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    賞析新情景數列問題

    2022-11-03 04:15:12張子芳
    數理化解題研究 2022年28期
    關鍵詞:通項分段賞析

    張子芳

    (甘肅省民樂縣第一中學 734500)

    本文側重賞析以下四類新情景數列問題的解析,旨在幫助同學們明確此類問題的求解策略,進一步鞏固所學數列知識在解題中的靈活應用,進而提高分析、解決問題的實際能力.

    1 “周期”型數列問題

    在數列問題中,當正整數n較大時,要計算an或Sn,一般是利用等差或等比數列的通項公式、求和公式求解;若數列不是等差或等比數列,則往往需要優(yōu)先考慮數列的周期性.

    例1在數列{an}中,已知a1=2,a2=3,當n≥2時,an+1是an·an-1的個位數,則a2022=____.

    解析根據題設得a1=2,a2=3,a3=6,a4=8,a5=8,a6=4,a7=2,a8=8,a9=6,a10=8,a11=8,a12=4,a13=2,a14=8,….

    所以據此可知數列{an}中的各項從第3項起,會反復出現(xiàn)數字6,8,8,4,2,8,即具有周期性(以6為周期).

    又注意到2022=2+336×6+4,

    故易知所求a2022=4.

    評注通過羅列數列的前幾項,可歸納獲得該數列的周期性,這是本題求解的關鍵所在.

    2 “分段”型數列問題

    若所給原數列遞推式是分段函數的形式,則有意識地去探求新數列的相鄰兩項之間的緊密聯(lián)系,往往會發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的規(guī)律、特點,從而便于迅速找到解題思路.

    (2)根據題設,得

    易知bn≠0.

    3 “新運算”型數列問題

    數列問題中,如果題目給出了“新運算”,那么需要我們先認真閱讀,準確理解、認識“新運算”的特點;然后再結合相關數列知識加以靈活分析、求解.

    (1)若an=2n-1,則Q4=____;

    (2)若Qn=n2(n∈N*),則an=____.

    解析(1)因為an=2n-1,

    所以a1a2…an=n2(n∈N*).

    于是,可知a1a2…an-1=(n-1)2(n≥2).

    從而,當n≥2時,由①÷②可得

    又當n=1時,an=a1=Q1=1,顯然不滿足上式成立.

    評注由①②兩式求an時,必須要注意成立的前提條件是n≥2,否則極易出錯.

    4 “新定義”型數列問題

    數列問題中,如果題目給出了“新定義”,那么需要我們先認真學習,徹底搞清“新定義”是如何描述的;然后再結合相關數列知識加以靈活分析、求解.

    例4 對任意x∈R,設[x]表示不超過x的最大整數,則函數f(x)=[x]叫做高斯函數(又稱“取整函數”).

    (2)若bn=f(log2n),n∈N*,Tn是數列{bn}的前n項和,求T1024.

    解析(1)通過觀察前n項,得

    所以S30=0×(3-1)+1×(6-3)+2×(9-6)+…+9×(30-27)+10

    =3(1+2+…+9)+10=145.

    (2)通過觀察前n項,得

    評注本題先將數列通項寫成關于“n”的分段函數的形式,這樣有利于幫助我們順利探求規(guī)律、簡潔求和.此外,要注意準確寫出數列通項公式中各段“n”的取值范圍.

    總之,上述歸類舉例解析,不僅拓寬了我們的解題思維視野,增長了見識,而且可幫助我們積累一些求解數列新情景問題的經驗,同時強化了相關數學知識、思想方法在解題中的靈活、綜合運用能力.

    一般來講,處理新情景數列問題需要過好三關:第一關,“心理關”,需要在心理上克服畏懼、膽怯等心理活動,必須具有積極的挑戰(zhàn)、探究、鉆研精神;第二關,“閱讀理解關”,通過認真閱讀、思考,有利于審清題意,知道題設條件是什么,明確目標問題是什么;第三關,“運用關”,能夠將所學數列知識與其他相關知識在解題中加以靈活運用,從而順利解決目標問題.

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