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    關(guān)注“平均變化率” 速解函數(shù)應(yīng)用問題

    2022-11-03 04:15:08
    數(shù)理化解題研究 2022年28期
    關(guān)鍵詞:易知綜上變化率

    劉 瑛

    (甘肅省隴南禮縣第一中學(xué) 742299)

    隨著核心素養(yǎng)的提出,與圖象有關(guān)的函數(shù)應(yīng)用問題是近年高考數(shù)學(xué)的熱點,這類問題往往考查學(xué)生對函數(shù)自變量和因變量變化情況的分析能力,在解題中借助“平均變化率”達到簡潔求解之目的,有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.

    1 理論闡述

    圖1 圖2 圖3

    類似分析可得,圖2對應(yīng)“平均變化率”越來越小;圖3、圖4對應(yīng)“平均變化率”越來越大;圖5、圖6對應(yīng)“平均變化率”不變.

    圖4 圖5 圖6

    2 應(yīng)用舉例

    圖7

    “平均變化率”的特征比較明顯,學(xué)生易于掌握,教師引導(dǎo)學(xué)生明確上述圖形及其相關(guān)特點,在具體問題中應(yīng)該結(jié)合“平均變化率”的實際特點,將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為“平均變化率”問題,則求解此類相關(guān)問題即可達“事半功倍”之效.

    2.1 具體求解,不涉及分類討論

    例1 如圖7所示,現(xiàn)有一個計時漏斗,開始時盛滿沙子,沙子從上部均勻漏下,經(jīng)過5分鐘漏完,h(厘米)是該沙漏中沙面下降的高度,則h與下漏時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示應(yīng)該是( ).

    圖8

    評注結(jié)合所給實物圖形,理清整個實際變化過程是準確求解的切入點;其次,要注意學(xué)會觀察、分析給定的函數(shù)圖象.

    牛刀小試1 某學(xué)生離家去學(xué)校,為了鍛煉身體,一開始跑步前進,跑累了再走余下的路程,現(xiàn)用縱軸表示離學(xué)校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時間,則下列四個圖形中較符合該學(xué)生的走法的是( ).

    圖9

    化簡,得kx-y+k+1=0.

    2.2 具體求解,涉及分類討論

    例2如圖10所示,直角梯形ABCO中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直線l:x=t截此梯形所得位于l左方圖形的面積為S,則函數(shù)S=f(t)的圖象大致為( ) .

    圖10

    圖11

    綜上,易知選項C正確.

    圖12

    圖13

    綜上,易知選項D正確.

    因此,使得不等式f(2a-3)

    總之,從數(shù)形結(jié)合的角度,準確理解、掌握描述兩個變量之間的變化關(guān)系的量——“平均變化率”,可幫助我們順利求解以圖形為載體,考查有關(guān)函數(shù)的實際應(yīng)用問題,進而增強學(xué)生的識圖、用圖能力,有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力以及推理、判斷能力.

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