，其中前、后輪對與側(cè)架以及前、后搖枕與車體間的側(cè)滾角差方向相反，在前、后緩和曲線上的方向也剛好相反；在直緩點和緩圓點附近，懸掛點的側(cè)滾角差會出現(xiàn)明顯的突變，特別是輪對與側(cè)架間的懸掛點，幾乎呈直角變化，搖枕與車體間的側(cè)滾角差變化也很快，且差值較大，最大為3.907 mrad.

圖4 車輛系統(tǒng)懸掛點剛體間的側(cè)滾角差Fig. 4 Rolling angle differences between the rigid bodies of vehicle system suspension points

圖5 為各懸掛點順坡角差值的變化. 由圖5 可知：當車輛完全處于直線或圓曲線段時，各懸掛點順坡角差值為0；在緩和曲線段時，輪對與側(cè)架間、側(cè)架與車體間的順坡角差值最大并保持不變，且在前、后緩和曲線上的方向相反，而搖枕與車體因其質(zhì)心在縱向共線，在緩和曲線段兩者順坡角相同，故順坡角差值為0；在直緩點和緩圓點附近，因懸掛點兩剛體質(zhì)心處在不同的曲線段上，一個為0，一個為定值，所以會出現(xiàn)明顯的跳躍現(xiàn)象，且左側(cè)比右側(cè)大（因左側(cè)外軌超高大，故順坡角更大）.

圖5 車輛系統(tǒng)懸掛點剛體間的順坡角差Fig. 5 Slope angle differences between the rigid bodies of vehicle system suspension points

懸掛點中心角差（或稱搖頭角差）變化如圖6 所示. 同理，因左、右側(cè)架和搖枕質(zhì)心在徑向共線，忽略內(nèi)、外側(cè)軌道的曲率差異，同一轉(zhuǎn)向架的側(cè)架和搖枕的中心角可認為是同步變化，則只需考慮輪對與側(cè)架以及搖枕與車體間的懸掛點中心角差. 由圖6 可見：在直線段，中心角差均為0；在前緩和曲線段，中心角差隨軌道長度線性增加，后緩和曲線段，則線性減小，且前、后輪對與側(cè)架和前、后搖枕與車體間的中心角差的正負值剛好相反，前為正，后為負；在圓曲線，各懸掛點的中心角差達到最大且保持不變.

求出各懸掛點剛體動態(tài)的相對平動和轉(zhuǎn)動后，給定重載貨車一二系懸掛剛度和阻尼參數(shù)，代入車輛系統(tǒng)運動微分方程，進行車輛曲線通過動力學仿真計算，即可求解出重載貨車系統(tǒng)各懸掛點的相對位移. 圖7 是重載貨車一系和二系懸掛點相對位移的計算結(jié)果（圖中均是前項減后項）. 由圖7 可見：因曲線軌道的曲率和超高變化，重載貨車通過曲線時，其一系和二系懸掛相對位移均不斷變化，車輛的前、后懸掛和左、右懸掛均存在不同程度差異，且與曲線線路的超高、側(cè)滾角、順坡角和中心角差值的單個變化特性也存在較大差異. 仿真發(fā)現(xiàn)：當單獨不計線路側(cè)滾角差、順坡角差或中心角差時，與考慮全部線路偏差角時懸掛相對位移極值的最大偏差率分別可達42.85%、24.03%和71.42%. 這說明重載貨車通過曲線時的懸掛相對位移是線路參數(shù)和車輛參數(shù)綜合作用的結(jié)果，仿真計算中要準確確定車輛懸掛的相對位移，需要全面考慮車輛結(jié)構(gòu)參數(shù)和軌道幾何參數(shù)，忽略其中某些參數(shù)，將影響車輛懸掛相對位移及懸掛力，進而影響車輛系統(tǒng)動力學仿真計算結(jié)果的準確性.

圖7 懸掛點剛體間的相對位移Fig. 7 Relative displacements between rigid bodies of the suspension points

5 結(jié) 論

1） 懸掛點相對位移與線路側(cè)滾角、順坡角和搖頭角差的變化特性均存在差異，說明車輛通過曲線時的懸掛相對位移是車輛參數(shù)或曲線軌道參數(shù)綜合作用的結(jié)果. 但從各懸掛點相對轉(zhuǎn)角和相對位移隨曲線線路變化看，懸掛點相對位移在緩和曲線上的變化更為明顯，且在前、后緩和曲線上的變化趨勢相反，而在圓曲線上相對位移變化不大，甚至無變化.

2） 通過先確定車輛在曲線軌道上懸掛點各剛體間的平動和轉(zhuǎn)角差，再通過坐標變換計算車輛懸掛點相對位移的方法，可以準確計算出車輛各懸掛點的相對位移. 利用該方法進行計算機編程，可推廣至空間任意兩剛體間相對位移及速度的仿真計算.

3） 該方法考慮了車輛和軌道結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)，無需簡化處理，使車輛在曲線軌道上懸掛力的計算更為準確，一定程度上豐富和完善了車輛曲線通過仿真計算方法. 基于此方法開展車輛及軌道相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化分析，可為鐵路車輛及線路工程設計、維修等實際應用提供一定指導.

致謝：牽引動力國家重點實驗室開放課題資助項目（TPL2209）、高校博士科研啟動基金資助項目（MY2015B009）.