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    聚焦“待定系數(shù)法”的解題應(yīng)用

    2022-11-03 04:15:28
    數(shù)理化解題研究 2022年28期
    關(guān)鍵詞:通項(xiàng)復(fù)數(shù)題意

    朱 磊

    (江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 222006)

    眾所周知,“待定系數(shù)法”是分析、解決有關(guān)代數(shù)問(wèn)題的一種常用解題技巧.如果在解題中能夠加以適時(shí)靈活運(yùn)用,那么可幫助我們確定解題的思維方向,獲得問(wèn)題的簡(jiǎn)捷求解.基于此,本文擬通過(guò)歸類舉例的方式加以具體說(shuō)明,旨在幫助同學(xué)們提升解題的技能技巧.

    1 運(yùn)用“待定系數(shù)法”,處理冪函數(shù)問(wèn)題

    解析由于f(x)是冪函數(shù),可設(shè)f(x)=xα,從而根據(jù)f(4)=3f(2)得4a=3×2a,解得a=log23.

    所以函數(shù)f(x)=xlog23.

    評(píng)注一般地,如果題意給出f(x)是冪函數(shù),那么可靈活運(yùn)用“待定系數(shù)法”求解函數(shù)f(x)的解析式,此時(shí)應(yīng)設(shè)f(x)=xα,這里α是一個(gè)待定量,可由其他已知條件求解.

    2 運(yùn)用“待定系數(shù)法”,處理復(fù)數(shù)問(wèn)題

    解析設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),

    因?yàn)閦-i=a+(b-1)i,

    解得a=b=1.故所求復(fù)數(shù)z=1+i.

    評(píng)注一般地,求解有關(guān)復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí),如果已知條件中無(wú)具體的復(fù)數(shù),那么解題時(shí)可先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,化抽象為具體,有利于活用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,進(jìn)一步分析、解決問(wèn)題.

    3 運(yùn)用“待定系數(shù)法”,求解數(shù)列的通項(xiàng)公式

    例3在數(shù)列{an}中,a2=4,a5=22,a6=32,且通項(xiàng)公式an是二次函數(shù),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

    解析因?yàn)閧an}的通項(xiàng)公式an是二次函數(shù),

    所以可設(shè)an=an2+bn+c(a≠0).

    因此,根據(jù)a2=4,a5=22,a6=32,可得

    故所求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n+2.

    評(píng)注從函數(shù)的角度看,本題實(shí)際上研究的是根據(jù)二次函數(shù)圖象上的三個(gè)不同的點(diǎn),求解二次函數(shù)的解析式.結(jié)合本題,我們可進(jìn)一步理解、認(rèn)識(shí):數(shù)列是一類特殊的函數(shù).

    4 運(yùn)用“待定系數(shù)法”,求解圓的方程

    例4若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0),且與直線y=1相切,則圓C的方程是____.

    解析設(shè)圓C的方程為

    (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

    則根據(jù)題意可得

    評(píng)注運(yùn)用“待定系數(shù)法”求解圓的方程時(shí),可活用圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式或一般式.具體問(wèn)題求解的關(guān)鍵是先依據(jù)題設(shè)構(gòu)建關(guān)于參數(shù)a,b,r(或D,E,F)的方程組,再求解該方程組.

    5 運(yùn)用“待定系數(shù)法”,求解直線的方程

    例5已知點(diǎn)P(2,0),圓C:x2+y2-6x+4y+4=0,若點(diǎn)P∈l,且圓心C到直線l的距離等于1,求直線l的方程.

    解析若直線l的斜率存在,則設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0.

    化簡(jiǎn),得3x+4y-6=0.

    若直線l的斜率不存在,則易知直線l的方程為x=2,所以圓心C(3,-2)到直線l的距離等于1,適合題意.

    綜上,所求直線l的方程為3x+4y-6=0,或者x=2.

    評(píng)注運(yùn)用“待定系數(shù)法”求直線的方程時(shí),可靈活運(yùn)用直線方程的幾種不同形式.特別提醒:利用點(diǎn)斜式、斜截式時(shí),若不明確直線的斜率是否存在,則應(yīng)分情況加以討論.

    6 運(yùn)用“待定系數(shù)法”,求解圓錐曲線的方程

    解析設(shè)橢圓的方程為

    則根據(jù)題意,得

    7 運(yùn)用“待定系數(shù)法”,求解函數(shù)的解析式

    例7根據(jù)下列條件,求解函數(shù)f(x)的解析式:

    (1)已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)是一次函數(shù),且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1;

    (2)已知函數(shù)f(x)是三次函數(shù),且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0.

    解析(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)是一次函數(shù),可知f(x)是一元二次函數(shù),從而設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b.

    從而,根據(jù)x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1,得

    x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1.

    化簡(jiǎn),得(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.

    又因?yàn)樯鲜綄?duì)?x∈R恒成立,則有a=b,b=2c,c=1,解得a=2,b=2,c=1.

    故f(x)=2x2+2x+1.

    (2)由于f(x)是三次函數(shù),因此可設(shè)函數(shù)

    f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),

    則求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2bx+c.

    于是,由題意可得

    故f(x)=x3-3x2+3.

    評(píng)注如果已知所給函數(shù)是一元二次函數(shù)(或一元三次函數(shù)),那么活用“待定系數(shù)法”可巧求函數(shù)解析式,往往需要設(shè)為一元二次函數(shù)(或一元三次函數(shù))的一般式或其他形式.

    8 運(yùn)用“待定系數(shù)法”,處理有關(guān)立體幾何問(wèn)題

    圖1 圖2 圖3

    解析如圖3所示,建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則點(diǎn)C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0).

    根據(jù)圖形,可設(shè)點(diǎn)F(a,0,0),

    設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面DEF的法向量,

    設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PCE的法向量,

    令x2=1,則y2=1,z2=2,故取m=(1,1,2).

    因此,由平面DEF⊥平面PCE,得m·n=0

    評(píng)注一般地,運(yùn)用“待定系數(shù)法”可幫助我們順利求解平面法向量的坐標(biāo).特別地,如果能夠由圖形直接確定直線與平面垂直,那么該平面的法向量的坐標(biāo)易觀察獲得,此時(shí)就不需要利用“待定系數(shù)法”.

    綜上可知,靈活運(yùn)用“待定系數(shù)法”能夠幫助我們根據(jù)題意創(chuàng)設(shè)有利條件,迅速明確解題的方向,從而便于順利求解目標(biāo)問(wèn)題.顯然,只有在解題實(shí)踐之后,不斷進(jìn)行歸納、總結(jié),才能在具體解題時(shí)努力做到活用“待定系數(shù)法”迅速處理相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

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